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Examen de Análisis II

Fecha de publicación

1 de junio de 2023

4.1 Primera parte

Ejercicio 4.1 Calcular las siguientes sumas si existen

  1. n=22n21.

  2. n=1(1)nnln(n).

  1. n=22n21 es una serie p con p>1 por lo que la serie converge, pero para calcular su suma vamos a reescribir el término general como suma de fracciones simples.

    n=22n21=n=22(n+1)(n1)=n=21n11n+1,

    que es una serie telescópica, de manera que

    n=22n21=1+12+limn2n21=32.

  2. n=1(1)nnln(n) es una serie alternada, pero

    (L’Hôpital)limnnln(n)=limn12n1n=limnn2n=,

    por lo que la serie diverge.

Ejercicio 4.2 Considérese el conjunto de Cantor que resulta de ir eliminando del intervalo [0,10], de manera recursiva, el 80% central de los intervalos restantes. El procedimiento sería el siguiente:

  • Etapa 1: Se elimina el intervalo (1,9).
  • Etapa 2: Se eliminan los intervalos (0.1,0.9) y (9.1,9.9).
  • Etapa 3: Se eliminan los intervalos (0.01,0.09), (0.91,0.99), (9.01,9.09) y (9.91,9.99).

¿Cuál es la longitud total de los intervalos eliminados?

En la primera etapa se elimina el intervalo (1,9), que tiene longitud 8. En la segunda etapa se eliminan 2 intervalos, (0.1,0.9) y (9.1,9.9), ambos con amplitud 0.8, y por tanto, la longitud de los intervalos eliminados es 20.8. En la tercera etapa se eliminan 4 intervalos, (0.01,0.09), (0.91,0.99), (9.01,9.09) y (9.91,9.99), ambos con amplitud 0.08, y por tanto, la longitud de los intervalos eliminados es 40.08. En general, en la etapa n se eliminan 2n1 intervalos, todos con amplitud 810n1, y por tanto, la longitud de los intervalos eliminados es 2n1810n1. Así pues, la suma de las longitudes de los intervalos eliminados viene dada por la serie

n=12n1810n1=n=02n810n=8n=0(210)n,

que es una serie geométrica de razón 210<1, por lo que que converge y su suma vale

8n=0(210)n=811210=8108=10.

Ejercicio 4.3 La distribución de Borel de parámetro μ0 es una distribución de probabilidad discreta con recorrido N y función de probabilidad ñ f(n)=(μn)n1eμnn! nN,

¿Para qué valores de μ la serie f(n) es absolutamente convergente?

Para estudiar la convergencia absoluta de la serie n=1(μn)n1eμnn!, aplicamos el criterio de la razón.

limn|an+1an|=limn(μ(n+1))neμ(n+1)(n+1)!(μn)n1eμnn!=limnμn(n+1)neμnn!μn1nn1eμ(n+1)(n+1)!=limnμ(n+1)(n+1)n1eμnn!nn1eμeμn(n+1)n!=limnμeμ(n+1n)n1=μeμlimn(1+1n)n1=μeμe=μeμ1.

Como μeμ1<1μ<eμ1, es cierto para cualquier μ0 excepto para μ=1, la serie converge absolutamente μ0, μ1. Para μ=1 el criterio de la razón no es concluyente.

Ejercicio 4.4 Calcular la integral inferior de Riemann de la parábola f(x)=3x2+2x en el intervalo [0,10].

Si dividimos el intervalo [0,1] en n subintervalos de igual amplitud obtenemos la partición Pn={x0=0,x1,,xn=10} con xi=10in i=1,,n. Como la función f(x)=3x2+2x es creciente en el intervalo [0,10], el mínimo de f en cada subintervalo [xi1,xi] se alcanzará en el extremo inferior, de manera que la suma inferior de Riemann de f con respecto a Pn es

s(f,Pn)=i=1nf(xi1)(xixi1)=i=1n(3(10(i1)n)2+2(10(i1)n))10n=10n(i=1n300n2(i1)2+i=1n20n(i1))=3000n3i=1n(i1)2+200n2i=1n(i1)=3000n3i=1ni2+2i+1+200n2i=1n(i1)=3000n3(i=1ni22i=1ni+i=1n1)+200n2(i=1nii=1n1)=3000n3(n(n+1)(2n+1)62n(n+1)2+n)+200n2(n(n+1)2n)=3000n3(n33+n22+n6n2n+n)+200n2(n22+n2n)=500(2n33n2+nn3)+100(n2nn2).

Y la integral inferior de Riemann es

010f=limns(f,Pn)=limn500(2n33n2+nn3)+100(n2nn2)=500limn(2n33n2+nn3)+100limn(n2nn2)=5002+100=1100.

4.2 Segunda parte

Ejercicio 4.5 La función f(t)=50t/2+100 da los ingresos de una empresa en miles de euros t años después de su creación, mientras que la función g(t)=ln(t2+1)+100 da los gastos. Calcular el beneficio acumulado de la empresa entre el quinto y el décimo año.

