5  2023-11-15
Examen de Análisis I

Ejercicio 5.1 Sea $(x_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ una sucesión tal que

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{2n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{2n+1}=l.$$

Demostrar que $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=l$.

Solución

Por la definición de límite, como $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{2n}=l$, $\mathrm{\forall }\epsilon >0$ $\mathrm{\exists }{k}_1\in \mathbb{N}$ tal que si $2n\ge k_1$ entonces $|x_{2n}-l|<\epsilon$.

Del mismo modo, como $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_{2n+1}=l$, $\mathrm{\forall }\epsilon >0$ $\mathrm{\exists }{k}_2\in \mathbb{N}$ tal que si $2n+1\ge k_2$ entonces $|x_{2n+1}-l|<\epsilon$.

Tomando ahora $k=max\{k_1,k_2\}$, si $m\ge k$, entonces o $m$ es par, o $m$ es impar. Si $m$ es par entonces existe $n\in \mathbb{N}$ tal que $m=2n$ y como $m=2n\ge k\ge k_1$, se tiene que $|x_m-l|=|x_{2n}-l|<\epsilon$. Y si $m$ es impar entonces existe $n\in \mathbb{N}$ tal que $m=2n+1$ y como $m=2n+1\ge k\ge k_2$, se tiene que $|x_m-l|=|x_{2n+1}-l|<\epsilon$. Por tanto, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=l$.

Ejercicio 5.2 La cantidad de agua almacenada en un embalse en hectómetros cúbicos viene dada por la función

$$h(t)=\frac{10t+\cos (2t)}{4t+2\mathrm{sen}(3t)}$$

Analizar si la cantidad de agua converge o no a largo plazo.

Solución

Como $-1\le \mathrm{sen}(3t)\le 1$ y $-1\le \cos (2t)\le 1$ $\mathrm{\forall }t\in \mathbb{R}$, en particular, para $t>1$se tiene que

$$\begin{array}{c}0<10t-1\le 10t+\cos (2t)\le 10t+1\\ 0<4t-2\le 4t+2\mathrm{sen}(3t)\le 4t+2\end{array}$$

y por tanto

$$\frac{10t-1}{4t+2}\le \frac{10t+\cos (2t)}{4t+2\mathrm{sen}(3t)}\le \frac{10t+1}{4t-2}.$$

Como además, aplicando álgebra de límites,

$$\begin{array}{rl}\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{10t-1}{4t+2}& =\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{10t-1}{t}}{\frac{4t+2}{t}}=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{10-\frac{1}{t}}{4+\frac{2}{t}}=\frac{10}{4},\\ \underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{10t+1}{4t-2}& =\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{10t+1}{t}}{\frac{4t-2}{t}}=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{10+\frac{1}{t}}{4-\frac{2}{t}}=\frac{10}{4},\end{array}$$

por el teorema de compresión de funciones, se tiene que

$$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{10t+\cos (2t)}{4t+2\mathrm{sen}(3t)}=\frac{10}{4}.$$

Otra forma de verlo sería dividiendo numerador y denominador por $t$

$$\begin{array}{rl}\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{10t+\cos (2t)}{4t+2\mathrm{sen}(3t)}& =\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{10t+\cos (2t)}{t}}{\frac{4t+2\mathrm{sen}(3t)}{t}}=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{10+\frac{\cos (2t)}{t}}{4+\frac{2\mathrm{sen}(3t)}{t}}\\ & =\frac{\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}10+\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\cos (2t)}{t}}{\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}4+\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2\mathrm{sen}(3t)}{t}}.\end{array}$$

Ahora bien, como $-1\le \cos (2t)\le 1$, se tiene que

$$\frac{-1}{t}\le \frac{\cos (2t)}{t}\le \frac{1}{t},$$

y como $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{-1}{t}=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{t}=0$, por el teorema de compresión de funciones se tiene que $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\cos (2t)}{t}=0$.

Del mismo modo se puede probar que $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2\mathrm{sen}(3t)}{t}=0$, por lo que finalmente se tiene que

$$\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{10t+\cos (2t)}{4t+2\mathrm{sen}(3t)}=\frac{10+0}{4+0}=2.5.$$

Así pues, a largo plazo, la cantidad de agua en el embalse converge a $2.5$ Hm${}^3$.

Ejercicio 5.3 Dado el conjunto $A=\{\frac{\sin (n)}{n},n\in \mathbb{N}\}$,

1. Calcular su ínfimo, mínimo, supremo y máximo si existen.
2. Calcular sus puntos de acumulación.
3. Estudiar si se trata de un conjunto abierto o cerrado.

Solución

1. Los elementos del conjunto están más cerca de 0 a medida que $n$ crece, aunque irán alternado el signo, ya que $-1\le \sin (n)\le 1$ $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$, por tanto el conjunto estará acotado tanto inferior como superiormente. Si calculamos de manera aproximada los primeros elementos del conjunto para $n=1,\dots ,10$, tenemos

   $$\overline{)\begin{array}{cc}n& \frac{\mathrm{sen}(n)}{n}\\ 1& 0.8415\\ 2& 0.4546\\ 3& 0.0470\\ 4& -0.1892\\ 5& -0.1917\\ 6& -0.04656\\ 7& 0.0938\\ ⋮& ⋮\end{array}}$$

   A partir de aquí los valores se van acercando cada vez más a 0 ya que $limn\to \mathrm{\infty }\frac{\mathrm{sen}(n)}{n}=0$. Por tanto, el máximo valor del $A$ es el correspondiente a $n=1$, es decir, $\mathrm{sen}(1)\approx 0.8415$, y el mínimo corresponde a $n=5$, es decir $\mathrm{sen}(5)/5\approx -0.1917$. Y como el mínimo y el máximo existen, coinciden con el ínfimo y el supremo, respectivamente.

