10  2024-05-30
Examen de Análisis II

Ejercicio 10.1 Calcular la integral superior de Riemann de la función $f(x)=2x^2-12x$ en el intervalo $[2,4]$.

Solución

Estudiamos primero el crecimiento de la función en el intervalo $[2,4]$.

$$f^{\prime }(x)=4x-12=0\Rightarrow x=3.$$

Como $f^{\prime }(2)=-4<0$ la función es decreciente en el intervalo $[2,3]$, y como $f^{\prime }(4)=4>0$ la función es creciente en el intervalo $[3,4]$.

Así pues, para calcular la suma de Riemann descompondremos el intervalo en dos subintervalos: $[2,3]$ y $[3,4]$.

Para calcular la suma de Riemann superior de $f$ en el intervalo $[2,3]$, tomamos una partición del intervalo $[2,3]$ en $n$ subintervalos de longitud $\mathrm{\Delta }x=\frac{3-2}{n}=\frac{1}{n}$, de manera que los extremos de los subintervalos serán $P_n([2,3])=\{x_i=2+\frac{i}{n}:i=0,\dots ,n\}$.

Como $f$ es decreciente en este intervalo, el valor máximo de $f$ en cada subintervalo se alcanza en el extremo izquierdo del subintervalo. Así pues, la suma superior de Riemann para esta partición es

$$\begin{array}{rl}s(f,P_n)& =\sum _{i=1}^{n}f(x_{i-1})\mathrm{\Delta }x=\sum _{i=1}^{n}f(2+\frac{i-1}{n})\frac{1}{n}\\ & =\sum _{i=1}^n(2{(2+\frac{i-1}{n})}^2-12(2+\frac{i-1}{n}))\frac{1}{n}\\ & =\sum _{i=1}^n(2(4+\frac{4i-4}{n}+\frac{i^2-2i+1}{n^2})-12(2+\frac{i-1}{n}))\frac{1}{n}\\ & =\sum _{i=1}^n(8+\frac{8i-8}{n}+\frac{2i^2-4i+2}{n^2}-24-12\frac{i-1}{n})\frac{1}{n}\\ & =\sum _{i=1}^n(-16+\frac{8i}{n}-\frac{8}{n}+\frac{2i^2}{n^2}-\frac{4i}{n^2}+\frac{2}{n^2}-\frac{12i}{n}+\frac{12}{n})\frac{1}{n}\\ & =(\sum _{i=1}^n(-16+\frac{4}{n}+\frac{2}{n^2})-\sum _{i=1}^n(\frac{4i}{n^2}+\frac{4i}{n})+\sum _{i=1}^n\frac{2i^2}{n^2})\frac{1}{n}\\ & =((-16+\frac{4}{n}+\frac{2}{n^2})\sum _{i=1}^{n}1-(\frac{4}{n^2}+\frac{4}{n})\sum _{i=1}^{n}i+\frac{2}{n^2}\sum _{i=1}^n{i}^2)\frac{1}{n}\\ & =((-16+\frac{4}{n}+\frac{2}{n^2})n-(\frac{4}{n^2}+\frac{4}{n})\frac{n(n+1)}{2}+\frac{2}{n^2}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})\frac{1}{n}\\ & =-16+\frac{4}{n}+\frac{2}{n^2}-2-\frac{2}{n}-\frac{2}{n}-\frac{2}{n^2}+\frac{2}{3}+\frac{1}{n}+\frac{1}{3n^2}\\ & =-\frac{52}{3}+\frac{1}{n}+\frac{1}{3n^2}.\end{array}$$

Por lo tanto, la integral superior de Riemann de $f(x)$ en el intervalo $[2,3]$ es

$$\overline{{\int }_2^3}f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}s(f,P_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}-\frac{52}{3}+\frac{1}{n}+\frac{1}{3n^2}=-\frac{52}{3}.$$

Del mismo modo, para calcular la suma de Riemann superior de $f$ en el intervalo $[3,4]$, tomamos una partición del intervalo $[3,4]$ en $n$ subintervalos de longitud $\mathrm{\Delta }x=\frac{3-2}{n}=\frac{1}{n}$, de manera que los extremos de los subintervalos serán $Q_n([3,4])=\{x_i=3+\frac{i}{n}:i=0,\dots ,n\}$.

