6 Límites de funciones

En este capítulo se introduce el concepto de límite de una función real de variable real, que es parecido al que ya se vio para sucesiones de números reales, y resulta imprescindible para llegar al concepto de derivada que se verá en el siguiente capítulo.

Se presentan también algunas propiedades de los límites, distintas técnicas para calcularlos y algunas aplicaciones importantes. Finalmente se introduce también el concepto de continuidad y se estudian los distintos tipos de discontinuidades que puede presentar una función.

6.1 El concepto de límite

6.1.1 Aproximación al concepto de límite

El concepto de límite está ligado al de tendencia.

Dado un conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$, se dice que $x\in A$ tiende a un número $a\in\mathbb{R}$, y lo escribimos $x\to a$, si se pueden tomar valores de $x$ tan próximos a $a$ como se quiera, pero sin llegar a valer $a$.

Advertencia

Para que $x\in A$ tienda a $a$, es necesario que $a$ sea un punto de acumulación de $A$.

Si la aproximación es por defecto (con valores menores que $a$) se dice que $x$ tiende a $a$ por la izquierda, y se escribe $x\to a^-$, y si es por exceso (con valores mayores que $a$) se dice que $x$ tiende a $a$ por la derecha, y se escribe $x\to a^+$.

Cuando la variable $x$ de una función $f$ tiende a un valor $a$, cabe preguntarse si sus imágenes mediante $f$ tienden a otro valor concreto:

Si $f(x)$ tiende a un valor $l$ cuando $x$ tiende a $a$, se dice que $l$ es el límite de $f(x)$ cuando $x\to a$, y se escribe

\[\lim_{x\to a}f(x)=l.\]

6.1.2 Límites laterales

Si $f(x)$ tiende a $l$ cuando $x$ tiende a $a$ por la izquierda, entonces se dice que $l$ es el límite por la izquierda de $f(x)$ cuando $x\to a^-$, y se escribe

\[\lim_{x\to a^-}f(x)=l.\]

Si $f(x)$ tiende a $l$ cuando $x$ se aproxima a $a$ por exceso, entonces se dice que $l$ es el límite por la derecha de $f(x)$ cuando $x\to a^-$, y se escribe

\[\lim_{x\to a^+}f(x)=l.\]

Ejemplo 6.1 Consideremos la función $f(x)=x^2$ y veamos que pasa cuando $x\to 2$:

\[ \begin{array}{c} \underbrace{\begin{array}{ccc} \mbox{Aproximación por defecto} & \qquad & \mbox{Aproximación por exceso}\\ \begin{array}{|l|l|} \hline x & f(x)=x^2 \\ \hline\hline 1.9 & 3.61 \\ \hline 1.99 & 3.9601 \\ \hline 1.999 & 3.996001 \\ \hline 1.9999 & 3.99960001 \\ \hline \end{array} & & \begin{array}{|l|l|} \hline x & f(x)=x^2 \\ \hline\hline 2.1 & 4.41 \\ \hline 2.01 & 4.0401 \\ \hline 2.001 & 4.004001 \\ \hline 2.0001 & 4.00040001 \\ \hline \end{array}\\ \Downarrow & & \Downarrow\\ \lim_{x\to 2^-}x^2=4 & & \lim_{x\to 2^+}x^2=4 \end{array}}\\ \Downarrow\\ \lim_{x\to 2}x^2=4 \end{array} \]

6.1.3 Límites que no existen (I)

Si la función no está definida entorno a un punto, entonces no existe el límite en dicho punto.

Ejemplo 6.2 Consideremos la función $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ y veamos que pasa cuando $x\to 0$:

\[ \begin{array}{c} \underbrace{\begin{array}{ccc} \mbox{Por la izquierda} & \qquad & \mbox{Por la derecha }\\ \begin{array}{|l|l|} \hline x & f(x) \\ \hline\hline -0.1 & \mbox{No exite} \\ \hline -0.01 & \mbox{No existe} \\ \hline -0.001 & \mbox{No existe} \\ \hline \end{array} & & \begin{array}{|l|l|} \hline x & f(x) \\ \hline\hline 0.1 & \mbox{No existe} \\ \hline 0.01 & \mbox{No existe} \\ \hline 0.001 & \mbox{No existe} \\ \hline \end{array}\\ \Downarrow & & \Downarrow\\ \displaystyle \mbox{No existe } \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{\sqrt{x^2-1}} & & \displaystyle \mbox{No existe } \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \end{array}}\\ \Downarrow\\ \displaystyle \mbox{No existe }\lim_{x\to 0}\frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \end{array}\]

6.1.4 Límites que no existen (II)

Cuando los límites laterales no coinciden entonces no existe el límite.

Ejemplo 6.3 Consideremos la función $f(x)=\dfrac{\lvert x\rvert}{x}$ y veamos que pasa cuando $x\to 0$:

\[\begin{array}{c} \underbrace{\begin{array}{ccc} \mbox{Por la izquierda} & \qquad & \mbox{Por la derecha }\\ \begin{array}{|l|l|} \hline x & f(x) \\ \hline\hline -0.1 & -1 \\ \hline -0.01 & -1 \\ \hline -0.001 & -1 \\ \hline \end{array} & & \begin{array}{|l|l|} \hline x & f(x) \\ \hline\hline 0.1 & 1 \\ \hline 0.01 & 1 \\ \hline 0.001 & 1 \\ \hline \end{array}\\ \Downarrow & & \Downarrow\\ \displaystyle \lim_{x\to 0^-}\frac{|x|}{x}=-1 &\neq & \displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{|x|}{x}=1 \end{array}}\\ \Downarrow\\ \displaystyle \mbox{No existe }\lim_{x\to 0}\frac{|x|}{x} \end{array} \]

6.1.5 Límites que no existen (III)

A veces, cuando $x\to a$ los valores de $f(x)$ crecen o decrecen infinitamente y entonces no existe el límite. En este caso se dice que la función diverge y se escribe

\[\lim_{x\to a}f(x)=\pm \infty.\]

Ejemplo 6.4 Veamos la tendencia de la función $f(x)=\dfrac{1}{x^2}$ cuando $x\to 0$:

\[ \begin{array}{c} \underbrace{\begin{array}{ccc} \mbox{Por la izquierda} & \qquad & \mbox{Por la derecha }\\ \begin{array}{|l|r|} \hline x & f(x) \\ \hline\hline -0.1 & 100 \\ \hline -0.01 & 10000 \\ \hline -0.001 & 1000000 \\ \hline \end{array} & & \begin{array}{|l|r|} \hline x & f(x) \\ \hline\hline 0.1 & 100 \\ \hline 0.01 & 10000 \\ \hline 0.001 & 1000000 \\ \hline \end{array}\\ \Downarrow & & \Downarrow\\ \displaystyle \lim_{x\to 0^-}\frac{1}{x^2}=+\infty & & \displaystyle \lim_{x\to 0^+}\frac{1}{x^2}=+\infty \end{array}}\\ \Downarrow\\ \displaystyle \mbox{No existe }\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^2}=\infty \end{array} \]

6.1.6 Límites que no existen (IV)

A veces, el límite de un función en un punto puede no existir porque la función oscila rápidamente al acercarnos a dicho punto.

Ejemplo 6.5 Consideremos la función $f(x)=\operatorname{sen} \dfrac{1}{x}$ y veamos que pasa cuando $x\to 0$:

\[ \begin{array}{c} \underbrace{\begin{array}{ccc} \mbox{Por la izquierda} & \qquad & \mbox{Por la derecha }\\ \begin{array}{|l|l|} \hline x & f(x) \\ \hline\hline -0.1 & -0.1736 \\ \hline -0.01 & -0.9848 \\ \hline -0.005 & 0.3420 \\ \hline -0.001 & 0.9848 \\ \hline -0.0005 & 0.3420\\ \hline -0.0001 & 0.9848 \\ \hline \end{array} & & \begin{array}{|l|l|} \hline x & f(x) \\ \hline\hline 0.1 & 0.1736 \\ \hline 0.01 & 0.9848 \\ \hline 0.005 & -0.3420 \\ \hline 0.001 & -0.9848 \\ \hline 0.0005 & -0.3420\\ \hline 0.0001 & -0.9848 \\ \hline \end{array}\\ \Downarrow & & \Downarrow\\ \displaystyle \mbox{No existe }\lim_{x\to 0^-}\operatorname{sen} \frac{1}{x} & & \displaystyle \mbox{No existe }\lim_{x\to 0^+}\operatorname{sen} \frac{1}{x} \end{array}}\\ \Downarrow\\ \displaystyle \mbox{No existe }\lim_{x\to 0}\operatorname{sen} \frac{1}{x} \end{array} \]

