9  2024-04-16
Examen de Análisis II

Ejercicio 9.1 Calcular mediante sumas de Riemann la integral inferior de Riemann de la función $f(x)=x^3-3x^2$ en el intervalo $[1,2]$.

Solución

Veamos primero si la función es creciente o decreciente en el intervalo $[1,2]$.

$$f^{\prime }(x)=3x^2-6x=3x(x-2)=0\iff x=0\text{ o }x=2$$

Como $f^{\prime }(1)=-3<0$ la función es decreciente en el intervalo $[1,2]$, y por tanto, $f(x)$ alcanzará el valor mínimo en el extremo derecho de cualquier subintervalo de una partición de $[1,2]$.

Si consideramos una partición del intervalo $[1,2]$ en $n$ subintervalos de longitud $\mathrm{\Delta }x=\frac{2-1}{n}=\frac{1}{n}$, entonces los extremos de los subintervalos serán $P_n([0,1])=\{x_i=1+\frac{i}{n}:i=0,\dots ,n\}$.

Calculamos ahora la suma inferior de Riemann para esta partición.

$$\begin{array}{rl}s(f,P_n)& =\sum _{i=1}^{n}f(x_i)\mathrm{\Delta }x=\sum _{i=1}^{n}f(1+\frac{i}{n})\frac{1}{n}\\ & =\sum _{i=1}^n{(1+\frac{i}{n})}^3-3{(1+\frac{i}{n})}^2\frac{1}{n}\\ & =\sum _{i=1}^n(1+3\frac{i}{n}+3\frac{i^2}{n^2}+\frac{i^3}{n^3})-3(1+2\frac{i}{n}+\frac{i^2}{n^2})\frac{1}{n}\\ & =\sum _{i=1}^n(1+3\frac{i}{n}+3\frac{i^2}{n^2}+\frac{i^3}{n^3}-3-6\frac{i}{n}-3\frac{i^2}{n^2})\frac{1}{n}\\ & =\sum _{i=1}^n(-2-3\frac{i}{n}+\frac{i^3}{n^3})\frac{1}{n}\\ & =-\frac{2}{n}\sum _{i=1}^{n}1-\frac{3}{n^2}\sum _{i=1}^{n}i+\frac{1}{n^4}\sum _{i=1}^n{i}^3\\ & =-\frac{2}{n}n-\frac{3}{n^2}\frac{n(n+1)}{2}+\frac{1}{n^4}{\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2\\ & =-2-\frac{3}{2}\frac{n+1}{n}+\frac{1}{4}\frac{(n+1{)}^2}{n^2}.\end{array}$$

Por lo tanto, la integral inferior de Riemann de $f(x)$ en el intervalo $[1,2]$ es

$$\begin{array}{rl}\underset{―}{{\int }_1^2}f(x)& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}s(f,P_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(-2-\frac{3}{2}\frac{n+1}{n}+\frac{1}{4}\frac{(n+1{)}^2}{n^2})\\ & =-2-\frac{3}{2}+\frac{1}{4}=-\frac{13}{4}.\end{array}$$

Ejercicio 9.2 Calcular el volumen del sólido de revolución que se obtiene al rotar al rededor de la recta $y=1$ la región limitada por las curvas $y=\frac{x+1}{2}$ y $x=(y-2{)}^2$.

Solución

Primero obtenemos los puntos de intersección de las curvas. $y=\frac{x+1}{2}\iff x=2y-1$, de manera que igualando con la otra curva obtenemos

$$2y-1=(y-2{)}^2\iff y^2-6y+5=0\iff y=1\text{ o }y=5.$$

A continuación dibujamos las gráficas de las curvas y la recta $y=1$ para visualizar la región.

Región encerrada por las curvas $y=\frac{x+1}{2}$ y $x=(y-2{)}^2$.

Para calcular el volumen del sólido de revolución que se obtiene a rotar esta región alrededor de la recta $y=1$ podríamos utilizar el método de los discos cilíndricos, pero en ese caso tendríamos que descomponer la región en dos partes, de $[0,1]$, donde integraríamos la región entre las dos ramas de la parábola, y de $[1,9]$, donde integraríamos la región entre la parábola y la recta. Resulta más rápido utilizar el método de los envoltorios cilíndricos integrando con respecto a $y$ en el intervalo $[1,5]$. Como la rotación es alrededor de la recta $x=1$, el radio de la base de los envoltorios cilíndricos será la distancia del valor de $y$ a esta recta, es decir, $y-1$, y por tanto la integral que nos da el volumen del sólido de revolución es

$$\begin{array}{rl}{\int }_1^{5}2\pi (y-1)((2y-1)-(y-2{)}^2)dy& =2\pi {\int }_1^5(y-1)(2y-1-y^2+4y-4)dy\\ & =2\pi {\int }_1^5(y-1)(-y^2+6y-5)dy\\ & =2\pi {\int }_1^5(-y^3+7y^2-11y+5)dy\\ & =2\pi {[-\frac{y^4}{4}+\frac{7y^3}{3}-\frac{11y^2}{2}+5y]}_1^5\\ & =2\pi (-\frac{625}{4}+\frac{875}{3}-\frac{275}{2}+25+\frac{1}{4}-\frac{7}{3}+\frac{11}{2}-5)\\ & =\frac{128\pi }{3}.\end{array}$$