Como $f$ es creciente en este intervalo, el valor máximo de $f$ en cada subintervalo se alcanza en el extremo derecho del subintervalo. Así pues, la suma superior de Riemann para esta partición es

$$\begin{array}{rl}s(f,Q_n)& =\sum _{i=1}^{n}f(x_i)\mathrm{\Delta }x=\sum _{i=1}^{n}f(3+\frac{i}{n})\frac{1}{n}\\ & =\sum _{i=1}^n(2{(3+\frac{i}{n})}^2-12(3+\frac{i}{n}))\frac{1}{n}\\ & =\sum _{i=1}^n(2(9+\frac{6i}{n}+\frac{i^2}{n^2})-12(3+\frac{i}{n}))\frac{1}{n}\\ & =\sum _{i=1}^n(18+\frac{12i}{n}+\frac{2i^2}{n^2}-36-12\frac{i}{n})\frac{1}{n}\\ & =\sum _{i=1}^n(-18+\frac{2i^2}{n^2})\frac{1}{n}\\ & =(-18\sum _{i=1}^{n}1+\frac{2}{n^2}\sum _{i=1}^n{i}^2)\frac{1}{n}\\ & =(-18n+\frac{2}{n^2}\frac{n(n+1)(2n+1)}{6})\frac{1}{n}\\ & =-18+\frac{2}{3}+\frac{1}{n}+\frac{1}{3n^2}\\ & =\frac{-52}{3}+\frac{1}{n}+\frac{1}{3n^2}.\end{array}$$

Por lo tanto, la integral superior de Riemann de $f(x)$ en el intervalo $[3,4]$ es

$$\overline{{\int }_3^4}f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}s(f,Q_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{-52}{3}+\frac{1}{n}+\frac{1}{3n^2}=-\frac{52}{3}.$$

Finalmente, la integral superior de Riemann de $f(x)$ en el intervalo $[2,4]$ es

$$\overline{{\int }_2^4}f(x)=\overline{{\int }_2^3}f(x)+\overline{{\int }_3^4}f(x)=-\frac{52}{3}-\frac{52}{3}=-\frac{104}{3}.$$

Ejercicio 10.2 Se dispone de un cable de 50 m de longitud que se sostiene en sus extremos por dos postes. ¿A qué distancia deben colocarse los postes para que la altura del cable sobre el suelo sea de 10 m en su punto más bajo?

Nota: La ecuación de la curva que describe el cable, suponiendo que la curva esté centrada en el eje $y$, es una catenaria de ecuación $y=a\cosh \left(\frac{x}{a}\right)$, donde $a$ es la altura de la catenaria en el punto más bajo.

Solución

Como la altura de la catenaria en el punto más bajo es 10 m, la función que describe esta catenaria es $f(x)=10\cosh \left(\frac{x}{10}\right)$, y la longitud de la curva descrita por la función $f(x)$ en el intervalo $[-d,d]$ viene dada por la integral

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-d}^d\sqrt{1+f^{\prime }(x{)}^2}dx& ={\int }_{-d}^d\sqrt{1+\mathrm{senh}{\left(\frac{x}{10}\right)}^2}dx\\ & ={\int }_{-d}^d\sqrt{\cosh {\left(\frac{x}{10}\right)}^2}dx\\ & ={\int }_{-d}^d\cosh \left(\frac{x}{10}\right)dx\\ & =10{\left[\mathrm{senh}\left(\frac{x}{10}\right)\right]}_{-d}^d\\ & =10(\mathrm{senh}\left(\frac{d}{10}\right)-\mathrm{senh}(-\frac{d}{10}))\\ & =10\cdot 2\mathrm{senh}\left(\frac{d}{10}\right)\\ & =20\mathrm{senh}\left(\frac{d}{10}\right).\end{array}$$

Como la longitud del cable es 50 m, tenemos que

$$\begin{array}{c}50=20\mathrm{senh}\left(\frac{d}{10}\right)\iff \mathrm{senh}\left(\frac{d}{10}\right)=\frac{50}{20}=\frac{5}{2}\\ \iff d=10\mathrm{arcsenh}(2.5)=10\ln (2.5+\sqrt{{2.5}^2+1})\approx 16.4723.\end{array}$$

Así pues, los postes deben colocarse a una distancia de $2\cdot 16.4723=32.9446$ m.

Ejercicio 10.3 Calcular el volumen de un depósito con forma de sólido de revolución obtenido al rotar alrededor del eje $y$ la función $y=\mathrm{sen}(x/2{)}^2$ en el intervalo $[0,\pi ]$ en dm${}^3$.

