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Examen de Análisis II
4.1 Primera parte
Ejercicio 4.1 Calcular las siguientes sumas si existen
. .
es una serie con por lo que la serie converge, pero para calcular su suma vamos a reescribir el término general como suma de fracciones simples.que es una serie telescópica, de manera que
es una serie alternada, peropor lo que la serie diverge.
Ejercicio 4.2 Considérese el conjunto de Cantor que resulta de ir eliminando del intervalo
- Etapa 1: Se elimina el intervalo
. - Etapa 2: Se eliminan los intervalos
y . - Etapa 3: Se eliminan los intervalos
, , y . - …
¿Cuál es la longitud total de los intervalos eliminados?
En la primera etapa se elimina el intervalo
que es una serie geométrica de razón
Ejercicio 4.3 La distribución de Borel de parámetro
¿Para qué valores de
Para estudiar la convergencia absoluta de la serie
Como
Ejercicio 4.4 Calcular la integral inferior de Riemann de la parábola
Si dividimos el intervalo
Y la integral inferior de Riemann es
4.2 Segunda parte
Ejercicio 4.5 La función
Para obtener el beneficio acumulado de la empresa ente el quinto y décimo año tenemos que calcular la integral definida de la función de los ingresos menos la de los gastos en el intervalo
Vamos a calcular estas dos integrales por separado.
y
Así pues el beneficio acumulado es
Ejercicio 4.6 Calcular el área de región encerrada por la curva polar
La función
Ejercicio 4.7 Calcular el volumen del depósito generado al rotar alrededor del eje
Para calcular el volumen del sólido de revolución generado al rotar alrededor del eje
Por otro lado, la chapa necesaria para su construcción viene dada por la superficie del sólido de revolución y para calcular el área de la superficie de un sólido de revolución cuando la gráfica de
Sin embargo, como la gráfica de
Ejercicio 4.8 La gran pirámide de Gizeh tiene una altura de
Supongamos que base de la pirámide está centrada en el origen de coordenadas del plano
Para calcular el trabajo realizado en la construcción de la pirámide, calcularemos el trabajo realizado para las secciones transversales de la pirámide con respecto al eje
Si la altura de cada una de estas secciones transversales es
A partir del volumen de casa sección transversal podemos calcular su masa multiplicando por la densidad de la piedra.
Así pues, la fuerza necesaria para mover la masa de cada una de estas secciones transversales es
Finalmente, como cada sección transversal debe elevarse una altura
Así pues, el trabajo total será la suma de los trabajos realizados al desplazar las infinitas secciones transversales desde la base de la pirámide hasta su cima, es decir, en el intervalo