6.1.7 Límites en el infinito

Si $f(x)$ tiende a $l$ cuando $x$ crece infinitamente, entonces se dice que $l$ es el límite en el infinito de $f(x)$ cuando $x\to +\infty$, y se escribe

\[\lim_{x\to +\infty}f(x)=l.\]

Si $f(x)$ tiende a $l$ cuando $x$ decrece infinitamente, entonces se dice que $l$ es el límite en el infinito de $f(x)$ cuando $x\to -\infty$, y se escribe

\[\lim_{x\to -\infty}f(x)=l.\]

Ejemplo 6.6 Estudiemos la tendencia de $f(x)=\dfrac{1}{x}$ cuando $x\to \pm\infty$:

\[ \begin{array}{ccc} x\to +\infty & \qquad & x\to -\infty\\ \begin{array}{|r|l|} \hline x & f(x)=1/x \\ \hline\hline 1000 & 0.001 \\ \hline 10000 & 0.0001 \\ \hline 100000 & 0.00001 \\ \hline \end{array} & & \begin{array}{|r|l|} \hline x & f(x)=1/x \\ \hline\hline -1000 & -0.001 \\ \hline -10000 & -0.0001 \\ \hline -100000 & -0.00001 \\ \hline \end{array}\\ \Downarrow & & \Downarrow\\ \lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x}=0 & & \lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x}=0 \end{array} \]

6.2 Definición de límite

Definición 6.1 (Límite de una función en un punto) Dado un conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$, una función $f:A\to \mathbb{R}$ y un punto de acumulación $a$ de $A$, se dice que $l\in\mathbb{R}$ es el límite de $f$ en $a$ y se escribe

\[\lim_{x\to a} f(x) = l\]

si para cualquier número $\varepsilon>0$ existe un número $\delta>0$ tal que $|f(x)-l|<\varepsilon$ $\forall x\in A\setminus\{a\}$ con $|x-a|<\delta$.

Advertencia

Obsérvese que en la definición anterior $x\neq a$, es decir, no es necesario que $|f(a)-l|<\varepsilon$.

Ejemplo 6.7 Sea $f(x)=x^2$. Veamos que $\lim_{n\to a}f(x)=a^2$. Para ello, dado cualquier $\varepsilon>0$ se puede tomar $\delta=\min\{1,\frac{\varepsilon}{1+2|a|}\}>0$ de manera $\forall x\neq a$ si $|x-a|<\delta$, entonces $|x-a|<1$ y, por tanto, $|x+a|=|x-a+2a|\leq |x-a|+2|a|<1+2|a|$, y además, \[\begin{align*} |f(x)-a^2| &= |x^2-a^2| = |(x+a)(x-a)| =|x+a||x-a| \\ &< (1+2|a|)\delta < (1+2|a|)\frac{\varepsilon}{1+2|a|} = \varepsilon. \end{align*}\]

Teorema 6.1 (Unicidad del límite) Dado un conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$, una función $f:A\to \mathbb{R}$ y un punto de acumulación $a$ de $A$, si existe el límite de $f$ en $a$, entonces es único.

Demostración

Prueba. Haremos la prueba por reducción al absurdo. Supongamos que $l_1$ y $l_2$ son límites de $f$ en $a$, y que $l_1\neq l_2$. Entonces, existen $\varepsilon_1>0$ y $\varepsilon_2>0$ tales que $(l_1-\varepsilon_1,l_1+\varepsilon_1)\cap (l_2-\varepsilon_2,l_2+\varepsilon_2)=\emptyset$.

Como $\lim_{x\to a} f(x)=l_1$, existe $\delta_1>0$ tal que, $\forall x\in A\setminus\{a\}$ con $|x-a|<\delta_1$ se tiene que $f(x)\in (l_1-\varepsilon_1,l_1+\varepsilon_1)$.

Del mismo modo, como $\lim_{x\to a} f(x)=l_2$, existe $\delta_2>0$ tal que, $\forall x\in A\setminus\{a\}$ con $|x-a|<\delta_2$ se tiene que $f(x)\in (l_2-\varepsilon_2,l_2+\varepsilon_2)$.

Tomando ahora $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$, se tiene que si $x\in A\setminus\{a\}$ y $|x-a|<\delta$, $f(x)\in (l_1-\varepsilon_1,l_1+\varepsilon_1)$ y $f(x)\in (l_2-\varepsilon_2,l_2+\varepsilon_2)$, lo que contradice que $(l_1-\varepsilon_1,l_1+\varepsilon_1)\cap (l_2-\varepsilon_2,l_2+\varepsilon_2)=\emptyset$. Por consiguiente, tiene que ser $l_1=l_2$.

Teorema 6.2 (Criterio de las sucesiones) Dado un conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$, una función $f:A\to \mathbb{R}$ y un punto de acumulación $a$ de $A$, se cumple que $\lim_{x\to a}f(x)=l$ si y solo si para cualquier sucesión $(x_n)_{n=1}^\infty$ en $A\setminus\{a\}$ que converge a $a$, se tiene que $(f(x_n))_{n=1}^\infty$ converge a $l$.

Demostración

Prueba. Supongamos que $\lim_{x\to a}f(x)=l$ y sea $(x_n)_{n=1}^\infty$ una sucesión en $A\setminus\{a\}$ que converge a $a$. Veamos que $(f(x_n))_{n=1}^\infty$ converge a $l$. Dado $\varepsilon>0$, como $\lim_{x\to a}f(x)=l$ existe $\delta>0$ tal que $\forall x\in A\setminus\{a\}$ con $|x-a|<\delta$ se tiene $|f(x)-l|<\varepsilon$.

Por otro lado, como $\lim_{n\to \infty} x_n=a$, para este $\delta$ existe $k\in\mathbb{N}$ tal que $|x_n-a|<\delta$ $\forall n\geq k$.

Así pues, si $n\geq k$, como $x_n\in A\setminus\{a\}$ y $|x_n-a|<\delta$, se tiene que $|f(x_n)-l|<\varepsilon$. Por tanto, $\lim_{x\to a}f(x_n) = l$.

Para probar el otro sentido de la implicación, utilizaremos la reducción al absurdo. Supongamos que para cualquier sucesión $(x_n)_{n=1}^\infty$ en $A\setminus\{a\}$ se tiene que $\lim_{n\to\infty}f(x_n)=l$, pero $\lim_{x\to a}f(x)\neq l$. Entonces, existe $\varepsilon>0$ tal que $\forall \delta>0$ existe $x_\delta\in A\setminus\{a\}$ con $|x_\delta -a|<\delta$, pero $|f(x_\delta)-l|\geq \varepsilon$. En particular, para cada $n\in\mathbb{N}$, tomando $\delta=\frac{1}{n}$ y $x_n=x_\delta$, se construye una sucesión $(x_n)_{n=1}^\infty$ que converge a $a$ pero tal que $(f(x_n))_{n=1}^\infty$ no converge a $l$, lo que contradice que $\lim_{x\to a}f(x_n)=l$. Por tanto, se tiene que cumplir que $\lim_{x\to a}f(x)=l$.

Importante

Este criterio se puede utilizar tanto para demostrar que un número es el límite de una función en un punto como, para demostrar que no lo es.

Ejemplo 6.8 Sea $f(x)=\frac{1}{x}$ $\forall x\neq 0$ y sea $a\neq 0$. Entonces, para cualquier sucesión $(x_n)_{n=1}^\infty$ convergente a $a$ con $x_n\neq 0$ $\forall n\in\mathbb{N}$, se tiene

\[ \lim_{n\to\infty}f(x_n)=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{x_n}= \frac{\lim_{n\to\infty}1}{\lim_{n\to\infty}x_n} = \frac{1}{a}, \]

por lo que, aplicando el criterio anterior se tiene $\lim_{x\to a}f(x) = \frac{1}{a}$.

Del mismo modo, si $a=0$, tomando la sucesión $\left(\frac{1}{n}\right)_{n=1}^\infty$ que converge a $0$, $\lim_{n\to\infty}f\left(\frac{1}{n}\right) = \lim_{n\to\infty}n=\infty$, por lo que no existe $\lim_{x\to 0}f(x)$.