Si empezamos a introducir agua en el depósito a un ritmo dado por la función $e(t)=e^{1-t}$ l/m y al mismo tiempo sale agua a un ritmo dado por la función $s(t)=t{e}^{1-t}$. Calcular el volumen de agua en el depósito en cada instante $t$ desde el instante en que comienza a entrar agua en el depósito. ¿Se llenará el depósito en algún momento? ¿Qué cantidad de agua habrá en el depósito a largo plazo?

Solución

Para calcular el volumen del sólido de revolución obtenido al rotar la función $f(x)=\mathrm{sen}(x/2{)}^2$ en el intervalo $[0,\pi ]$ alrededor del eje $y$, utilizaremos el método de los envoltorios cilíndricos, de manera que hay que calcular la siguiente integral

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{\pi }2\pi xf(x)dx& =2\pi {\int }_0^{\pi }x\mathrm{sen}(x/2{)}^{2}dx\\ & =2\pi {\int }_0^{\pi }x\left(\frac{1-\cos (x)}{2}\right)dx\\ & =\pi {\int }_0^{\pi }x-x\cos (x)dx\\ & =\pi {[\frac{x^2}{2}-x\mathrm{sen}(x)-\cos (x)]}_0^{\pi }\\ & =\pi (\frac{{\pi }^2}{2}-\pi \mathrm{sen}(\pi )-\cos (\pi )-0+0\mathrm{sen}(0)+\cos (0))\\ & =\frac{{\pi }^3}{2}+2\pi .\end{array}$$

Este es el volumen que queda por fuera del depósito en el intervalo $[0,\pi ]$, de manera que el volumen del depósito es el volumen de un cilindro de radio $\pi$ y altura $f(\pi )=1$ menos el volumen calculado anteriormente, ya que $f$ es creciente en el intervalo $[0,\pi ]$. Así pues, el volumen del depósito es

$$\pi {\pi }^2-(\frac{{\pi }^3}{2}+2\pi )={\pi }^3-\frac{{\pi }^3}{2}-2\pi =\frac{{\pi }^3}{2}-2\pi \approx 9.22{\text{dm}}^3.$$

Por otro lado, la tasa de variación instantánea del volumen de agua en el depósito en el instante $t$ es la cantidad de agua que entra menos la que sale, es decir, $e(t)-s(t)$, de manera que el volumen de agua en el depósito en el instante $t$ viene dado por la integral

$$\begin{array}{rl}F(x)& ={\int }_0^{t}e(x)-s(x)dx={\int }_0^t{e}^{1-x}-x{e}^{1-x}dx={\int }_0^t(1-x)e^{1-x}dx\\ & ={\left[x{e}^{1-x}\right]}_0^t=t{e}^{1-t}-0=t{e}^{1-t}.\end{array}$$

Para saber si el depósito se llenará en algún instante, calculamos el máximo de $F$ en el intervalo $[0,\mathrm{\infty })$. Como $F^{\prime }(t)=(1-t)e^{1-t}$, el único punto crítico está en $t=1$, y además se trata de un máximo ya que el signo de $F^{\prime }$ es positivo a la izquierda de $1$ y negativo a la derecha. Pero como $F(1)=1e^{1-1}=1<\frac{{\pi }^3}{2}-2\pi$, el depósito no se llenará en ningún instante.

Por último, para saber cuánta agua habrá en el depósito a largo plazo, calculamos el límite de $F$ cuando $t$ tiende a infinito

$$\begin{array}{rl}\text{(L’Hôpital)}& \underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}t{e}^{1-t}& =\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{t}{e^{t-1}}& =\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{e^{t-1}}=0.\end{array}$$

Ejercicio 10.4 El centroide de la región plana encerrada entre la gráfica de una función $f(x)$ y el eje $x$ en un intervalo $[a,b]$ tiene coordenadas

$$\begin{array}{rl}\overline{x}& =\frac{{\int }_a^{b}xf(x)dx}{{\int }_a^{b}f(x)dx},\\ \overline{y}& =\frac{{\int }_a^{b}f(x{)}^{2}dx}{2{\int }_a^{b}f(x)dx}.\end{array}$$

Aplicar el mismo razonamiento usado en la deducción de estas fórmulas para deducir las fórmulas del centroide de la región plana encerrada entre las gráficas de dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ en el intervalo $[a,b]$, siendo $f(x)\ge g(x)$ $\mathrm{\forall }x\in [a,b]$.

