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Examen de Análisis II
Ejercicio 16.1 Una magnitud
Calcularemos primero las sumas inferior y superior de Riemann del lado derecho de la ecuación diferencial. Para ello, consideraremos la función
Y la suma superior de Riemann se calcula de manera similar, pero utilizando el valor de la función en el extremo derecho de cada subintervalo:
Así pues, la integral inferior de Riemann es
y la integral superior de Riemann es
Por tanto, ambas integrales coinciden y podemos concluir que
Ahora calcularemos las sumas inferior y superior del lado izquierdo de la ecuación diferencial. Para ello, consideraremos la función
Y la suma superior de Riemann se calcula de manera similar
Como el valor de ambas sumas es el mismo y no depende de
Finalmente, igualando las dos integrales, obtenemos
Ejercicio 16.2 Calcular el área de la intersección del círculo de radio 1 centrado en el origen y la rosa de 4 pétalos de ecuación
Por simetría, basta calcular el volumen de la parte del depósito en el primer cuadrante y multiplicar por 4.
Calculamos primero los puntos de intersección del pétalo del primer cuadrante con el círculo. Para ello, igualamos las ecuaciones de ambos conjuntos:
Así pues, trabajando en coordenadas polares, y descomponiendo intervalo de integración del ángulo
Calculamos cada una de estas integrales por separado:
Por tanto, el área de la intersección del círculo y el pétalo del primer cuadrante es
y el área total de la intersección del círculo y la rosa de 4 pétalos es
Ejercicio 16.3 Calcular el volumen de un depósito limitado por el paraboloide elíptico de ecuación
Aunque no se trata de un sólido de revolución, las secciones transversales del depósito con respecto al eje
de manera que acumulando el área de estas elipses a lo largo del eje
Igualando
Así pues, el área de cada sección elíptica viene dada por la integral
Finalmente, para calcular el volumen del depósito, integramos el área de las secciones elípticas a lo largo del eje
Ejercicio 16.4 Estudiar la convergencia de las siguientes series y calcular una cota del error cometido al aproximarlas mediante una suma parcial de orden 10.
. .
La serie
es de términos positivos, y además se cumple que la función es decreciente para y , por lo que, utilizando el criterio de la integral, tenemosY como la integral existe y es finita, la serie converge.
Al aproximar su suma mediante la suma parcial de orden 10, podemos acotar el error cometido mediante la integral
La serie
también es de términos positivos, y se cumple queComo la serie
diverge al ser una serie con , por el criterio de comparación podemos concluir que la serie también diverge.
Ejercicio 16.5 La alfombra de Sierpiński es un conjunto fractal que es una generalización en dos dimensiones del conjunto de Cantor. Se puede construir de la siguiente manera:
- Comenzamos con un cuadrado de lado 1.
- Dividimos el cuadrado en 9 cuadrados más pequeños de lado 1/3 del lado original.
- Eliminamos el cuadrado central.
- Repetimos el proceso en cada uno de los cuadrados restantes.
Calcular el área de la alfombra de Sierpiński.
Para calcular el área de la alfombra de Sierpiński, observamos que en cada iteración del proceso, el área del cuadrado original se reduce
Por tanto, la suma de las areas quitadas viene dada por la serie
que se trata de una serie geométrica de razón
Por tanto, el área total quitada es 1, y como el área del cuadrado original era 1, el área de la alfombra de Sierpiński es nula y se trata de un conjunto de medida nula.
Ejercicio 16.6 La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria normal estándar es
Dado que esta función no tiene integral elemental, calcular la serie que resulta de integrar su serie de Maclaurin y determinar su dominio de convergencia puntual.
Utilizar los
Sabemos que la serie de Maclaurin de la función exponencial
de modo que la serie de Maclaurin de la función
Esta serie converge para todo
Para estudiar su dominio de convergencia puntual calculamos el radio de convergencia mediante el criterio de la razón.
De manera que la serie converge para todo
La probabilidad de que la variable tome un valor entre
La suma parcial de orden
Al tratarse de una serie alternada, como la sucesión
Ejercicio 16.7 La función de densidad de probabilidad de la distribución normal estándar es
Demostrar que esta distribución tiene media cero y desviación típica uno.
Para calcular la media de una variable aleatoria con función de densidad de probabilidad
Y para calcular la varianza, tenemos que calcular la integral
Esta integral no puede ser calculada directamente, pero sabemos que vale