Ejemplo 6.9 Sea $f(x)=\operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)$ $\forall x\neq 0$. Tomando la sucesión $\left(\frac{1}{n\pi}\right)_{n=1}^\infty$, que converge a $0$, se tiene que

\[ \lim_{n\to\infty}f\left(\frac{1}{n\pi}\right) = \lim_{n\to\infty}\operatorname{sen}\left(\frac{1}{\frac{1}{n\pi}}\right) = \lim_{n\to\infty}\operatorname{sen}(n\pi) = 0. \]

Y tomando la sucesión $\left(\frac{1}{2n\pi+\pi/2}\right)_{n=1}^\infty$, que también converge a $0$, se tiene que

\[ \lim_{n\to\infty}f\left(\frac{1}{2n\pi+\pi/2}\right) = \lim_{n\to\infty}\operatorname{sen}\left(\frac{1}{\frac{1}{2n\pi+\pi/2}}\right) = \lim_{n\to\infty}\operatorname{sen}(2n\pi+\pi/2) = 1. \]

Por tanto, el límite de la función aplicada a estas dos sucesiones es distinto, y por el criterio anterior, no existe el límite de $f$ en $0$.

Definición 6.2 (Función acotada en un entorno de un punto) Dado un conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$, una función $f:A\to \mathbb{R}$ y un punto de acumulación $a$ de $A$, se dice que $f$ está acotada en el entorno de $a$ si existe un $\delta>0$ y un $c>0$ tal que $|f(x)|<c$ $\forall x\in A$ con $|x-a|<\delta$.

Definición 6.3 (Función acotada) Dado un conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$, una función $f:A\to \mathbb{R}$, se dice que $f$ está acotada en $A$, si existe un $c>0$ tal que $|f(x)|\leq c$ $\forall x\in A$.

Proposición 6.1 Dado un conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$, una función $f:A\to \mathbb{R}$ y un punto de acumulación $a$ de $A$, si existe el límite de $f$ en $a$, entonces $f$ está acotada en un entorno de $a$.

Demostración

Prueba. Sea $\lim_{x\to a}f(x))=l$. Entonces, dado $\varepsilon=1$ existe $\delta>0$ tal que $|f(x)-l|<1$ $\forall x\in A\setminus\{a\}$ con $|x-a|<\delta$, y por tanto,

\[ |f(x)| = |f(x)-l+l|\leq |f(x)-l| + |l| < 1+|l| \]

$\forall x\in A\setminus\{a\}$ con $|x-a|<\delta$.

Tomando ahora $c=\max\{1+|l|,|f(a)|\}$, se tiene que $|f(x)|<c$ $\forall x\in A$ con $|x-a|<\delta$, y por tanto, $f$ está acotada en un entorno de $a$.

Ejemplo 6.10 La función $f(x)=\frac{1}{x}$ no está acotada en un entorno de $0$, por lo que no existe el límite de $f$ en $0$.

6.3 Álgebra de límites

Proposición 6.2 Dado un conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$, dos funciones $f,g:A\to \mathbb{R}$ y un punto de acumulación $a$ de $A$, tales que existe $\lim_{x\to a}f(x)$ y $\lim_{x\to a}g(x)$, entonces se cumple que

$\lim_{x\to a}c f(x)=c\lim_{x\to a}f(x)$, $\forall c\in\mathbb{R}$.
$\lim_{x\to a}(f(x)\pm g(x))=\lim_{x\to a}f(x)\pm \lim_{x\to a}g(x).$
$\lim_{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=\lim_{x\to a}f(x)\cdot \lim_{x\to a}g(x).$
Si $g(x)\neq 0$ $\forall x\in A$ y $\lim_{x\to a}g(x)\neq 0$, entonces $\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)}{g(x)}=\frac{\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)}{\displaystyle \lim_{x\to a}g(x)}$.

Demostración

Prueba. Sea $\lim_{x\to a}f(x)=l$ y $\lim_{x\to a}g(x)=m$, y sea $(x_n)_{n=1}^\infty$ una sucesión convergente a $a$. Entonces $\lim_{x\to a}f(x_n) = l$ y $\lim_{x\to a}g(x_n)=m$, y por tanto,

\[ \lim_{n\to\infty}(f+g)(x_n) = \lim_{n\to\infty}f(x_n)+g(x_n) = \lim_{n\to\infty}f(x_n)+ \lim_{n\to\infty}g(x_n) = l+m, \]

por lo que $\lim_{x\to a}(f+g)(x)=l+m$.

El resto son similares y se dejan como ejercicio.

Ejemplo 6.11 Sea $f(x)=x^3+x^2-2x-1$, entonces

\[\begin{align*} \lim_{x\to 2}f(x) &= \lim_{x\to 2}x^3+x^2-2x-1\\ &= \lim_{x\to 2}x^3 + \lim_{x\to 2}x^2 - \lim_{x\to 2} 2x - \lim_{x\to 2} 1\\ &= 2^3 + 2^2 -2*2 -1 = 7. \end{align*}\]

Sea ahora $g(x)=\frac{x^2-4}{3x-6}$, entonces

\[\begin{align*} \lim_{x\to 2}g(x) &= \lim_{x\to 2}\frac{x^2-4}{3x-6} = \lim_{x\to 2}\frac{(x+2)(x-2)}{3(x-2)}\\ &= \lim_{x\to 2}\frac{x+2}{3} =\frac{\lim_{x\to 2}x+\lim_{x\to 2}2}{\lim_{x\to 2}3} \tag{$x\neq 2$} \\ &= \frac{2+2}{3}=\frac{4}{3}. \end{align*}\]

Teorema 6.3 (Compresión de funciones) Dado un conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$, tres funciones $f,g,h:A\to \mathbb{R}$ y un punto de acumulación $a$ de $A$, si $f(x)\leq g(x)\leq h(x)$ $\forall x\in A$ y $\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}h(x)=l$, entonces $\lim_{x\to a}g(x)=l$.

Demostración

Prueba. Sea $(x_n)_{n=1}^\infty$ una sucesión en $A\setminus\{a\}$ convergente a $a$. Entonces $f(x_n)\leq g(x_n)\leq h(x_n)$ $\forall n\in\mathbb{N}$ y además $\lim_{n\to\infty} f(x_n)=\lim_{n\to\infty}h(x_n)=l$. Así pues, por el teorema de compresión de sucesiones, se tiene que $\lim_{n\to\infty}g(x_n)=l$, y por tanto, $\lim_{x\to a}g(x)=l$.

Ejemplo 6.12 Sea $f(x)=x\operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)$ $\forall x\neq 0$. Entonces $0\leq \left|x\operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)\right|\leq |x|$ $\forall x\neq 0$. Como $\lim_{x\to 0}|x| = 0$, aplicando el teorema de compresión de funciones se tiene que $\lim_{x\to 0} \left|x\operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)\right|=0$ y por tanto $\lim_{x\to 0} x\operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)=0$.

Teorema 6.4 (Límite de la composición de funciones) Dados dos conjuntos $A,B\subseteq \mathbb{R}$, dos funciones $f:A\to \mathbb{R}$, $g:B\to \mathbb{R}$ tales que $f(A)\subseteq B$, un punto de acumulación $a$ de $A$ y un punto de acumulación $b$ de $B$, si $\lim_{x\to a}f(x)=b$ y $\lim_{x\to b}g(x)=l$, entonces $\lim_{x\to a}g\circ f(x)=l$.

Demostración

Prueba. Como $\lim_{x\to b}g(x)=l$, para cualquier $\varepsilon>0$ existe $\delta'>0$ tal que si $|x-b|<\delta'$ entonces $|g(x)-l)|<\varepsilon$.

Por otro lado, como $\lim_{x\to a}f(x)=b$, para $\delta'>0$ existe otro $\delta>0$ tal que si $|x-a|<\delta$, entonces $|f(x)-b|<\delta'$.

Así pues, si $|x-a|<\delta$ se tiene que $|f(x)-b|<\delta'$ y $|g(f(x))-l)|<\varepsilon$, por lo que $\lim_{x\to a}g(f(x)) = l$.

Ejemplo 6.13 Si tomamos las funciones $f(x)=x^2-5$ y $g(y)=\sqrt{y}$, se cumple que $\lim_{x\to 3}f(x)=4$ y $\lim_{y\to 4}g(y)=2$. Entonces, aplicando el teorema anterior se tiene

\[ \lim_{x\to 3}g\circ f(x)=\lim_{x\to 3}\sqrt{x^2-5} = \lim_{y\to 4} \sqrt{y} = 2. \]

Proposición 6.3 Dado un conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$, una función $f:A\to \mathbb{R}$ y un punto de acumulación $a$ de $A$, si existe el límite de $f$ en $a$ entonces $\lim_{x\to a}|f(x)|=|\lim_{x\to a}f(x)|$.