Solución

Para calcular el centroide de la región plana encerrada entre las gráficas de dos funciones $f(x)$ y $g(x)$ en el intervalo $[a,b]$, siendo $f(x)\ge g(x)$ $\mathrm{\forall }x\in [a,b]$, tomamos una partición del intervalo $[a,b]$ en $n$ subintervalos de longitud $\mathrm{\Delta }x=\frac{b-a}{n}$.

Si llamamos ${\overline{x}}_i$ al centro del subintervalo $i$-ésimo, $[x_{i-1},x_i]$ y consideramos el rectángulo de base $[x_{i-1},x_i]$ y altura $f({\overline{x}}_i)-g({\overline{x}}_i)$, el centroide de este rectángulo de igual densidad es $({\overline{x}}_i,\frac{f({\overline{x}}_i)+g({\overline{x}}_i)}{2})$. Así pues, el momento con respecto al eje $y$ de este rectángulo es

$${\overline{x}}_i{M}_i={\overline{x}}_i\delta (f({\overline{x}}_i)-g({\overline{x}}_i))\mathrm{\Delta }x,$$

lo que da lugar a la suma de Riemann

$$\delta \sum _{i=1}^n{\overline{x}}_i(f({\overline{x}}_i)-g({\overline{x}}_i))\mathrm{\Delta }x,$$

y al tomar particiones cada vez más refinadas, obtenemos la integral

$$\delta {\int }_a^{b}x(f(x)-g(x))dx,$$

de manera que al dividir por la masa de la región plana encerrada entre las gráficas de $f(x)$ y $g(x)$ en el intervalo $[a,b]$, que es $\delta {\int }_a^b(f(x)-g(x))dx$, obtenemos la coordenada $x$ del centroide de la región

$$\overline{x}=\frac{{\int }_a^{b}x(f(x)-g(x))dx}{{\int }_a^b(f(x)-g(x))dx}.$$

Por otro lado, el momento con respecto al eje $x$ del rectángulo correspondiente al subintervalo $i$-ésimo es

$$\frac{f({\overline{x}}_i)+g({\overline{x}}_i)}{2}{M}_i=\frac{f({\overline{x}}_i)+g({\overline{x}}_i)}{2}\delta (f({\overline{x}}_i)-g({\overline{x}}_i))\mathrm{\Delta }x=\delta \frac{f({\overline{x}}_i{)}^2-g({\overline{x}}_i{)}^2}{2}\mathrm{\Delta }x,$$

lo que da lugar a la suma de Riemann

$$\delta \sum _{i=1}^n\frac{f({\overline{x}}_i{)}^2-g({\overline{x}}_i{)}^2}{2}\mathrm{\Delta }x,$$

y al tomar particiones cada vez más refinadas, obtenemos la integral

$$\delta {\int }_a^b\frac{f(x{)}^2-g(x{)}^2}{2}dx,$$

de manera que al dividir por la masa de la región, obtenemos la coordenada $y$ del centroide de la región

$$\overline{y}=\frac{{\int }_a^{b}f(x{)}^2-g(x{)}^{2}dx}{2{\int }_a^b(f(x)-g(x))dx}.$$

Ejercicio 10.5 Estudiar la convergencia de las siguientes series y, en caso de que converjan, dar una cota del error cometido al aproximar su suma mediante la suma parcial de orden 100.

1. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{1/n}}{n^2}}$.
2. ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sqrt{\frac{(n+1)}{n^2+n-1}}}$.

Solución

1. $\frac{e^{1/n}}{n^2}>0$ $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$, por lo que se trata de una serie de términos positivos.

   Utilizando el criterio de la integral con $f(x)=\frac{e^{1/x}}{x^2}$, tenemos que

   $${\int }_1^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{1/x}}{x^2}dx=[-e^{1/x}{]}_1^{\mathrm{\infty }}=-\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{1/x}+e=e-1,$$

   y como la integral es finita, la serie converge.

   Otra forma de demostrar la convergencia de esta serie es utilizando el criterio del cociente, comparando con la serie $\sum \frac{1}{n^2}$, de manera que

   $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{e^{1/n}}{n^2}}{\frac{1}{n^2}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{1/n}=e^0=1.$$

   Como el límite es finito y positivo, ambas series tienen el mismo comportamiento, y como $\sum \frac{1}{n^2}$ sabemos que converge, la serie $\sum \frac{e^{1/n}}{n^2}$ también converge.