Para obtener el beneficio acumulado de la empresa ente el quinto y décimo año tenemos que calcular la integral definida de la función de los ingresos menos la de los gastos en el intervalo [5,10], es decir,

510f(t)g(t)dt=51050t/2+100ln(t2+1)100dt=502510t1/2dt510ln(t2+1)dt.

Vamos a calcular estas dos integrales por separado.

510t1/2dt=[t3/23/2]010=23(103/253/2)13.6283.

y

(Partes)510ln(t2+1)dt=[tln(t2+1)]510510t2tt2+1dt=[tln(t2+1)]510251011t2+1dt=[tln(t2+1)]510[2t]510+[2arctg(t)]510=10ln(102+1)5ln(52+1)210+25+2arctg(10)2arctg(5)20.0562.

Así pues el beneficio acumulado es

510f(t)g(t)dt50213.628320.0562=461.7768 miles de €.

Ejercicio 4.6 Calcular el área de región encerrada por la curva polar r=2cos(θ)sen(θ).

La función r=2cos(θ)sen(θ) tiene periodo π, pero para describir la curva completa es necesario que θ recorra la circunferencia entera, por lo que el intervalo de integración es [0,2π] y, por tanto, para calcular el área encerrada por esta curva polar tenemos que calcula la siguiente integral.

02πr22dθ=1202π2cos(θ)sen(θ)dθ(Cambio x=2θ)=1202πsen(2θ)2dθ=1404πsen(x)2dx=1404π1cos(2x)2dx=1804πdx04πcos(2x)dx=18([x]04π[12sen(2x)]04π)=184π=π2.

Ejercicio 4.7 Calcular el volumen del depósito generado al rotar alrededor del eje y la gráfica de la función f(x)=(x1)2 con 0x3. Plantear la integral para obtener la cantidad de chapa necesaria para su construcción, sin llegar a calcularla.

Para calcular el volumen del sólido de revolución generado al rotar alrededor del eje y la gráfica de la función f(x)=(x1)2 en el intervalo [0,3] utilizaremos envoltorios cilíndricos, de manera que el volumen viene dado por la integral

032πxf(x)dx=2π03x(x1)2dx=2π03x(x22x+1)dx=2π03x32x2+xdx=2π[x442x33+x22]03=2π(3442333+322)=27π2unidades3.

Por otro lado, la chapa necesaria para su construcción viene dada por la superficie del sólido de revolución y para calcular el área de la superficie de un sólido de revolución cuando la gráfica de f se rota alrededor del eje x se utiliza la integral

032πf(x)1+f(x)2dx

Sin embargo, como la gráfica de f se rota alrededor del eje y, el radio del los troncos de conos que resultan al tomar particiones del intervalo y aproximaciones de Riemman, en lugar de ser y=f(x), es x, por lo que la integral que hay que calcular es

032πx1+f(x)2dx=2π03x1+(2(x1))2dx.

Ejercicio 4.8 La gran pirámide de Gizeh tiene una altura de 138 m y una base cuadrada de lado 230 m. Calcular de manera aproximada el trabajo realizado en su construcción. Supóngase que la densidad de las piedras usadas en su construcción es de 2500 kg/m3 y que la aceleración de la gravedad es 9.81 m/s2.

Supongamos que base de la pirámide está centrada en el origen de coordenadas del plano XZ. Entonces, la ecuación de la recta en la que queda inscrito el apotema de la pirámide es y=138138115x de manera que x=115138(138y)=11556y.

Para calcular el trabajo realizado en la construcción de la pirámide, calcularemos el trabajo realizado para las secciones transversales de la pirámide con respecto al eje y, que serán cuadrados de lado 2x, y por tanto tendrán área Ai=(2(11556y))2=(23053y)2=5290023003y+259y2 m2.

Si la altura de cada una de estas secciones transversales es Δy, su volumen es

Vi=AiΔy=(5290023003y+259y2)Δy m3.

A partir del volumen de casa sección transversal podemos calcular su masa multiplicando por la densidad de la piedra.

Mi=Viδ=2500(5290023003y+259y2)Δy kg.

Así pues, la fuerza necesaria para mover la masa de cada una de estas secciones transversales es

Fi=Mig=9.812500(5290023003y+259y2)Δy N,

Finalmente, como cada sección transversal debe elevarse una altura y, el trabajo realizado al mover la masa correspondiente a la sección transversal es

Wi=Fiy=9.812500y(5290023003y+259y2)Δy J.

Así pues, el trabajo total será la suma de los trabajos realizados al desplazar las infinitas secciones transversales desde la base de la pirámide hasta su cima, es decir, en el intervalo y[0,138], que viene dado por la integral

W=01389.812500y(5290023003y+259y2)dy=24525013852900y23003y2+259y3dy=24525[52900y2223003y33+259y44]0138=24525(264501382230091383+25361384)2058930157500 J.