Demostración

Prueba. Sea $\lim_{x\to a}f(x)=l$. Por las propiedades del valor absoluto se cumple que $0\leq ||f(x)|-|l||\leq |f(x)-l|$ $\forall x\in A$. Como además $\lim_{x\to a} |f(x)-l|=0$, por el teorema de compresión de funciones se tiene que

\[\lim_{x\to a}||f(x)|-|l||=0 \Rightarrow \lim_{x\to a}|f(x)|-|l|=0 \Rightarrow \lim_{x\to a}|f(x)|=|l|.\]

Proposición 6.4 Dado un conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$, una función $f:A\to \mathbb{R}$ y un punto de acumulación $a$ de $A$, si existe el límite de $f$ en $a$ entonces $\lim_{x\to a}\sqrt{f(x)}=\sqrt{\lim_{x\to a}f(x)}$.

Demostración

Prueba. Se deja como ejercicio usando el teorema del límite de la composición de funciones.

Teorema 6.5 (Criterio de Cauchy) Dado un conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$, una función $f:A\to \mathbb{R}$ y un punto de acumulación $a$ de $A$, entonces $\lim_{x\to a}f(x)=l$ si y solo si para cualquier $\varepsilon>0$ existe un $\delta>0$ tal que $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ $\forall x,y\in A\setminus\{a\}$ con $|x-a|<\delta|$ y $|y-a|<\delta$.

Demostración

Prueba. Supongamos que $\lim_{x\to a}f(x)=l$. Entonces, dado $\varepsilon>0$, existe $\delta>0$ tal que $|f(x)-l|<\frac{\varepsilon}{2}$ $\forall x\in A\setminus\{a\}$ con $|x-a|<\delta$. Por tanto, para cualquier $x,y\in A\setminus\{a\}$ con $|x-a|<\delta$ y $|y-a|<\delta$ se tiene

\[ |f(x)-f(y)| = |f(x)-l+l-f(y)| \leq |f(x)-l|+|l-f(y)| < \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon. \]

Para probar el otro sentido de la implicación, supongamos que para cualquier $\varepsilon>0$, existe $\delta>0$ tal que $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ $\forall x,y\in A\setminus\{a\}$ con $|x-a|<\delta|$ y $|y-a|<\delta$. Sea $(x_n)_{n=1}^\infty$ una sucesión en $A\setminus\{a\}$ convergente a $a$. Entonces existe $k\in\mathbb{N}$ tal que $|x_n-a|<\delta$ $\forall n\geq k$, y por tanto, $|f(x_n)-f(x_m)|<\varepsilon$ $\forall m,n\geq k$. Así pues, $(f(x_n))_{n=1}^\infty$ es una sucesión de Cauchy y por el criterio de convergencia de Cauchy para sucesiones (Teorema 4.8), existe $l\in\mathbb{R}$ tal que $\lim_{n\to\infty}f(x_n)=l$.

Veamos ahora que $l$ es el límite de $f$ en $a$, usando el criterio de las sucesiones. Sea $(y_n)_{n=1}^\infty$ otra una sucesión en $A\setminus\{a\}$ convergente a $a$. Por el mismo razonamiento de antes, se tiene que existe $l'\in\mathbb{R}$ tal que $\lim_{n\to\infty}f(y_n)=l'$. Tomando ahora $\varepsilon>0$ y $\delta>0$ de antes, existe $k\in\mathbb{N}$ tal que $|x_n-a|<\delta$ y $|y_n-a|<\delta$ $\forall n\geq k$, de manera que $|f(x_n)-f(y_n)|<\varepsilon$ $\forall n\geq k$. Así pues,

\[ \lim_{n\to\infty}|f(x_n)-f(y_n)| = |\lim_{n\to\infty}f(x_n)- \lim_{n\to\infty}f(y_n)| = |l-l'|<\varepsilon. \]

Y como esto es cierto para cualquier $\varepsilon>0$ se concluye que $l=l'$, es decir, para cualquier sucesión $(y_n)_{n =1}^\infty$ en $A\setminus\{a\}$ convergente a $a$, se tiene %$\lim_{n\to\infty}f(y_n)=l$, por lo que se concluye que $\lim_{x\to a}f(x)=l$.

6.4 Límites laterales

Definición 6.4 Dado un conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$ y una función $f:A\to \mathbb{R}$,

Si $a$ es un punto de acumulación de $\{x\in A: x>a\}$, se dice que $l$ es el límite por la derecha de $f$ en $a$ y se denota $\lim_{x\to a^+}f(x)=l$, si para cualquier $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que $|f(x)-l|<\varepsilon$ $\forall x\in A$ con $0<x-a<\delta$.
Si $a$ es un punto de acumulación de $\{x\in A: x<a\}$, se dice que $l$ es el límite por la izquierda de $f$ en $a$ y se denota $\lim_{x\to a^-}f(x)=l$, si para cualquier $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que $|f(x)-l|<\varepsilon$ $\forall x\in A$ con $0<a-x<\delta$.

Teorema 6.6 (Límites laterales) Dado un conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$ y una función $f:A\to \mathbb{R}$, y sea $a$ un punto de acumulación de los conjuntos $\{x\in A: x>a\}$ y $\{x\in A: x<a\}$, entonces $\lim_{x\to a}f(x)=l$ si y solo si $\lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^-}f(x)=l$.

Demostración

Prueba. Sea $\lim_{x\to a}f(x)=l$. Entonces, dado $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que $|f(x)-l|<\varepsilon$ $\forall x\in A\setminus\{a\}$ con $|x-a|<\delta$. Así pues, si $x\in A$ y $0<x-c<\delta$ se tiene que $|f(x)-l|<\varepsilon$ por lo que $\lim_{x\to a^+}f(x)=l$, y si $x\in A$ y $0<c-x<\delta$ también se tiene que $|f(x)-l|<\varepsilon$ por lo que $\lim_{x\to a^-}f(x)=l$.

Para probar el otro sentido de la implicación, supongamos ahora que $\lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^-}f(x)=l$. Entonces, dado $\varepsilon>0$, existe $\delta_1>0$ tal que $|f(x)-l|<\varepsilon$ $\forall x\in A$ con $0<x-c<\delta_1$, y también existe $\delta_2>0$ tal que $|f(x)-l|<\varepsilon$ $\forall x\in A$ con $0<c-x<\delta_2$. Así pues, tomando $\delta=\min\{\delta_1,\delta_2\}$, para cualquier $x\in A\setminus\{a\}$ con $|x-a|<\delta$, si $x>a$ se tiene que $0<x-a<\delta<\delta_1$ y, por tanto, $|f(x)-l|<\varepsilon$. Y si $x<a$ se tiene que $0<a-x<\delta<\delta_2$ y, por tanto, $|f(x)-l|<\varepsilon$. Por consiguiente, $\lim_{x\to a}f(x)=l$.

Ejemplo 6.14 Sea

\[ f(x)=\frac{|x|}{x}= \begin{cases} -1 & \mbox{si } x<0\\ 1 & \mbox{si } x>0 \end{cases} \]

Entonces, $\lim_{x\to 0^-}f(x)=-1$ y $\lim_{x\to 0^+}f(x)=1$, y como los límites son distintos, por el teorema anterior, se tiene que no existe el límite de la función en $0$.

6.5 Límites infinitos

Definición 6.5 (Límite infinito) Dado un conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$ y una función $f:A\to \mathbb{R}$, y sea $a$ un punto de acumulación de $A$:

Se dice que $f$ tiende a $\infty$ cuando $x$ tiende a $a$, y se denota $\lim_{x\to a}f(x)=\infty$, si para cada $\varepsilon>0$ existe un $\delta>0$ tal que $f(x)>\varepsilon$ $\forall x\in A\setminus\{a\}$ con $|x-a|<\delta$.
Se dice que $f$ tiende a $-\infty$ cuando $x$ tiende a $a$, y se denota $\lim_{x\to a}f(x)=-\infty$, si para cada $\varepsilon<0$ existe un $\delta>0$ tal que $f(x)<\varepsilon$ $\forall x\in A\setminus\{a\}$ con $|x-a|<\delta$.

Ejemplo 6.15 Sea $f(x)=\frac{1}{x^2}$. Dado $\varepsilon>0$, tomando $\delta=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}>0$, se tiene que si $0<|x|<\delta=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}$ entonces

\[ f(x)=\frac{1}{x^2}> \frac{1}{\left(\frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}\right)^2} = \varepsilon. \] Por tanto, $\lim_{x\to 0}f(x)=\infty$.

