5 2023-11-15
Examen de Análisis I
Ejercicio 5.1 Sea \((x_n)_{n=1}^\infty\) una sucesión tal que
\[ \lim_{n\to\infty} x_{2n}= \lim_{n\to\infty}x_{2n+1}=l. \]
Demostrar que \(\lim_{n\to\infty}x_n = l\).
Por la definición de límite, como \(\lim_{n\to\infty} x_{2n}= l\), \(\forall \varepsilon>0\) \(\exists k_1\in\mathbb{N}\) tal que si \(2n\geq k_1\) entonces \(|x_{2n}-l|<\varepsilon\).
Del mismo modo, como \(\lim_{n\to\infty} x_{2n+1}= l\), \(\forall \varepsilon>0\) \(\exists k_2\in\mathbb{N}\) tal que si \(2n+1\geq k_2\) entonces \(|x_{2n+1}-l|<\varepsilon\).
Tomando ahora \(k=\max\{k_1,k_2\}\), si \(m\geq k\), entonces o \(m\) es par, o \(m\) es impar. Si \(m\) es par entonces existe \(n\in\mathbb{N}\) tal que \(m=2n\) y como \(m=2n\geq k\geq k_1\), se tiene que \(|x_m-l|=|x_{2n}-l|<\varepsilon\). Y si \(m\) es impar entonces existe \(n\in\mathbb{N}\) tal que \(m=2n+1\) y como \(m=2n+1\geq k\geq k_2\), se tiene que \(|x_m-l|=|x_{2n+1}-l|<\varepsilon\). Por tanto, \(\lim_{n\to\infty}x_n = l\).
Ejercicio 5.2 La cantidad de agua almacenada en un embalse en hectómetros cúbicos viene dada por la función
\[ h(t) = \frac{10t+\cos(2t)}{4t+2\operatorname{sen}(3t)} \]
Analizar si la cantidad de agua converge o no a largo plazo.
Como \(-1\leq \operatorname{sen}(3t)\leq 1\) y \(-1\leq \cos(2t)\leq 1\) \(\forall t\in\mathbb{R}\), en particular, para \(t>1\)se tiene que
\[ \begin{gathered} 0 < 10t-1 \leq 10t+\cos(2t) \leq 10t+1 \\ 0 < 4t-2 \leq 4t+2\operatorname{sen}(3t) \leq 4t+2 \end{gathered} \]
y por tanto
\[ \frac{10t-1}{4t+2} \leq \frac{10t+\cos(2t)}{4t+2\operatorname{sen}(3t)} \leq \frac{10t+1}{4t-2}. \]
Como además, aplicando álgebra de límites,
\[\begin{align*} \lim_{t\to\infty} \frac{10t-1}{4t+2} &= \lim_{t\to\infty} \frac{\frac{10t-1}{t}}{\frac{4t+2}{t}} = \lim_{t\to\infty} \frac{10-\frac{1}{t}}{4+\frac{2}{t}} = \frac{10}{4}, \\ \lim_{t\to\infty} \frac{10t+1}{4t-2} &= \lim_{t\to\infty} \frac{\frac{10t+1}{t}}{\frac{4t-2}{t}} = \lim_{t\to\infty} \frac{10+\frac{1}{t}}{4-\frac{2}{t}} = \frac{10}{4}, \end{align*}\]
por el teorema de compresión de funciones, se tiene que
\[ \lim_{t\to\infty} \frac{10t+\cos(2t)}{4t+2\operatorname{sen}(3t)} = \frac{10}{4}. \]
Otra forma de verlo sería dividiendo numerador y denominador por \(t\)
\[\begin{align*} \lim_{t\to\infty} \frac{10t+\cos(2t)}{4t+2\operatorname{sen}(3t)} &= \lim_{t\to\infty} \frac{\frac{10t+\cos(2t)}{t}}{\frac{4t+2\operatorname{sen}(3t)}{t}} = \lim_{t\to\infty} \frac{10 + \frac{\cos(2t)}{t}}{4 + \frac{2\operatorname{sen}(3t)}{t}} \\ &= \frac{\lim_{t\to\infty}10 +\lim_{t\to\infty} \frac{\cos(2t)}{t}}{\lim_{t\to\infty}4 + \lim_{t\to\infty}\frac{2\operatorname{sen}(3t)}{t}}. \end{align*}\]
Ahora bien, como \(-1\leq \cos(2t)\leq 1\), se tiene que
\[ \frac{-1}{t}\leq \frac{\cos(2t)}{t}\leq \frac{1}{t}, \]
y como \(\lim_{t\to\infty} \frac{-1}{t} = \lim_{t\to\infty} \frac{1}{t} = 0\), por el teorema de compresión de funciones se tiene que \(\lim_{t\to\infty} \frac{\cos(2t)}{t} = 0\).