Ejercicio 9.3 Calcular mediante una integral definida la longitud del arco de circunferencia del círculo $x^2+y^2=25$ desde el punto $(-3,4)$ hasta el punto $(4,3)$.

Solución

El arco de circunferencia con el que hay que trabajar está en la semicircunferencia positiva, que viene dada por la función $f(x)=\sqrt{25-x^2}$. Así pues, la longitud de la curva de $f$ en el intervalo $[-3,4]$ viene dada por la integral

$$\begin{array}{rl}{\int }_{-3}^4\sqrt{1+f^{\prime }(x{)}^2}dx& ={\int }_{-3}^4\sqrt{1+{\left(\frac{-x}{\sqrt{25-x^2}}\right)}^2}dx\\ & ={\int }_{-3}^4\sqrt{1+\frac{x^2}{25-x^2}}dx\\ & ={\int }_{-3}^4\sqrt{\frac{25}{25-x^2}}dx\\ & ={\int }_{-3}^4\sqrt{\frac{1}{1-(x/25{)}^2}}dx\\ \text{(Cambio }y=\frac{x}{5}\text{)}& & ={\int }_{-3/5}^{4/5}\frac{5}{\sqrt{1-y^2}}dy& =[5\mathrm{arcsen}(\mathrm{y}){]}_{-3/5}^{4/5}\\ & =5(\mathrm{arcsen}\left(\frac{4}{5}\right)-\mathrm{arcsen}\left(\frac{-3}{5}\right))\\ & \approx 7.854.\end{array}$$

Ejercicio 9.4 Calcular el area comprendida entre los círculos $r=\cos (\theta )$ y $r=2\mathrm{sen}(\theta )$.

Solución

En primer lugar dibujamos los círculos para visualizar la región.

Círculos $r=\cos (\theta )$ y $r=2\mathrm{sen}(\theta )$.

En la gráfica se observa que uno de los puntos de corte de los dos círculos es el origen, que se alcanza para $\theta =\pi /2$ en el caso de $f$ y para $\theta =0$ en el caso de $g$. El otro punto de corte está en el primer cuadrante, y para determinar su ángulo basta resolver la ecuación

$$\cos (\theta )=2\mathrm{sen}(\theta )\iff \frac{\mathrm{sen}(\theta )}{\cos (\theta )}=\frac{1}{2}\iff \mathrm{tg}(\theta )=\frac{1}{2}\iff \theta =\mathrm{arctg}(1/2)=0.4636.$$

El área de la región que nos piden es la suma de las áreas de las regiones sombreadas en azul y rojo. El área de la región en azul, que corresponde a la función $f(\theta )$ se puede obtener mediante la integral

$$\begin{array}{rl}{\int }_{0.4636}^{\pi /2}\frac{1}{2}(\cos (\theta ){)}^{2}d\theta & =\frac{1}{2}{\int }_{0.4636}^{\pi /2}\frac{1+\cos (2\theta )}{2}d\theta \\ & =\frac{1}{4}{\int }_{0.4636}^{\pi /2}1+\cos (2\theta )d\theta \\ & =\frac{1}{4}{[\theta +\frac{1}{2}\sin (2\theta )]}_{0.4636}^{\pi /2}\\ & =\frac{1}{4}[\frac{\pi }{2}+\frac{1}{2}\sin (\pi )-0.4636-\frac{1}{2}\sin (2\cdot 0.4636)]\\ & =\frac{1}{4}[\frac{\pi }{2}-0.4636-\frac{1}{2}\sin (0.9272)]\\ & \approx 0.1768.\end{array}$$

Y el área de la región en rojo, que corresponde a la función $g(\theta )$, se obtiene mediante la integral

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{0.4636}\frac{1}{2}(2\mathrm{sen}(\theta ){)}^{2}d\theta & ={\int }_0^{0.4636}2{\mathrm{sen}}^2(\theta )d\theta \\ & ={\int }_0^{0.4636}1-\cos (2\theta )d\theta \\ & ={[\theta -\frac{1}{2}\sin (2\theta )]}_0^{0.4636}\\ & =0.4636-\frac{1}{2}\sin (0.9272)\\ & \approx 0.0636.\end{array}$$

Por tanto, el area total es $0.1768+0.0636=0.2404$.