2. Como los valores del conjunto están cada vez más cerca de $0$, este será un punto de acumulación. Para demostrarlo basta con ver que $limn\to \mathrm{\infty }\frac{\mathrm{sen}(n)}{n}=0$, ya que, como $-1\le \sin (x)\le 1$ $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$, se tiene que

   $$\frac{-1}{n}\le \frac{\mathrm{sen}(n)}{n}\le \frac{1}{n}$$

   y como $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{-1}{n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}=0$, y por el teorema de compresión de sucesiones se tiene que $limn\to \mathrm{\infty }\frac{\mathrm{sen}(n)}{n}=0$, y por tanto, se cumple que $\mathrm{\forall }\epsilon >0$ existe $k\in \mathbb{N}$ tal que $|\frac{\mathrm{sen}(n)}{n}-0|<\epsilon$, por lo que podemos encontrar puntos de $A$ tan cerca de $0$ como queramos y $0$ es un punto de acumulación.

   Veamos ahora que $0$ es el único punto de acumulación de $A$, es decir, que cualquier otro punto $x\ne 0$ no es punto de acumulación. Supongamos que $x\ne 0$ es un punto de acumulación de $A$, entonces es posible construir una sucesión de puntos $(a_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ tal que $a_n\in A$ y $a_n\ne x$ $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$, que converge a $x$. Pero, por otro lado, como $limn\to \mathrm{\infty }\frac{\mathrm{sen}(n)}{n}=0$, cualquier subsucesión de la sucesión $\left(\frac{\mathrm{sen}(n)}{n}\right)$ converge a $0$, y en particular la sucesión $(a_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, por lo que $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0$, lo cual es contradictorio con que $x\ne 0$.

3. $A$ no puede ser cerrado porque $0$ es un punto de acumulación suyo pero $0\notin A$ (ver teorema). Pero $A$ tampoco es abierto porque sus puntos son aislados, es decir, para cualquier $n\in \mathbb{N}$, y $\mathrm{\forall }\epsilon >0$ el intervalo $(\frac{\mathrm{sen}(n)}{n}-\epsilon ,\frac{\mathrm{sen}(n)}{n}-\epsilon )$ siempre contiene puntos que no son de $A$.

Ejercicio 5.4 Dada la función $f(x)={\displaystyle \frac{a{x}^n}{x^2+bx}}$,

1. ¿Cuánto debe valer $a$, $b$ y $n$ para que $f$ tenga una asíntota vertical $x=3$ y una asíntota horizontal $y=2$?
2. ¿Cuánto debe valer $a$, $b$ y $n$ para que $f$ tenga una asíntota oblicua $y=3x-1$?

Solución

1. Para que $f$ tenga una asíntota vertical en $x=3$ debe anularse el denominador, es decir, $3^2+3b=0$, de donde se deduce que $b=-3$, ya que

   $$\begin{array}{rl}\underset{x\to 3^{-}}{lim}\frac{a{x}^n}{x^2-3x}& =\mathrm{\infty }\\ \underset{x\to 3^{+}}{lim}\frac{a{x}^n}{x^2-3x}& =-\mathrm{\infty }\end{array}$$

   Y para que $f$ tenga una asíntota horizontal $y=2$, debe ser $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a{x}^n}{x^2-3x}=2$, y para ello es necesario que el grado del polinomio del numerador sea igual al grado del polinomio del denominador, es decir, $n=2$. En tal caso,

   $$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a{x}^2}{x^2-3x}=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{a{x}^2}{x^2}}{\frac{x^2-3x}{x^2}}=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a}{1-\frac{3}{x}}=a,$$

   de modo que debe ser $a=2$.

2. Para que $f$ tenga una asíntota oblicua $y=3x-1$, debe ser $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{x}=3$. Como

   $$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{a{x}^n}{x^2+bx}}{x}=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a{x}^n}{x^3+b{x}^2},$$

   y para que este límite exista, el grado del polinomio del numerador debe ser igual que el del denominador, es decir, $n=3$, y en tal caso se tiene

   $$\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{a{x}^3}{x^2+bx}}{x}=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a{x}^3}{x^3+b{x}^2}=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{a{x}^3}{x^3}}{\frac{x^3+b{x}^2}{x^3}}=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a}{1+\frac{b}{x}}=a,$$

   de manera que debe ser $a=3$.

   Por otro lado, también debe cumplirse que $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}f(x)-3x=-1$. Como

   $$\begin{array}{rl}\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x^3}{x^2+bx}-3x& =\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3x^3-3x^3-3b{x}^2}{x^2+bx}=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{-3b{x}^2}{x^2}}{\frac{x^2+bx}{x^2}}\\ & =\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{-3b}{1+\frac{b}{x}}=-3b,\end{array}$$

   de donde se deduce que $b=1/3$.

Ejercicio 5.5 La sucesión de Fibonacci se define como

$$a_1=a_2=1\text{y}{a}_{n+1}=a_n+a_{n-1}.$$

Demostrar que la sucesión ${\left({\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}}\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ converge al número $\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Solución

Sea $x_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}$, donde $(a_n{)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ es la sucesión de Fibonacci. Entonces

$$x_{n+1}=\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}=\frac{a_{n+1}+a_n}{a_{n+1}}=1+\frac{a_n}{a_{n+1}}=1+\frac{1}{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=1+\frac{1}{x_n},$$

que converge al número $\varphi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$, tal y como se vió en este ejercicio.