Del mismo modo se puede probar que \(\lim_{t\to\infty} \frac{2\operatorname{sen}(3t)}{t} =0\), por lo que finalmente se tiene que
\[ \lim_{t\to\infty} \frac{10t+\cos(2t)}{4t+2\operatorname{sen}(3t)} = \frac{10+0}{4+0} = 2.5. \]
Así pues, a largo plazo, la cantidad de agua en el embalse converge a \(2.5\) Hm\(^3\).
Ejercicio 5.3 Dado el conjunto \(A=\{\frac{\operatorname{sin}(n)}{n}, n\in\mathbb{N}\}\),
- Calcular su ínfimo, mínimo, supremo y máximo si existen.
- Calcular sus puntos de acumulación.
- Estudiar si se trata de un conjunto abierto o cerrado.
Los elementos del conjunto están más cerca de 0 a medida que \(n\) crece, aunque irán alternado el signo, ya que \(-1\leq\operatorname{sin}(n)\leq 1\) \(\forall n\in \mathbb{N}\), por tanto el conjunto estará acotado tanto inferior como superiormente. Si calculamos de manera aproximada los primeros elementos del conjunto para \(n=1,\ldots,10\), tenemos
\[ \begin{array}{cc} \hline n & \frac{\operatorname{sen}(n)}{n} \\ 1 & 0.8415 \\ 2 & 0.4546 \\ 3 & 0.0470 \\ 4 & -0.1892 \\ 5 & -0.1917 \\ 6 & -0.04656 \\ 7 & 0.0938 \\ \vdots & \vdots \\ \hline \end{array} \]
A partir de aquí los valores se van acercando cada vez más a 0 ya que \(\lim{n\to \infty}\frac{\operatorname{sen}(n)}{n} = 0\). Por tanto, el máximo valor del \(A\) es el correspondiente a \(n=1\), es decir, \(\operatorname{sen}(1)\approx 0.8415\), y el mínimo corresponde a \(n=5\), es decir \(\operatorname{sen}(5)/5 \approx -0.1917\). Y como el mínimo y el máximo existen, coinciden con el ínfimo y el supremo, respectivamente.
Como los valores del conjunto están cada vez más cerca de \(0\), este será un punto de acumulación. Para demostrarlo basta con ver que \(\lim{n\to \infty}\frac{\operatorname{sen}(n)}{n} = 0\), ya que, como \(-1\leq\operatorname{sin}(x)\leq 1\) \(\forall n\in \mathbb{N}\), se tiene que
\[ \frac{-1}{n}\leq \frac{\operatorname{sen}(n)}{n}\leq \frac{1}{n} \]
y como \(\lim_{n\to\infty} \frac{-1}{n}=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0\), y por el teorema de compresión de sucesiones se tiene que \(\lim{n\to \infty}\frac{\operatorname{sen}(n)}{n} = 0\), y por tanto, se cumple que \(\forall \varepsilon>0\) existe \(k\in\mathbb{N}\) tal que \(\left|\frac{\operatorname{sen}(n)}{n} - 0 \right| < \varepsilon\), por lo que podemos encontrar puntos de \(A\) tan cerca de \(0\) como queramos y \(0\) es un punto de acumulación.
Veamos ahora que \(0\) es el único punto de acumulación de \(A\), es decir, que cualquier otro punto \(x\neq 0\) no es punto de acumulación. Supongamos que \(x\neq 0\) es un punto de acumulación de \(A\), entonces es posible construir una sucesión de puntos \((a_n)_{n=1}^\infty\) tal que \(a_n\in A\) y \(a_n\neq x\) \(\forall n\in \mathbb{N}\), que converge a \(x\). Pero, por otro lado, como \(\lim{n\to \infty}\frac{\operatorname{sen}(n)}{n} = 0\), cualquier subsucesión de la sucesión \(\left(\frac{\operatorname{sen}(n)}{n}\right)\) converge a \(0\), y en particular la sucesión \((a_n)_{n=1}^\infty\), por lo que \(\lim_{n\to\infty} a_n = 0\), lo cual es contradictorio con que \(x\neq 0\).
