12  2024-11-11
Examen de Análisis I

Fecha de publicación

11 de noviembre de 2024

Ejercicio 12.1 Calcular las asíntotas de la función \(f(x) = e^{\frac{x}{x^2-1}}+3x\).

Asíntotas verticales

Buscamos las asíntotas verticales en los puntos donde la función no está definida. La función está definida en todo \(\mathbb{R}\), excepto en \(x=1\) y \(x=-1\), ya que en estos puntos se anula el denominador del exponente.

Estudiamos primero el límite en \(x=-1\).

\[\begin{align*} \lim_{x\to -1^-} e^{\frac{x}{x^2-1}}+3x &= \lim_{x\to -1^-} e^{\frac{x}{x^2-1}}+\lim_{x\to -1^-} 3x \\ &= e^{\lim_{x\to -1^-}\frac{x}{x^2-1}}+3(-1) \\ &= e^{-\infty}-3 = -3.\\ \lim_{x\to -1^+} e^{\frac{x}{x^2-1}}+3x &= \lim_{x\to -1^+} e^{\frac{x}{x^2-1}}+\lim_{x\to -1^+} 3x \\ &= e^{\lim_{x\to -1^+}\frac{x}{x^2-1}}+3(-1) \\ &= e^{\infty}-3 = \infty. \end{align*}\]

Por tanto, la función tiene una asíntota vertical en \(x=-1\) por la derecha.

Estudiamos ahora el límite en \(x=1\).

\[\begin{align*} \lim_{x\to 1^-} e^{\frac{x}{x^2-1}}+3x &= \lim_{x\to 1^-} e^{\frac{x}{x^2-1}}+\lim_{x\to 1^-} 3x \\ &= e^{\lim_{x\to 1^-}\frac{x}{x^2-1}}+3(1) \\ &= e^{-\infty}+3 = 3.\\ \lim_{x\to 1^+} e^{\frac{x}{x^2-1}}+3x &= \lim_{x\to 1^+} e^{\frac{x}{x^2-1}}+\lim_{x\to 1^+} 3x \\ &= e^{\lim_{x\to 1^+}\frac{x}{x^2-1}}+3(1) \\ &= e^{\infty}+3 = \infty. \end{align*}\]

Por tanto, la función tiene una asíntota vertical en \(x=1\) por la derecha.

Asíntotas horizontales

Estudiamos los límites en el infinito.

\[\begin{align*} \lim_{x\to \infty} e^{\frac{x}{x^2-1}}+3x &= \lim_{x\to -\infty} e^{\frac{x}{x^2-1}}+\lim_{x\to -\infty} 3x \\ &= e^{\lim_{x\to -\infty}\frac{x}{x^2-1}}+3\lim_{x\to -\infty} x \\ &= e^0-3\infty = -\infty. \\ \lim_{x\to \infty} e^{\frac{x}{x^2-1}}+3x &= \lim_{x\to \infty} e^{\frac{x}{x^2-1}}+\lim_{x\to \infty} 3x \\ &= e^{\lim_{x\to \infty}\frac{x}{x^2-1}}+3\lim_{x\to \infty} x \\ &= e^0+3\infty = \infty. \end{align*}\]

Por tanto, la función no tiene asíntotas horizontales.

Asíntotas oblicuas

Para determiar la pendiente de la asíntota estudiamos los límites en el infinito de \(f(x)/x\).

\[\begin{align*} \lim_{x\to -\infty} \frac{e^{\frac{x}{x^2-1}}+3x}{x} &= \lim_{x\to -\infty} \frac{e^{\frac{x}{x^2-1}}}{x}+\lim_{x\to -\infty} \frac{3x}{x} \\ &= \frac{\lim_{x\to -\infty} e^{\frac{x}{x^2-1}}}{\lim_{x\to -\infty} x}+3 \\ &= \frac{1}{-\infty}+3 = 3. \\ \end{align*}\]

Así pues, la función tiene una asíntota oblicua en \(-\infty\) con pendiente \(3\).

Para determinar el término independiente de la asíntota oblicua, calculamos el límite de \(f(x)-3x\) en el infinito.

\[\begin{align*} \lim_{x\to -\infty} e^{\frac{x}{x^2-1}}+3x-3x &= \lim_{x\to -\infty} e^{\frac{x}{x^2-1}} \\ &= e^{\lim_{x\to -\infty}\frac{x}{x^2-1}} \\ &= e^0 = 1. \end{align*}\]

Por tanto, la función tiene una asíntota oblicua en \(-\infty\) con ecuación \(y=3x+1\).

Del mismo modo se puede demostrar que la misma recta \(y=3x+1\) es una asíntota oblicua en \(+\infty\).

Ejercicio 12.2 Una inversión financiera ofrece una rentabilidad anual dada por la sucesión

\[ \begin{cases} a_1 = 2\%, \\ a_{n+1} = \frac{8a_n}{a_n+4}\% \end{cases} \]

¿Hacia qué valor tiende la rentabilidad a largo plazo?