Proposición 6.5 Dado un conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$, un punto de acumulación $a$ de $A$ y dos funciones $f,g:A\to \mathbb{R}$ tales que $f(x)\leq g(x)$ $\forall x\in A\setminus\{a\}$:

Si $\lim_{x\to a}f(x)=\infty$ entonces $\lim_{x\to a}g(x)=\infty$.
Si $\lim_{x\to a}g(x)=-\infty$ entonces $\lim_{x\to a}f(x)=-\infty$.

Demostración

Prueba. Supongamos que $\lim_{x\to a}f(x)=\infty$. Entonces dado $\varepsilon>0$ existe $\delta>0$ tal que $f(x)>\varepsilon$ $\forall x\in A\setminus\{a\}$ con $|x-a|<\delta$, y como $f(x)\leq g(x)$ $\forall x\in A\setminus\{a\}$ también tiene que $g(x)\geq f(x)>\varepsilon$, por lo que $\lim_{x\to a}g(x)=\infty$.

La segunda parte se prueba de forma análoga.

6.6 Límites en el infinito

Definición 6.6 (Límite de una función en el infinito) Dado un conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$ tal que $(a,\infty)\subset A$ para algún $a\in\mathbb{R}$, y una función $f:A\to \mathbb{R}$, se dice que $f$ tiende a $l$ cuando $x$ tiende $\infty$, y se denota $\lim_{x\to\infty}f(x)=l$, si para cada $\varepsilon>0$ existe $\delta>a$ tal que $|f(x)-l|<\varepsilon$ $\forall x>\delta$.

Y dado un conjunto $B\subseteq \mathbb{R}$ tal que $(-\infty,b)\subset B$ para algún $b\in\mathbb{R}$, y una función $g:B\to \mathbb{R}$, se dice que $g$ tiende a $l$ cuando $x$ tiende $-\infty$, y se denota $\lim_{x\to-\infty}g(x)=l$, si para cada $\varepsilon>0$ existe $\delta<b$ tal que $|f(x)-l|<\varepsilon$ $\forall x<\delta$.

Ejemplo 6.16 Sea $f(x)=\frac{1}{x}$ $\forall x\neq 0$. Veamos que $\lim_{x\to\infty}f(x)=0$. Dado $\varepsilon>0$ existe $\delta=\frac{1}{\varepsilon}>0$ tal que si $x>\delta=\frac{1}{\varepsilon}$ se tiene $|f(x)-0|=|f(x)| = \left|\frac{1}{x}\right|<\varepsilon$.

Del mismo modo se puede probar que $\lim_{x\to -\infty}f(x)=0$.

Teorema 6.7 (Criterio de las sucesiones divergentes) Dado un conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$ tal que $(a,\infty)\subset A$ para algún $a\in\mathbb{R}$, y una función $f:A\to \mathbb{R}$, entonces $\lim_{x\to\infty}f(x)=l$ si y solo si para cualquier sucesión $(x_n)_{n=1}^\infty$ en $(a,\infty)$ que diverja a $\infty$, $\lim_{n\to\infty}f(x_n)=l$.

Demostración

Prueba. Supongamos que $\lim_{x\to\infty}f(x)=l$. Entonces, dado $\varepsilon>0$ existe $\delta>a$ tal que $|f(x)-l|<\varepsilon$ $\forall x>\delta$.

Por otro lado, como $\lim_{n\to\infty}x_n=\infty$, existe $k_\delta\in\mathbb{N}$ tal que $x_n>\delta$ $\forall n\geq k_\delta$. Así pues, si $n\geq k_\delta$ se tiene que como $x_n\in A$ y $x_n>\delta$, $|f(x_n)-l|<\varepsilon$, por lo que $\lim_{x\to\infty}f(x_n)=l$.

Para ver el otro sentido de la implicación, procederemos por reducción al absurdo. Supongamos que ahora que para cualquier $(x_n)_{n=1}^\infty$ en $(a,\infty)$ que diverja a $\infty$, $\lim_{n\to\infty}f(x_n)=l$, pero $\lim_{x\to\infty}f(x)\neq l$. Entonces existe $\varepsilon>0$ tal que para cualquier $\delta>a$ existe $x_\delta>\delta$ con $|f(x_\delta)-l|\geq \varepsilon$.

Así, para cada $n\in\mathbb{N}$ existe $x_n>a$ tal que $x_n>n$ y $|f(x_n)-l|\geq \varepsilon$. Entonces $(x_n)_{n=1}^\infty$ es una sucesión en $(a\infty)\subset A$ que diverge a $\infty$ y tal que $(f(x_n))_{n=1}^\infty$ no converge a $l$, lo que contradice la hipótesis de partida. Por consiguiente, debe ser $\lim_{x\to\infty}f(x)=l$.

Definición 6.7 (Límite infinito en el infinito) Dado un conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$ tal que $(a,\infty)\subset A$ para algún $a\in\mathbb{R}$, y una función $f:A\to \mathbb{R}$, se dice que $f$ tiende a $\infty$ cuando $x$ tiende $\infty$, y se denota $\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$, si para cada $\varepsilon>0$ existe $\delta>a$ tal que $f(x)>\varepsilon$ $\forall x>\delta$.

Y dado un conjunto $B\subseteq \mathbb{R}$ tal que $(-\infty,b)\subset B$ para algún $b\in\mathbb{R}$, y una función $g:B\to \mathbb{R}$, se dice que $g$ tiende a $\infty$ cuando $x$ tiende $-\infty$, y se denota $\lim_{x\to-\infty}g(x)=\infty$, si para cada $\varepsilon>0$ existe $\delta<b$ tal que $f(x)<\varepsilon$ $\forall x<\delta$.

Ejemplo 6.17 Sea $f(x)=x^2$. Veamos que $\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$. Dado $\varepsilon>0$ existe $\delta=\sqrt{\varepsilon}>0$ tal que si $x>\delta$, entonces $f(x)=x^2>(\sqrt{\varepsilon})^2 =\varepsilon$.

Del mismo modo se puede probar que $\lim_{x\to-\infty}f(x)=\infty$.

Proposición 6.6 Dado un conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$ tal que $(a,\infty)\subset A$ para algún $a\in\mathbb{R}$, y dos funciones $f,g:A\to \mathbb{R}$, tales que $g(x)>0$ $\forall x\in A$ y $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=l$, entonces:

Si $l>0$, $\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$ si y solo si $\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty$.
Si $l<0$, $\lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty$ si y solo si $\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty$.

Demostración

Prueba. Supongamos que $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=l>0$. Entonces, dado $\varepsilon=\frac{l}{2}>0$ existe $\delta>a$ tal que $\left|\frac{f(x)}{g(x)}-l\right|<\varepsilon=\frac{l}{2}$ $\forall x>\delta$. Así pues, si $x>\delta$ se tiene

\[\begin{align*} \left|\frac{f(x)}{g(x)}-l\right|<\frac{l}{2} &\Rightarrow \frac{-l}{2}<\frac{f(x)}{g(x)}-l<\frac{l}{2}\\ & \Rightarrow \frac{l}{2}<\frac{f(x)}{g(x)}<\frac{3l}{2}\\ &\Rightarrow \frac{l}{2}g(x)<f(x)<\frac{3l}{2}g(x). \end{align*}\]

Por tanto, por la Proposición 6.5 se tiene que si $\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty$ entonces $\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$ y si $\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$ entonces $\lim_{x\to\infty}g(x)=\infty$.

La segunda parte se prueba de forma análoga.

6.7 Límites de las funciones elementales

Proposición 6.7 (Límite de una función polinómica) Si $f$ es una función polinómica, entonces existe el límite de $f$ en cualquier punto $a\in \mathbb{R}$ y $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.

Demostración

Prueba. Se deja como ejercicio.

Proposición 6.8 (Límite de una función racional) Si $f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$ con $p(x)$ y $q(x)$ funciones polinómicas, entonces existe el límite de $f$ en cualquier punto $a\in \mathbb{R}$ que no sea una raíz de $q(x)$, y $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.

Si $a$ es una raíz de $q(x)$ entonces el límite puede existir o no.

Demostración

Prueba. Se deja como ejercicio.

Proposición 6.9 (Límite de una función potencial) Si $f(x)=x^r$ con $r\in \mathbb{R}$, entonces existe el límite de $f$ en cualquier punto $a$ tal que exista un intervalo $(a-\delta,a+\delta)\subset \mbox{Dom}(f)$ para algún $\delta >0$, y en ese caso, $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.