   Para dar una cota del error cometido al aproximar la suma de la serie mediante la suma parcial de orden 100, podemos usar la proposición de la acotación del residuo de la serie, de manera que una cota del error viene dada por la integral

   $${\int }_{100}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{1/x}}{x^2}dx=[-e^{1/x}{]}_{100}^{\mathrm{\infty }}=-\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{e}^{1/x}+e^{1/100}=e^{1/100}-1\approx 0.01005.$$

2. $\sqrt{\frac{(n+1)}{n^2+n-1}}>0$ $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$, por lo que también se trata de una serie de términos positivos.

   Utilizando el criterio del cociente, comparando con la serie $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$, tenemos que

   $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{\frac{(n+1)}{n^2+n-1}}}{\frac{1}{\sqrt{n}}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt{\frac{n(n+1)}{n^2+n-1}}=1.$$

   Como el límite es finito y positivo, ambas series tienen el mismo comportamiento, y como $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}=\sum \frac{1}{n^{1/2}}$ sabemos que diverge, al ser una serie $p$ con $p<1$, la serie $\sum \sqrt{\frac{(n+1)}{n^2+n-1}}$ también diverge.

Ejercicio 10.6 Dos personas lanzan una moneda de manera alternada y gana el primero que obtenga una cara. Expresar con una serie la probabilidad de que gane cada una de ellas. Demostrar que la suma de esas dos series es 1.

Solución

Sea $f(n)$ la probabilidad de sacar la primera cara en el lanzamiento $n$. Entonces, $f(n)={\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ ya que para que esto ocurra los $n-1$ lanzamientos anteriores deben ser cruces, con probabilidad ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$ y el lanzamiento $n$ debe ser cara, con probabilidad $\frac{1}{2}$.

El jugador 1 gana si la cara sale en la tirada impar, y por tanto, la probabilidad de que gane viene dada por la suma de la serie

$$\begin{array}{rl}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2n-1}& =\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2n-2}=\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2(n-1)}\\ & =\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2n}=\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{4}\right)}^n,\end{array}$$

que es una serie geométrica de razón $1/4$, y por tanto converge, y su suma es

$$\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{4}\right)}^n=\frac{1}{2}\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{2}{3}.$$

Por otro lado, el jugador 2 gana si la cara sale en la tirada par, y por tanto, la probabilidad de que gane viene dada por la suma de la serie

$$\begin{array}{rl}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2n}& =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{4}\right)}^n-1,\end{array}$$

que de nuevo es una serie geométrica de razón $1/4$, y por tanto converge, y su suma es

$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{4}\right)}^n-1=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}-1=\frac{1}{3}.$$

Como se ve, la suma de las dos probabilidades es $\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1$, algo que debe cumplir todo espacio probabilístico.

Ejercicio 10.7 (2.5 puntos) Calcular la serie de Taylor de la función $f(x)=\ln (x-1)$ en $a=2$ y determinar su dominio de convergencia puntual.

Solución

Sabemos que la serie de MacLaurin de la función $\ln (1+x)$ es

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{x^n}{n}.$$

Como $f(x)=\ln (x-1)=\ln (1+x-2)$, haciendo un cambio de variable en el polinomio anterior, se tiene que el polinomio de Taylor de $f(x)$ en $a=2$ es

$$\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n-1}\frac{(x-2{)}^n}{n},$$

que es una serie de potencias centrada en $2$.

Calculamos ahora su radio de convergencia por el criterio de la razón

$$R=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{\frac{(-1{)}^{n-1}}{n}}{\frac{(-1{)}^n}{n+1}}\right|=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{n+1}{n}\right|=1,$$

de manera que la serie converge para $|x-2|<1$, es decir, $x\in (1,3)$.

Finalmente, estudiamos la convergencia en los extremos del intervalo anterior. En $x=1$ resulta la serie

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{2n-1}}{n}=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n},$$

que diverge al ser la serie armónica.

Y en $x=3$ resulta la serie

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n},$$

que es la serie armónica alternada y ya sabemos que converge.

Así pues, el dominio de convergencia puntual de la serie es $\mathcal{C}=(1,3]$.