Calculamos los primeros términos de la sucesión para darnos una idea de su comportamiento.

\[\begin{align*} a_1 &= 2, \\ a_2 &= \frac{8\cdot 2}{2+4} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} \approx 2.67, \\ a_3 &= \frac{8\cdot 8/3}{8/3+4} = \frac{64/3}{20/3} = \frac{64}{20} = \frac{16}{5} = 3.2, \\ a_4 &= \frac{8\cdot 16/5}{16/5+4} = \frac{128/5}{36/5} = \frac{128}{36} = \frac{32}{9} \approx 3.56, \\ a_5 &= \frac{8\cdot 32/9}{32/9+4} = \frac{256/9}{68/9} = \frac{256}{68} = \frac{64}{17} \approx 3.76, \\ \ldots \end{align*}\]

Parece que la sucesión tiende a \(4\), así que probaremos por inducción que 4 es una cota superior de la sucesión.

Caso base: \(a_1 = 2 < 4\). Hipótesis de inducción: Supongamos que \(a_n < 4\). Paso inductivo: Probaremos que \(a_{n+1} < 4\), o lo que es equivalente, \(\frac{1}{a_{n+1}} > \frac{1}{4}\).

\[\begin{align*} \frac{1}{a_{n+1}} &= \frac{a_n+4}{8a_n} = \frac{a_n}{8a_n} + \frac{4}{8a_n} = \frac{1}{8} + \frac{1}{2a_n} \\ &> \frac{1}{8} + \frac{1}{2\cdot 4} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{1}{4}. \end{align*}\]

Por tanto, \(a_n < 4\) \(\forall n\in\mathbb{N}\).

Probaremos ahora que la sucesión es creciente. Para ello, calculamos la diferencia entre dos términos consecutivos.

\[\begin{align*} a_{n+1}-a_n &= \frac{8a_n}{a_n+4}-a_n = \frac{8a_n-a_n(a_n+4)}{a_n+4} = \frac{a_n(4-a_n)}{a_n+4} > 0 \end{align*}\]

ya que \(0<a_n<4\) \(\forall n\in\mathbb{N}\).

Como la sucesión es creciente y acotada superiormente, según el teorema de convergencia de sucesiones monótonas, la sucesión converge. Tomando límites en la ecuación de recurrencia, obtenemos

\[ a = \lim_{n\to\infty} a_{n+1} = \lim_{n\to\infty} \frac{8a_n}{a_n+4} = \frac{8\lim_{n\to\infty a_n}}{\lim_{n\to\infty} a_n+4} \\ = \frac{8a}{a+4} \]

Resolviendo la ecuación anterior se tiene

\[ \begin{gathered} a = \frac{8a}{a+4} \Leftrightarrow a(a+4) = 8a \Leftrightarrow a^2+4a = 8a \Leftrightarrow a^2-4a = 0 \\ \Leftrightarrow a(a-4) = 0 \Leftrightarrow a = 0 \quad \text{o} \quad a = 4. \end{gathered} \]

Como \(a_1 = 2 > 0\), se tiene que \(a = 4\), y por tanto, la rentabilidad a largo plazo tiende al \(4\%\).

Ejercicio 12.3 Demostrar sin usar la regla de L’Hôpital que \(1 - \cos(x)\) y \(\frac{x^2}{2}\) son infinitésimos equivalentes en \(x=0\).

Usando la fórmula del coseno del ángulo doble, tenemos que

\[ \cos(x) = \cos\left(\frac{x}{2}\right)^2 - \sin\left(\frac{x}{2}\right)^2 = 1 - 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)^2 \Leftrightarrow 1 - \cos(x) = 2\sin\left(\frac{x}{2}\right)^2. \]

Como \(\sin(x) \approx x\) para \(x\approx 0\), se tiene que \(\sin\left(\frac{x}{2}\right) \approx \frac{x}{2}\) para \(x\approx 0\), y por tanto, se tiene

\[ \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos(x)}{\frac{x^2}{2}} = \lim_{x\to 0} \frac{2\sin\left(\frac{x}{2}\right)^2}{\frac{x^2}{2}} = \lim_{x\to 0} \frac{2\left(\frac{x}{2}\right)^2}{\frac{x^2}{2}} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2}{x^2} = 1, \]

y por tanto \(1-\cos(x)\) y \(\frac{x^2}{2}\) son infinitésimos equivalentes en \(x=0\).

Ejercicio 12.4 Dado el conjunto \(A=\left\{x\in\mathbb{Q}: 2x^3-3x^2+x>0\right\}\), calcular su supremo, su ínfimo, su máximo y su mínimo. ¿Es un conjunto abierto o cerrado? Dar sus puntos de acumulación que no pertenecen al conjunto y demostrarlo.