Demostración

Prueba. Se deja como ejercicio.

Proposición 6.10 (Límite de una función exponencial) Si $f(x)=c^x$ con $c\in \mathbb{R}$ entonces existe el límite de $f$ en cualquier punto $a\in \mathbb{R}$ y $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.

Demostración

Prueba. Se deja como ejercicio.

Proposición 6.11 (Límite de una función logarítmica) Si $f(x)=\log_c(x)$ con $c\in \mathbb{R}$, entonces existe el límite de $f$ en cualquier punto $a\in \mathbb{R}^+$ y $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.

Demostración

Prueba. Se deja como ejercicio.

Proposición 6.12 Si $f(x)$ es una función trigonométrica, entonces existe el límite de $f$ en cualquier punto $a\in \mbox{Dom}(f)$ y $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.

Demostración

Prueba. Se deja como ejercicio.

6.8 Indeterminaciones y su resolución

6.8.1 Tipos de indeterminaciones

Al calcular límites pueden aparecer las siguientes indeterminaciones:

Tipo cociente. Si $\lim_{x\to a} f(x)=0$ y $\lim_{x\to a} g(x)=0$, entonces $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ presenta una indeterminación del tipo $\dfrac{0}{0}$ cuando $x\to a$.

Si $\lim_{x\to a} f(x)=\pm\infty$ y $\lim_{x\to a} g(x)=\pm\infty$, entonces $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ presenta una indeterminación del tipo $\pm\dfrac{\infty}{\infty}$ cuando $x\to a$.
Tipo producto. Si $\lim_{x\to a} f(x)=0$ y $\lim_{x\to a} g(x)=\pm\infty$, entonces $f(x)\cdot g(x)$ presenta una indeterminación del tipo $0\cdot \pm\infty$ cuando $x\to a$.
Tipo potencia. Si $\lim_{x\to a} f(x)=1$ y $\lim_{x\to a} g(x)=\infty$, entonces $f(x)^{g(x)}$ presenta una indeterminación del tipo $1^\infty$ cuando $x\to a$.

Si $\lim_{x\to a} f(x)=0$ y $\lim_{x\to a} g(x)=0$, entonces $f(x)^{g(x)}$ presenta una indeterminación del tipo $0^0$ cuando $x\to a$.

Si $\lim_{x\to a} f(x)=\infty$ y $\lim_{x\to a} g(x)=0$, entonces $f(x)^{g(x)}$ presenta una indeterminación del tipo $\infty^0$ cuando $x\to a$.
Tipo diferencia. Si $\lim_{x\to a} f(x)=\infty$ y $\lim_{x\to a} g(x)=\infty$, entonces $f(x)-g(x)$ presenta una indeterminación del tipo $\infty-\infty$ cuando $x\to a$.

6.8.2 Resolución de una indeterminación de tipo cociente

Existen diferentes técnicas para resolver una indeterminación del tipo $\dfrac{0}{0}$ o $\dfrac{\infty}{\infty}$:

Factorización de polinomios en funciones racionales.
División por el términos de mayor orden en funciones racionales.
Infinitésimos equivalentes.
Regla de L’Hôpital.

6.8.2.1 Factorización de polinomios en funciones racionales

Si $f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$ es una función racional que presenta una indeterminación de tipo cociente cuando $x\to a$, y $a$ es una raíz de $p(x)$ y $q(x)$, se puede resolver la indeterminación factorizando los polinomios y simplificando.

Ejemplo 6.18 La función $f(x)=\dfrac{x^3-3x+2}{x^4-4x+3}\to \dfrac{0}{0}$ cuando $x\to 1$.

Para resolver la indeterminación factorizamos los polinomios

\[\begin{align*} x^3-3x+2 &= (x+2)(x-1)^2,\\ x^4-4x+3 &= (x^2+2x+3)(x-1)^2. \end{align*}\]

Como el factor $(x-1)^2$ es común, podemos simplificar la función en el cálculo del límite:¹

\[ \lim_{x\to 1}\frac{x^3-3x+2}{x^4-4x+3} = \lim_{x\to 1}\frac{(x+2)(x-1)^2}{(x^2+2x+3)(x-1)^2} = \lim_{x\to 1}\frac{(x+2)}{(x^2+2x+3)} =\frac{3}{6}=0.5. \]

6.8.2.2 División por el término de mayor orden en funciones racionales

Si $f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}$ es una función racional que presenta una indeterminación de tipo cociente cuando $x\to \pm\infty$, entonces se puede resolver dividendo $p(x)$ y $q(x)$ por el término de mayor grado de ambos polinomios.

Ejemplo 6.19 La función $f(x)=\dfrac{x^3-3x+2}{x^4-4x+3}\to \dfrac{\infty}{\infty}$ cuando $x\to \infty$.

Para resolver la indeterminación dividimos numerador y denominador por $x^4$ que es el término de mayor grado:

\[ \lim_{x\to \infty}\frac{x^3-3x+2}{x^4-4x+3} = \lim_{x\to \infty}\frac{\frac{x^3-3x+2}{x^4}}{\frac{x^4-4x+3}{x^4}} = \lim_{x\to \infty}\frac{\frac{1}{x}-\frac{3}{x^3}+\frac{2}{x^4}}{1-\frac{4}{x^3}+\frac{3}{x^4}} =\frac{0}{1}=0 \]

En general, si $f(x)=\dfrac{a_0+a_1x+\cdots + a_nx^n}{b_0+b_1x+\cdots + b_mx^m}$, entonces:

Si $n>m$ entonces $\lim_{x\to \pm \infty}f(x)=\pm\infty$.
Si $n<m$ entonces $\lim_{x\to \pm \infty}f(x)=0$.
Si $n=m$ entonces $\lim_{x\to \pm \infty}f(x)=\dfrac{a_n}{b_m}$.

6.8.2.3 Cambio de variable

El teorema del límite de la composición de funciones nos permite calcular límites haciendo un cambio de variable por medio de la composición de funciones.

Ejemplo 6.20 Sea $f(x)=\frac{(x+8)^{1/3}-2}{x}$. Cuando $x\to 0$, $f(x)\to \frac{0}{0}$. Aplicando el cambio de variable $y=(x+8)^{1/3}$, se tiene que $y^3=x+8$ y $x=y^3-8$. Como $\lim_{x\to 0}(x+8)^{1/3}=2$, aplicando el teorema del límite de la composición de funciones, se tiene que

\[ \lim_{x\to 0} \frac{(x+8)^{1/3}-2}{x} = \lim_{y\to 2}\frac{y-2}{y^3-8} = \lim_{y\to 2}\frac{y-2}{(y-2)(y^2+2y+4)} = \lim_{y\to 2} \frac{1}{y^2+2y+4} = \frac{1}{12}. \]

6.8.2.4 Infinitésimos equivalentes

Definición 6.8 Dado un conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$, una función $f:A\to \mathbb{R}$, y un punto de acumulación $a$ de $A$, se dice que $f$ es un infinitésimo en $a$ si $\lim_{x\to a}f(x)=0$.

De manera informal, se puede decir que un infinitésimo es una cantidad infinitamente pequeña.

Ejemplo 6.21 La función identidad $f(x)=x$ es un infinitésimo en $x=0$, ya que $\lim_{x\to 0}x = 0$.

Del mismo modo, la función $g(x)=\operatorname{sen}(x)$ es otro infinitésimo en $x=0$ ya que $\lim_{x\to 0}\operatorname{sen}(x)=0$.

Y la función $h(x)=x^2-4$ es un infinitésimo en $x=2$, ya que $\lim_{x\to 2}x^2-4 = 0$.

Proposición 6.13 (Propiedades de los infinitésimos) Dado un conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$, dos funciones $f,g:A\to \mathbb{R}$, y un punto de acumulación $a$ de $A$, tales que $f$ y $g$ son infinitésimos en $a$. Entonces se cumple

$f+g$ es un infinitésimo en $a$.
$f\cdot g$ es un infinitésimo en $a$.
$c\cdot f$ es un infinitésimo en $a$ $\forall c\in\mathbb{R}$.
Si $h$ es una función acotada en un entorno de $a$, $f\cdot h$ es un infinitésimo en $a$.

Demostración

Prueba. Se deja como ejercicio.