\(A\) no puede ser cerrado porque \(0\) es un punto de acumulación suyo pero \(0\not\in A\) (ver teorema). Pero \(A\) tampoco es abierto porque sus puntos son aislados, es decir, para cualquier \(n\in\mathbb{N}\), y \(\forall \varepsilon>0\) el intervalo \(\left(\frac{\operatorname{sen}(n)}{n}-\varepsilon, \frac{\operatorname{sen}(n)}{n}-\varepsilon\right)\) siempre contiene puntos que no son de \(A\).
Ejercicio 5.4 Dada la función \(f(x)=\dfrac{ax^n}{x^2+bx}\),
- ¿Cuánto debe valer \(a\), \(b\) y \(n\) para que \(f\) tenga una asíntota vertical \(x=3\) y una asíntota horizontal \(y=2\)?
- ¿Cuánto debe valer \(a\), \(b\) y \(n\) para que \(f\) tenga una asíntota oblicua \(y=3x-1\)?
Para que \(f\) tenga una asíntota vertical en \(x=3\) debe anularse el denominador, es decir, \(3^2+3b=0\), de donde se deduce que \(b=-3\), ya que
\[\begin{align*} \lim_{x\to 3^-}\frac{ax^n}{x^2-3x} &= \infty \\ \lim_{x\to 3^+}\frac{ax^n}{x^2-3x} &= -\infty \end{align*}\]
Y para que \(f\) tenga una asíntota horizontal \(y=2\), debe ser \(\lim_{x\to \pm\infty} \frac{ax^n}{x^2-3x} = 2\), y para ello es necesario que el grado del polinomio del numerador sea igual al grado del polinomio del denominador, es decir, \(n=2\). En tal caso,
\[ \lim_{x\to \pm\infty} \frac{ax^2}{x^2-3x} = \lim_{x\to \pm\infty} \frac{\frac{ax^2}{x^2}}{\frac{x^2-3x}{x^2}} = \lim_{x\to \pm\infty} \frac{a}{1-\frac{3}{x}} = a, \]
de modo que debe ser \(a=2\).
Para que \(f\) tenga una asíntota oblicua \(y=3x-1\), debe ser \(\lim_{x\to\pm\infty} \frac{f(x)}{x}=3\). Como
\[ \lim_{x\to\pm\infty} \frac{\frac{ax^n}{x^2+bx}}{x} = \lim_{x\to\pm\infty} \frac{ax^n}{x^3+bx^2}, \]
y para que este límite exista, el grado del polinomio del numerador debe ser igual que el del denominador, es decir, \(n=3\), y en tal caso se tiene
\[ \lim_{x\to\pm\infty} \frac{\frac{ax^3}{x^2+bx}}{x} = \lim_{x\to\pm\infty} \frac{ax^3}{x^3+bx^2} = \lim_{x\to\pm\infty} \frac{\frac{ax^3}{x^3}}{\frac{x^3+bx^2}{x^3}} = \lim_{x\to\pm\infty} \frac{a}{1+\frac{b}{x}} = a, \]
de manera que debe ser \(a=3\).
Por otro lado, también debe cumplirse que \(\lim_{x\to\pm\infty} f(x)-3x = -1\). Como
\[\begin{align*} \lim_{x\to\pm\infty} \frac{3x^3}{x^2+bx} -3x &= \lim_{x\to\pm\infty} \frac{3x^3-3x^3-3bx^2}{x^2+bx} = \lim_{x\to\pm\infty} \frac{\frac{-3bx^2}{x^2}}{\frac{x^2+bx}{x^2}} \\ &= \lim_{x\to\pm\infty} \frac{-3b}{1+\frac{b}{x}} = -3b, \end{align*}\]
de donde se deduce que \(b=1/3\).
Ejercicio 5.5 La sucesión de Fibonacci se define como
\[ a_1 = a_2 = 1 \quad \mbox{y}\quad a_{n+1} = a_n + a_{n-1}. \]
Demostrar que la sucesión \(\left(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right)_{n=1}^\infty\) converge al número \(\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\).
Sea \(x_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}\), donde \((a_n)_{n=1}^\infty\) es la sucesión de Fibonacci. Entonces
\[ x_{n+1} = \frac{a_{n+2}}{a_{n+1}} = \frac{a_{n+1}+a_n}{a_{n+1}} = 1 + \frac{a_{n}}{a_{n+1}} = 1 + \frac{1}{\frac{a_{n+1}}{a_n}} = 1 + \frac{1}{x_n}, \]
que converge al número \(\phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\), tal y como se vió en este ejercicio.