Primero vamos a expresar el conjunto \(A\) mediante la unión de intervalos. Para ello, factorizamos el polinomio \(2x^3-3x^2+x\) y se tiene

\[ 2x^3-3x^2+x = x(2x^2-3x+1) = x(2x-1)(x-1). \]

Para que \(2x^3-3x^2+x>0\), necesitamos que \(x>0\) y que \((2x-1)(x-1)>0\), o que \(x<0\) y \((2x-1)(x-1)<0\). Por su parte, \((2x-1)(x-1)>0\) si \(x>1\) o \(x<1/2\). Así pues, el conjunto \(A\) se puede expresar como

\[ A = \left\{x\in\mathbb{Q}: x>0 \land x>1 \right\} \cup \left\{x\in\mathbb{Q}: x>0 \land x<1/2 \right\} = \mathbb{Q}\cap((0,1/2) \cup (1,\infty)). \]

Resulta fácil ver que \(A\) no tiene supremo ya que no está acotado superiormente, y por tanto tampoco tiene máximo. Por otro lado, su ínfimo es \(0\) ya que es la mayor de las cotas inferiores, pero como \(0\not\in A\), no tiene mínimo.

El conjunto \(A\) no es abierto ya que sus puntos no son interiores. Si tomamos cualquier valor \(x\in A\), para cualquier \(\varepsilon>0\) se tiene que el entorno \((x-\varepsilon, x+\varepsilon)\) contiene valores irracionales debido a la densidad de los números irracionales en los reales. Por tanto, \(A\) no es abierto. Del mismo modo, su contrario tampoco es abierto ya que si tomamos por ejemplo un valor \(x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}\) tal que \(x>1\), para cualquier \(\varepsilon\) el \((x-\varepsilon, x+\varepsilon)\) contiene valores racionales por la densidad de los racionales en los reales. Por tanto, \(\mathbb{R}\setminus A\) no es abierto y \(A\) no es cerrado.

Finalmente, veamos que puntos de acumulación de \(A\) que no pertenecen a \(A\). En primer lugar, \(0\) es un punto de acumulación de \(A\) ya que cualquier entorno reducido de \(0\) contiene valores racionales positivos. Del mismo modo, \(1/2\) es otro punto de acumulación ya que cualquier entorno reducido de \(1/2\) contiene valores racionales menores de \(1/2\). Y \(1\) es también otro punto de acumulación ya que cualquier entorno reducido de \(1\) contiene valores racionales mayores de \(1\). Por tanto, \(0\), \(1/2\) y \(1\) son puntos de acumulación de \(A\) que no pertenecen a \(A\). Pero además, cualquier número irracional \(x\in (0,1/2) \cup (1,\infty)\) es un punto de acumulación de \(A\) que no pertenece a \(A\), ya que, una vez más, por la densidad de los racionales en los reales, cualquier entorno de \(x\) contiene valores racionales en \((0,1/2) \cup (1,\infty)\), es decir en \(A\). Por tanto, los puntos de acumulación de \(A\) que no pertenecen a \(A\) son \(0\), \(1/2\), \(1\) y \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\cap((0,1/2) \cup (1,\infty))\).

Ejercicio 12.5 Demostrar usando la definición de límite que \(\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x^2-1} = \frac{1}{2}\).

Dado un \(\varepsilon>0\), veamos si existe un \(\delta>0\) tal que \(|\frac{x-1}{x^2-1} -\frac{1}{2}|<\varepsilon\) \(\forall x\in\mathbb{R}\) tal que \(|x-1|<\delta\).

\[ \left|\frac{x-1}{x^2-1} -\frac{1}{2}\right| = \left|\frac{(x-1)}{(x+1)(x-1)} -\frac{1}{2}\right| = \left|\frac{1}{x+1}-\frac{1}{2}\right| = \left|\frac{1-x}{2(x+1)}\right| = \frac{|x-1|}{2|x+1|}. \]

Necesitamos que

\[ \frac{|x-1|}{2|x+1|}<\varepsilon. \]

Para acotar inferiormente \(|x+1|\), supongamos que \(|x-1|<1\), de modo que \(0<x<2\). Entonces \(1<x+1<3\), y por tanto, \(|x+1|>1\). Así pues, si \(|x-1|<1\), tenemos que

\[ \frac{|x-1|}{2|x+1|} < \frac{|x-1|}{2}. \]

Necesitamos, por tanto, que

\[ \frac{|x-1|}{2}<\varepsilon \Leftrightarrow |x-1|<2\varepsilon. \]

De manera que tomando \(\delta = \min\{1,2\varepsilon\}\), se tiene que

\[ \left|\frac{x-1}{x^2-1} -\frac{1}{2}\right| = \left|\frac{1-x}{2(x+1)}\right| < \left|\frac{1-x}{2}\right| < \frac{2\varepsilon}{2} = \varepsilon, \]

lo que prueba que \(\lim_{x\to 1}\frac{x-1}{x^2-1} = \frac{1}{2}\).