Definición 6.9 (Infinitésimos equivalentes) Dado un conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$, dos funciones $f,g:A\to \mathbb{R}$, y un punto de acumulación $a$ de $A$, tales que $f$ y $g$ son infitésimos en $a$, se dice que $f$ y $g$ son infinitésimos equivalentes en $a$, se denota $f(x)\approx g(x)$ cuando $x\to a$, si

\[\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=1.\]

Si $f(x)\approx g(x)$ cuando $x\to a$ entonces $f(x)$ y $g(x)$ son magnitudes equivalentes cuando $x\to a$.

Ejemplo 6.22 Los siguientes infinitésimos equivalentes cuando $x\to 0$:

\[ \begin{array}{c} \operatorname{sen}(x) \approx x \approx \operatorname{tg}(x)\\ 1-\cos(x) \approx \dfrac{x^2}{2}\\ \operatorname{arctg}(x) \approx x\\ e^x-1 \approx x\\ \log(1+x) \approx x\\ \end{array} \]

A veces se puede resolver una indeterminación cuando $x\to a$ sustituyendo cualquier subexpresión de la función por un infinitésimo equivalente cuando $x\to a$.

Ejemplo 6.23 La función $f(x)=\dfrac{\operatorname{sen}(x)(1- \cos(x))}{x^3}\to \dfrac{0}{0}$ cuando $x\to 0$.

Como $\operatorname{sen}(x) \approx x$ y $1-\cos(x)\approx \dfrac{x^2}{2}$ cuando $x\to 0$, para resolver la indeterminación sustituimos $\operatorname{sen}(x)$ por $x$ y $1-\cos(x)$ por $\dfrac{x^2}{2}$:

\[\begin{align*} \lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)(1- \cos (x))}{x^3}&= \lim_{x\to 0}\dfrac{x\frac{x^2}{2}}{x^3} = \lim_{x\to 0}\dfrac{\frac{x^3}{2}}{x^3} = \lim_{x\to 0}\dfrac{1}{2} =0.5. \end{align*}\]

6.8.2.5 Regla de L’Hôpital

Teorema 6.8 (Regla de L’Hôpital) Dado un conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$, dos funciones $f,g:A\to \mathbb{R}$, y un punto de acumulación $a$ de $A$, tales que $\dfrac{f(x)}{g(x)}\to \dfrac{0}{0}$ o $\dfrac{\infty}{\infty}$ cuando $x\to a$, entonces si existe $\lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ se cumple que

\[ \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}. \]

Demostración

Prueba. Se verá en el siguiente capítulo.

Advertencia

Para que exista $\lim_{x\to a}\dfrac{f'(x)}{g'(x)}$ es necesario que que $f$ y $g$ sean derivables en un entorno de $a$.

Ejemplo 6.24 Sea $f(x)=\dfrac{\log(x^2-1)}{x+2}\to \dfrac{\infty}{\infty}$ cuando $x\to \infty$.

Para resolver la indeterminación aplicamos la regla de L’Hôpital:

\[\begin{align*} \lim_{x\to \infty}\frac{\log(x^2-1)}{x+2} &= \lim_{x\to \infty}\frac{\left(\log(x^2-1)\right)'}{\left(x+2\right)'}= \lim_{x\to \infty}\frac{\frac{2x}{x^2-1}}{1}=\\ &=\lim_{x\to \infty}\frac{2x}{x^2-1}= \lim_{x\to \infty}\frac{\left(2x\right)'}{\left(x^2-1\right)'}= \lim_{x\to \infty}\frac{2}{2x}=0. \end{align*}\]

6.8.3 Resolución de una indeterminación de tipo producto

Si $f(x)\to 0$ y $g(x)\to \pm\infty$ cuando $x\to a$, entonces la indeterminación $f(x)\cdot g(x)\to 0\cdot \pm\infty$ puede convertirse en una de tipo cociente mediante la transformación:

\[f(x)\cdot g(x) = \frac{f(x)}{1/g(x)}\to \frac{0}{0}.\]

Ejemplo 6.25 Sea $f(x)=x^2e^{1/x^2}\to 0\cdot\infty$ cuando $x\to 0$.

\[\begin{align*} \lim_{x\to 0}x^2e^{1/x^2} &= \lim_{x\to 0}\frac{e^{1/x^2}}{1/x^2}\to \frac{\infty}{\infty} \end{align*}\]

Aplicando ahora la regla de L´Hôpital tenemos:

\[\begin{align*} \lim_{x\to 0}\frac{e^{1/x^2}}{1/x^2} &= \lim_{x\to 0}\frac{\left(e^{1/x^2}\right)'}{\left(1/x^2\right)'} = \lim_{x\to 0}\frac{e^{1/x^2}\frac{-2}{x^3}}{\frac{-2}{x^3}} = \lim_{x\to 0}e^{1/x^2}=\infty. \end{align*}\]

6.8.4 Resolución de una indeterminación de tipo potencia

Si $f(x)^{g(x)}$ presenta una indeterminación de tipo potencia cuando $x\to a$, entonces la indeterminación puede convertirse en una de tipo producto mediante la transformación:

\[\exp\left(\log f(x)^{g(x)}\right) = \exp\left(g(x)\cdot \log f(x)\right).\]

Ejemplo 6.26 Sea $f(x)=\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x} \to 1^\infty$ cuando $x\to 0$.

\[\begin{align*} \lim_{x\to 0}\left(1+\dfrac{1}{x}\right)^{x} &= \lim_{x\to 0}\exp\left(\log\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}\right)\\ &= \exp\left(\lim_{x\to 0}x\log\left(1+\frac{1}{x}\right)\right)\\ &= \exp\left(\lim_{x\to 0}\frac{\log\left(1+\frac{1}{x}\right)}{1/x}\right) \end{align*}\]

Aplicando ahora la regla de L´Hôpital tenemos:

\[\begin{align*} \exp\left(\lim_{x\to 0}\frac{\left(\log\left(1+\frac{1}{x}\right)\right)'}{\left(1/x\right)'}\right) &= \exp\left(\lim_{x\to 0}\frac{\frac{1}{1+1/x}\frac{-1}{x^2}}{\frac{-1}{x^2}}\right) \\ &= \exp\left(\lim_{x\to 0}\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\right)=\exp(1)=e. \end{align*}\]

6.8.5 Resolución de una indeterminación de tipo diferencia

Si $f(x)\to \infty$ y $g(x)\to \infty$ cuando $x\to a$, entonces la indeterminación $f(x)-g(x)$ puede convertirse en una de tipo cociente mediante la transformación:

\[f(x)-g(x)=\frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{f(x)g(x)}}\to \frac{0}{0}.\]

Ejemplo 6.27 Sea $f(x)=\dfrac{1}{\operatorname{sen} x}-\dfrac{1}{x} \to \infty-\infty$ cuando $x\to 0$.

\[\begin{align*} \lim_{x\to 0} \frac{1}{\operatorname{sen} x}-\frac{1}{x} &= \lim_{x\to 0} \frac{x-\operatorname{sen} x}{x\operatorname{sen} x} \to \frac{0}{0}. \end{align*}\]

Aplicando ahora la regla de L´Hôpital tenemos:

\[\begin{align*} \lim_{x\to 0} \frac{x-\operatorname{sen} x}{x\operatorname{sen} x} & = \lim_{x\to 0} \frac{\left(x-\operatorname{sen} x\right)'}{\left(x\operatorname{sen} x\right)'}= \lim_{x\to 0} \frac{1-\cos x}{\operatorname{sen} x +x\cos x} = \\ &= \lim_{x\to 0} \frac{\left(1-\cos x\right)'}{\left(\operatorname{sen} x +x\cos x\right)'} = \lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x +\cos x-x\operatorname{sen} x}=\\ &= \frac{0}{2}=0. \end{align*}\]

6.9 Asíntotas de una función

Una asíntota de una función es una recta a la que tiende la función en el infinito, es decir, que la distancia entre la recta y la función es cada vez menor.

Existen tres tipos de asíntotas:

Asíntota vertical: $x=a$,
Asíntota horizontal: $y=a$,
Asíntota oblicua: $y=a+bx$.

6.9.1 Asíntotas verticales

Definición 6.10 (Asíntota vertical) Se dice que una recta $x=a$ es una asíntota vertical de una función $f$ si se cumple

\[\lim_{x\to a^-}f(x)=\pm \infty \quad \mbox{o} \quad \lim_{x\to a^-}f(x)=\pm \infty\]

Las asíntotas verticales deben buscarse en los puntos donde no está definida la función, pero si lo está en las proximidades.

