16  2025-05-28
Examen de Análisis II

Fecha de publicación

28 de mayo de 2025

Ejercicio 16.1 Una magnitud s depende del tiempo t según la ecuación diferencial ds=2tdt. Sabiendo que s(0)=1, calcular las integrales superiores e inferiores de Riemann de ambos lados de la ecuación y utilizarlas para calcular s(t).

Calcularemos primero las sumas inferior y superior de Riemann del lado derecho de la ecuación diferencial. Para ello, consideraremos la función f(t)=2t en el intervalo [0,t]. Si dividimos el intervalo [0,t] en n subintervalos de igual longitud Δt=tn, obtenemos la partición Pn={ti=itn:i=0,,n}. Como f(t) es una función creciente, la suma inferior de Riemann vale

i=1nf(ti1)Δt=i=1n2ti1tn=i=1n2(i1)t2n2=2t2n2i=1n(i1)=2t2n2(n1)n2=(n1)t2n.

Y la suma superior de Riemann se calcula de manera similar, pero utilizando el valor de la función en el extremo derecho de cada subintervalo:

i=1nf(ti)Δt=i=1n2titn=i=1n2it2n2=2t2n2i=1ni=2t2n2n(n+1)2=(n+1)t2n.

Así pues, la integral inferior de Riemann es

0t2xdx=limn(n1)t2n=t2,

y la integral superior de Riemann es

0t2xdx=limn(n+1)t2n=t2.

Por tanto, ambas integrales coinciden y podemos concluir que

0t2xdx=t2.

Ahora calcularemos las sumas inferior y superior del lado izquierdo de la ecuación diferencial. Para ello, consideraremos la función g(s)=1 en el intervalo [1,s(t)]. Si dividimos el intervalo [1,s(t)] en n subintervalos de igual longitud Δs=s(t)1n, obtenemos la partición Qn={si=1+is(t)1n:i=0,,n}. Como g(s) es una función constante, la suma inferior de Riemann vale

i=1ng(si1)Δs=i=1ns(t)1n=n(s(t)1)n=s(t)1.

Y la suma superior de Riemann se calcula de manera similar

i=1ng(si)Δs=i=1ns(t)1n=n(s(t)1)n=s(t)1.

Como el valor de ambas sumas es el mismo y no depende de n, podemos concluir que

1s(t)dx=s(t)1.

Finalmente, igualando las dos integrales, obtenemos

s(t)1=t2s(t)=t2+1.

Ejercicio 16.2 Calcular el área de la intersección del círculo de radio 1 centrado en el origen y la rosa de 4 pétalos de ecuación r=2sen(2θ).

Por simetría, basta calcular el volumen de la parte del depósito en el primer cuadrante y multiplicar por 4.

Calculamos primero los puntos de intersección del pétalo del primer cuadrante con el círculo. Para ello, igualamos las ecuaciones de ambos conjuntos:

2sen(2θ)=1sen(2θ)=122θ=π6 y 5π6θ=π12 y 5π12.

Así pues, trabajando en coordenadas polares, y descomponiendo intervalo de integración del ángulo θ [0,π/2] en tres subintervalos [0,π/12], [π/12,5π/12] y [5π/12,π/2], el área de la intersección del círculo y el pétalo del primer cuadrante viene dada por la suma de las siguientes integrales

0π122sen(2θ)22dθ+π125π12122dθ+5π12π22sen(2θ)22dθ.

Calculamos cada una de estas integrales por separado:

0π12(2sen(2θ))22dθ=20π12sen(2θ)2dθ=20π121cos(4θ)2dθ=[θsen(4θ)4]0π12=π12sen(4π12)4=π1238.π125π12122dθ=[θ2]π125π12=(5π24π24)=π6.5π12π2(2sen(2θ))22dθ=[θ2sen(4θ)4]5π12π2=(π2sen(4π2)4)(5π12sen(45π12)4)=π1238.

Por tanto, el área de la intersección del círculo y el pétalo del primer cuadrante es

(π1238)+π6+(π1238)=π334,

y el área total de la intersección del círculo y la rosa de 4 pétalos es

4(π334)=4π33.

Ejercicio 16.3 Calcular el volumen de un depósito limitado por el paraboloide elíptico de ecuación z=x29+y24 y el plano z=1 en m3.

Aunque no se trata de un sólido de revolución, las secciones transversales del depósito con respecto al eje z son regiones regulares con forma elíptica de ecuación

x29+y24=zy24=zx29y=±2zx29,

de manera que acumulando el área de estas elipses a lo largo del eje z en el intervalo [0,1] podemos obtener el volumen del depósito.

Igualando y=0 en esta ecuación, podemos obtener los puntos donde estas elipses cortan al eje x.

2zx29=0zx29=0z=x29x=±3z.

Así pues, el área de cada sección elíptica viene dada por la integral

A(z)=23z3z2zx29dx=43z3zzx29dx(Cambio x=3zsen(u))=12π/2π/2zzsen(u)23zcos(u)du=12zπ/2π/2z1sen(u)2cos(u)du=12zπ/2π/2cos(u)2du=12zπ/2π/21+cos(2u)2du=6z[u+sen(2u)2]π/2π/2=6z(π2+0(π2+0))=6πz.

Finalmente, para calcular el volumen del depósito, integramos el área de las secciones elípticas a lo largo del eje z en el intervalo [0,1].

01A(z)dz=016πzdz=6π[z22]01=6π12=3πm3.

Ejercicio 16.4 Estudiar la convergencia de las siguientes series y calcular una cota del error cometido al aproximarlas mediante una suma parcial de orden 10.

