4 Sucesiones de números reales
Ejercicio 4.1 Una sucesión constante es una sucesión de números reales en la que cada término es igual que el anterior. Demostrar que una sucesión constante siempre converge.
Sea
Ejercicio 4.2 Una sucesión aritmética es una sucesión de números reales en la que cada término se obtienen sumando un número constante
Si
Supongamos que
Por consiguiente, la sucesión diverge. De forma similar se puede prueba que si
Otra forma de demostrarlo es probar que la sucesión es monótona y no acotada y aplicar el teorema de la convergencia de sucesiones monóntonas para concluir que la sucesión no converge.
Ejercicio 4.3 Una sucesión geométrica es una sucesión de números reales en la que cada término se obtienen multiplicando un número constante
Si
Supongamos que
Veamos ahora que no está acotada por reducción al absurdo. Supongamos que existe
Aplicando ahora la propiedad arquimediana, se tiene que existe
por lo que
De forma similar se puede prueba que si
Veamos finalmente que si
Ejercicio 4.4
Veamos que no existe
Veamos ahora que la sucesión no converge a
Del mismo modo se puede probar que tampoco converge a
Otra forma de demostrar la no convergencia de la sucesión es tomar las subsucesiones suyas
Por otro lado, no toda sucesión alternada es divergente. Por ejemplo, las sucesiones
Ejercicio 4.5 ¿Cómo podríamos demostrar que las siguientes afirmaciones son falsas?
- En cada banco de una ciudad existe al menos un cliente moroso.
- Existe un banco en una ciudad donde cada cliente tiene una pensión o una hipoteca.
- Para todos los bancos de una ciudad existe un cliente que cada mes usa una tarjeta de crédito o de débito.
- Para refutar la afirmación habría que encontrar un banco en el no hubiese al menos un cliente moroso, es decir, que todos sus clientes no fuesen morosos.
- Para refutar la afirmación habría que mostrar que todos los bancos de la ciudad tienen algún cliente que no tiene pensión ni hipoteca.
- Para refutar la afirmación habría que encontrar un banco en el que ningún cliente usase cada mes la tarjeta de crédito o de débito, es decir, en el que para todos los clientes hay algún mes que no usan ni la tarjeta de crédito ni la de débito.
Ejercicio 4.6
- Una sucesión con un número infinito de ceros que no converge a 0.
- Una sucesión con un número infinito de unos que converge a un número distinto de uno.
- Una sucesión divergente tal que para cada
se pueden encontrar ceros consecutivos en la sucesión.
- La sucesión
tal que - No existe.
- La sucesión
.
Ejercicio 4.7
Ejercicio 4.8
- Dos sucesiones
e que divergen pero converge. - Dos sucesiones
e que convergen pero diverge. - Una sucesión
que converge y otra que diverge, pero tales que converge. - Una sucesión
que converge y otra que diverge, pero tales que converge. - Dos sucesiones divergentes
e con tales que converge.
y divergen, pero converge por ser constante.No es posible (ver proposición).
Para ver que no es posible, daremos una demostración por reducción al absurdo. Supongamos que
converge. Entonces, como converge, se tiene que también converge (ver proposición, con lo que se llega a una contradicción pues partíamos de que es divergente. converge y diverge, pero converge. es divergente, pero converge por ser constante.Otro ejemplo son
y que divergen, pero converge al ser constante.
Ejercicio 4.9 Demostrar que si una sucesión de números reales
Supongamos que
Ejercicio 4.10 Dado un polinomio
Sea
Ejercicio 4.11 Demostrar que si una sucesión de números reales converge a
Supongamos que
Ejercicio 4.12 Demostrar que si una sucesión de números reales no negativos converge a
Veamos primero el caso en que
Luego
Supongamos ahora que
Luego
Ejercicio 4.13 Demostrar que si
Sea
Luego
Ejercicio 4.14
Como
se tiene que . Como y del mismo modo, se puede probar que , por lo que aplicando el teorema de compresión de sucesiones convergentes se concluye que .Como
por el criterio del cociente se tiene que .Como
por el criterio del cociente se tiene que .
Ejercicio 4.15
y y y
, que es decreciente al ser decreciente. Como además está acotada, por el teorema de la convergencia de sucesiones monótonas, se tiene que .Veamos que la sucesión es creciente por inducción.
. Supongamos ahora que . Entonces, .Veamos ahora que
es una cota superior de la sucesión también por inducción. . Supongamos que . Entonces, .Así pues, según el teorema de la convergencia de sucesiones monótonas la sucesión converge. Para calcular el límite, aprovechando la definición recursiva de la sucesión se tiene
Resolviendo la ecuación se tiene
Para ver que la sucesión es creciente, probaremos que la sucesión de sus inversos es decreciente.