  1. n=1ln(n)n2.
  2. n=1(n+1)n2+n1.
  1. La serie n=1ln(n)n2 es de términos positivos, y además se cumple que la función f(x)=ln(x)x2 es decreciente para x2 y limxf(x)=0, por lo que, utilizando el criterio de la integral, tenemos

    2ln(x)x2dx=2ln(x)x2dx(Partes)=[ln(x)x]2+2x2,dx=limxln(x)x+ln(2)2+[1x]2=0+ln(2)2+limx1x+12=ln(2)+12.

    Y como la integral existe y es finita, la serie converge.

    Al aproximar su suma mediante la suma parcial de orden 10, podemos acotar el error cometido mediante la integral

    |n=11ln(n)n2|10ln(x)x2dx=[ln(x)+1x]10=limxln(x)+1x+ln(10)+1100.3303.

  2. La serie n=1(n+1)n2+n1 también es de términos positivos, y se cumple que

    n+1n2+n1n+1n2+n=n+1n(n+1)=1n n1.

    Como la serie n=11n diverge al ser una serie p con p<1, por el criterio de comparación podemos concluir que la serie n=1(n+1)n2+n1 también diverge.

Ejercicio 16.5 La alfombra de Sierpiński es un conjunto fractal que es una generalización en dos dimensiones del conjunto de Cantor. Se puede construir de la siguiente manera:

  1. Comenzamos con un cuadrado de lado 1.
  2. Dividimos el cuadrado en 9 cuadrados más pequeños de lado 1/3 del lado original.
  3. Eliminamos el cuadrado central.
  4. Repetimos el proceso en cada uno de los cuadrados restantes.

Calcular el área de la alfombra de Sierpiński.

Para calcular el área de la alfombra de Sierpiński, observamos que en cada iteración del proceso, el área del cuadrado original se reduce 1/9 de su tamaño anterior, ya que eliminamos el cuadrado central. Así pues, en cada iteración se tiene

IteraciónÁrea cuadradoNum cuadradosArea quitada119119219288923193828293n19n8n18n19n

Por tanto, la suma de las areas quitadas viene dada por la serie

n=18n19n=19n=1(89)n1=19n=0(89)n,

que se trata de una serie geométrica de razón r=89<1, por lo que converge a

191189=199=1.

Por tanto, el área total quitada es 1, y como el área del cuadrado original era 1, el área de la alfombra de Sierpiński es nula y se trata de un conjunto de medida nula.

Ejercicio 16.6 La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria normal estándar es

f(x)=12πex22.

Dado que esta función no tiene integral elemental, calcular la serie que resulta de integrar su serie de Maclaurin y determinar su dominio de convergencia puntual.

Utilizar los 5 primeros términos de esta serie para calcular de manera aproximada la probabilidad de que la variable tome un valor entre 0 y 1. Dar una cota del error cometido.

Sabemos que la serie de Maclaurin de la función exponencial ex es

n=0xnn!,

de modo que la serie de Maclaurin de la función f(x)=12πex22 es

12πn=0(x2/2)nn!=12πn=0(1)n2nn!x2n.

Esta serie converge para todo xR, ya que la serie de Maclaurin de la función exponencial converge para todo xR, de manera que podemos calcular la integral de f integrando la serie término a término.

f(x)dx=12πn=0(1)n2nn!x2ndx=12πn=0(1)n2nn!x2ndx=12πn=0(1)n2nn!x2n+12n+1+C=12πn=0(1)nx2n+12nn!(2n+1)+C.

Para estudiar su dominio de convergencia puntual calculamos el radio de convergencia mediante el criterio de la razón.

limn|anan+1|=limn|(1)n2nn!(2n+1)(1)n+12n+1(n+1)!(2(n+1)+1)|=limn2n+1(n+1)!(2n+3)2nn!(2n+1)=limn2(n+1)(2n+3)(2n+1)=limn4n2+10n+62n+1=.

De manera que la serie converge para todo xR.

La probabilidad de que la variable tome un valor entre 0 y 1 es

P(0<X<1)=01f(x)dx=[12πn=0(1)nx2n+12nn!(2n+1)]01=12πn=0(1)n2nn!(2n+1).

La suma parcial de orden 5 de esta serie es

12πn=04(1)n2nn!(2n+1)=12π(116+1401336+13456)0.3415.

Al tratarse de una serie alternada, como la sucesión ((1)n2nn!(2n+1))n=0 es decreciente y tiende a cero, podemos acotar el error cometido al aproximar la suma de la serie mediante la suma parcial de orden 5 utilizando el teorema del resto de la serie alternada, es decir, mediante el siguiente término de la sucesión,

|n=5(1)n2nn!(2n+1)||(1)5255!(25+1)|=13212011=1422402.4105.

Ejercicio 16.7 La función de densidad de probabilidad de la distribución normal estándar es

f(x)=12πex22.

Demostrar que esta distribución tiene media cero y desviación típica uno.

Para calcular la media de una variable aleatoria con función de densidad de probabilidad f(x), tenemos que cualcular la integral

μ=xf(x)dx=x12πex22dx(Cambio u=x2/2)=12πxex22dx=12π[ex22]=12π(00)=0.

Y para calcular la varianza, tenemos que calcular la integral

(Como μ=0)σ2=(xμ)2f(x)dx=x2f(x)dx=x212πex22dx=12πx2ex22dx(Integración por partes (1))=12π([xex22]+ex22dx)=12π(limxxex2/2limxxex2/2+ex22dx)=12π(0+0+ex22dx)=12πex22dx.(1)u=x,dv=xex22dx

Esta integral no puede ser calculada directamente, pero sabemos que vale 1 al ser la integral de la función de densidad de probabilidad de la distribución normal estándar. Por tanto, podemos concluir que σ2=1, y por tanto, la desviación típica es σ=1.