Sin embargo, la sucesión no está acotada, ya que para cualquier
, por la propiedad arquimediana existe tal que si . Por tanto, según el el teorema de la convergencia de sucesiones monótonas la sucesión diverge.Veamos que la sucesión es creciente por inducción.
. Supongamos ahora que . Entonces, .Veamos ahora que
es una cota superior de la sucesión también por inducción. . Supongamos que . Entonces, .Así pues, según el teorema de la convergencia de sucesiones monótonas la sucesión converge. Para calcular el límite, aprovechando la definición recursiva de la sucesión se tiene
Resolviendo la ecuación se tiene
Como
no puede ser al ser todos los términos de la sucesión positivos, se concluye que .Veamos que la sucesión es creciente por inducción.
. Supongamos ahora que . Entonces, .Veamos ahora que
es una cota superior de la sucesión también por inducción. . Supongamos que . Entonces, .Así pues, según el teorema de la convergencia de sucesiones monótonas la sucesión converge. Para calcular el límite, aprovechando la definición recursiva de la sucesión se tiene
Resolviendo la ecuación se tiene
Como
no puede ser al ser , se concluye que .
Ejercicio 4.16
tal que
Demostrar que este número es el límite de las siguientes sucesiones de números reales.
y y
Veamos en primer lugar que la sucesión está acotada. De la definición resulta obvio que
. De esto se deduce que, . Así pues, .Veamos ahora que la subsucesión de los términos impares
converge. Para ello veremos que es creciente por inducción. . Supongamos que . Entonces,Como la subsucesión también está acotada, por el teorema de la convergencia de sucesiones monótonas converge. Para calcular el límite, aprovechando la definición recursiva de la sucesión se tiene
Resolviendo la ecuación se tiene
Como
no puede ser al ser todos los términos de la sucesión positivos, se tiene que .Del mismo modo se puede probar que la subsucesión de los términos pares
también converge a .Finalmente, se deja como ejercicio probar que si las subsucesiones de los términos pares e impares de una sucesión convergen al mismo límite, entonces la sucesión converge al mismo límite.
Veamos que la sucesión es creciente por inducción.
. Supongamos ahora que . Entonces, .Veamos ahora que
es una cota superior de la sucesión también por inducción. . Supongamos que . Entonces, .Así pues, según el teorema de la convergencia de sucesiones monótonas la sucesión converge. Para calcular el límite, aprovechando la definición recursiva de la sucesión se tiene
Resolviendo la ecuación se tiene
Como
no puede ser al ser todos los términos de la sucesión positivos, se concluye que .
Ejercicio 4.17 Dada una sucesión de números reales tal que
- Si cada
es una cota superior de un conjunto , entonces es también una cota superior de . - Si
, entonces . - Si
, entonces .
Si
es cota superior de , se tiene que para cualquier , . Veamos que entonces que por reducción al absurdo. Supongamos que existe tal que pero . Como , se tiene que para existe tal que , pero entonces también se cumple por lo que no sería cota superior de , así que, necesariamente tiene que ser cota superior de .Como
es un conjunto cerrado, para demostrar la proposición basta aplicar este teorema.Veamos que la proposición es falsa con un contraejemplo. La sucesión
y está formada por números racionales, sin embargo, su límite es el número irracional (ver Ejercicio 4.16).
Ejercicio 4.18
Veamos en primer lugar que la sucesión está acotada. De la definición resulta obvio que
pues todos los términos son positivos. De esto se deduce que, . Así pues, .Veamos ahora que la subsucesión de los términos impares
converge. Para ello veremos que es creciente por inducción. . Supongamos que . Entonces,Como la subsucesión también está acotada, por el teorema de la convergencia de sucesiones monótonas converge. Para calcular el límite, aprovechando la definición recursiva de la sucesión se tiene
Resolviendo la ecuación se tiene
Como
no puede ser al ser todos los términos de la sucesión positivos, se tiene que .Del mismo modo se puede probar que la subsucesión de los términos pares
también converge a .Finalmente, como las subsucesiones de los términos pares e impares de una sucesión convergen al mismo límite, entonces la sucesión converge al mismo límite.
Ejercicio 4.19 Determinar cuáles de las siguientes sucesiones de números reales son de Cauchy.
con
Es una sucesión de Cauchy ya que converge a 0, pues las subsucesiones de los términos pares e impares, convergen a 0 al ser monótonas y acotadas.
Es una sucesión de Cauchy ya que converge a 1, pues
- Es una sucesión de Cauchy ya que converge a 0. Para probarlo, dado
, por la propiedad arquimediana, existe tal que . Por tanto, para cualquier se tiene
- No es una sucesión de Cauchy, pues tomando
, para cualquier , si , entonces o debe ser impar, y suponiendo que es (la otra suposición lleva a un razonamiento similar) se tiene
Por tanto, la sucesión no converge.