Ejemplo 6.28 La recta $x=2$ es una asíntota vertical de $f(x)=\dfrac{x+1}{x-2}$ ya que

\[\lim_{x\to 2^-}\frac{x+1}{x-2} =-\infty, \mbox{ y } \lim_{x\to 2^+}\frac{x+1}{x-2} =\infty.\]

6.9.2 Asíntotas horizontales

Definición 6.11 (Asíntota horizontal) Se dice que una recta $y=a$ es una asíntota horizontal de una función $f$ si se cumple

\[\lim_{x\to +\infty}f(x)=a \quad \mbox{o} \quad \lim_{x\to \infty}f(x)=a\]

Ejemplo 6.29 La recta $y=1$ es una asíntota horizontal de $f(x)=\dfrac{x+1}{x-2}$ ya que

\[\begin{align*} \lim_{x\to -\infty}\frac{x+1}{x-2}&= \lim_{x\to -\infty}1+\frac{3}{x-2} = 1, \mbox{ y}\\ \lim_{x\to +\infty}\frac{x+1}{x-2}&= \lim_{x\to +\infty}1+\frac{3}{x-2} = 1. \end{align*}\]

6.9.3 Asíntotas oblicuas

Definición 6.12 (Asíntota oblicua) Se dice que una recta $y=a+bx$ es una asíntota oblicua de una función $f$ si se cumple

\[\lim_{x\to \pm\infty}\frac{f(x)}{x}=b \quad \mbox{y} \quad \lim_{x\to \pm\infty}f(x)-bx=a.\]

Ejemplo 6.30 La recta $y=x+1$ es una asíntota oblicua de $f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}$ ya que

\[\begin{align*} \lim_{x\to \pm\infty}\frac{\frac{x^2}{x-1}}{x}&= \lim_{x\to \pm\infty}\frac{x^2}{x^2-x} = 1, \mbox{ y}\\ \lim_{x\to \pm\infty}\frac{x^2}{x-1}-x &= \lim_{x\to \pm\infty}1+\frac{x}{x-1} = 1 \end{align*}\]

6.10 Continuidad

Definición 6.13 (Función continua en un punto) Dado un conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$, una función $f:A\to \mathbb{R}$ y un punto de acumulación $a$ de $A$, se dice que la función $f$ es continua en el punto $a$ si

\[\lim_{x\to a}f(x)=f(a).\]

Ejemplo 6.31 La función $f(x)=x^2$ es continua en $2$ ya que $\lim_{x\to 2}x^2 = 4 = f(2)$.

Definición 6.14 (Función continua en un intervalo) Dado un conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$ y una función $f:A\to \mathbb{R}$, se dice que función $f$ es continua en un intervalo $I\subseteq A$, si lo es en cada uno de los puntos de $I$.

De manera informal, se puede decir que una una función es continua en un intervalo, si puede dibujarse su gráfica en ese intervalo sin levantar el lápiz.

Ejemplo 6.32 La función constante $f(x)=c$ es continua en todo $\mathbb{R}$, ya que $\lim_{x\to a}c = c = f(a)$ $\forall a\in\mathbb{R}$.

La función identidad $\operatorname{Id}(x)=x$ es continua en todo $\mathbb{R}$, ya que $\lim_{x\to a}x = a = \operatorname{Id}(a)$ $\forall a\in\mathbb{R}$.

Del mismo modo, función $f(x)=x^2$ es continua en todo $\mathbb{R}$, ya que $\lim_{x\to a}x^2 = a^2 = f(a)$ $\forall a\in\mathbb{R}$,

Ejemplo 6.33 Veamos que la $f(x)=\operatorname{sen}(x)$ es continua en todo $\mathbb{R}$. Sea $a\in\mathbb{R}$. Usando propiedades trigonométricas se tiene

\[\begin{align*} |\operatorname{sen}(x)-\operatorname{sen}(a)| &=|2\operatorname{sen}\left(\frac{x-a}{2}\right)\cos\left(\frac{x-a}{2}\right)| \\ &= 2|\operatorname{sen}\left(\frac{x-a}{2}\right)||\cos\left(\frac{x-a}{2}\right)| \\ &\leq 2\frac{|x-a|}{2}=|x-a|, \end{align*}\]

ya que $\operatorname{sen}(x)\leq x$ $\forall x\in\mathbb{R}^+$ y $\cos(x)\leq 1$ $\forall x\in\mathbb{R}$.

Así pues, para cualquier $\varepsilon>0$ existe $\delta=\varepsilon>0$ tal que si $|x-a|<\delta=\varepsilon$, entonces $|\operatorname{sen}(x)-\operatorname{sen}(a)|<|x-a|=\varepsilon$.

De aquí se puede deducir que todas las funciones trigonométricas son continuas en su dominio.

De la definición de continuidad se deducen tres condiciones necesarias para la continuidad:

$f(a)\in \operatorname{Dom}(f)$.
Existe $\lim_{x\to a}f(x)$.
$\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.

Si se rompe alguna de estas condiciones, se dice que la función presenta una discontinuidad en $a$.

6.11 Tipos de discontinuidades

Dependiendo de la condición de continuidad que se rompa, existen distintos tipos de discontinuidades:

Discontinuidad evitable.
Discontinuidad de 1ª especie de salto finito.
Discontinuidad de 1ª especie de salto infinito.
Discontinuidad de 2ª especie.

6.11.1 Discontinuidad evitable

Definición 6.15 (Discontinuidad evitable) Se dice que una función $f$ tiene una discontinuidad evitable en el punto $a$ si existe el límite de $f$ en $a$ pero $\displaystyle \lim_{x\to a}f(x)\neq f(a)$.

Ejemplo 6.34 La función $f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ tiene una discontinuidad evitable en $x=1$ ya que la función no está definida en $x=1$ pero

\[\lim_{x\to 2}\frac{x^2-1}{x-1} = \lim_{x\to 2}x+1=2.\]

6.11.2 Discontinuidad de 1ª especie de salto finito

Definición 6.16 (Discontinuidad de 1ª especie de salto finito) Se dice que una función $f$ tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto finito en el punto $a$ si existen los límites laterales de $f$ en $a$ pero

\[\lim_{x\to a^-}f(x)\neq \lim_{x\to a^+}f(x).\]

A la diferencia entre ambos límite se le lama salto de la discontinuidad.

Ejemplo 6.35 La función $f(x)=\dfrac{\lvert x\rvert}{x}$ tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto finito en $x=0$ ya que

\[\begin{align*} \lim_{x\to 0^-}\frac{|x|}{x}&= -1\\ \lim_{x\to 0^+}\frac{|x|}{x}&= 1 \end{align*}\]

Salto $= 1-(-1)=2$.

Discontinuidad de primera especie de salto finito en $x=0$

6.11.3 Discontinuidad de 1ª especie de salto infinito

Definición 6.17 (Discontinuidad de 1ª especie de salto infinito) Se dice que una función $f$ tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito en el punto $a$ si

\[\lim_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty \quad \mbox{o} \quad \lim_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty.\]

Si $f$ tienen una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito en un punto $a$, entonces $f$ tienen una asíntota vertical $x=a$.

Ejemplo 6.36 La función $f(x)=e^{1/x}$ tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito en $x=0$ ya que

\[\begin{align*} \lim_{x\to 0^-}e^{1/x}&= 0\\ \lim_{x\to 0^+}e^{1/x}&= \infty \end{align*}\]

Discontinuidad de primera especie de salto infinito en $x=0$

6.11.4 Discontinuidad de 2ª especie

Definición 6.18 (Discontinuidad de 2ª especie) Se dice que una función $f$ tiene una discontinuidad de 2ª especie en el punto $a$ si no existe alguno de los límites laterales y tampoco se trata de una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito.

Normalmente la discontinuidades de 2ª especie se dan en puntos donde la función no definida en sus proximidades.

Ejemplo 6.37 La función $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x^2-1}}$ tiene una discontinuidad de 2ª especie en $x=1$ ya que

\[\begin{align*} & \lim_{x\to 1^-}\frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \mbox{ no existe} \\ & \lim_{x\to 1^+}\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}=\infty \end{align*}\]

Discontinuidad de segunda especie en $x=0$

Proposición 6.14 Dado un conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$, dos funciones $f,g:A\to \mathbb{R}$ y un punto de acumulación $a$ de $A$, si $f$ y $g$ son continuas en $a$, entonces

$f\pm g$ es continua en $a$.
$f\cdot g$ es continua en $a$.
$cf$ es continua en $a$ $\forall c\in\mathbb{R}$.
$\frac{f}{g}$ es continua en $a$ si $g(x)\neq 0$ $\forall x\in\mathbb{R}$.

Demostración

Prueba. Es una consecuencia inmediata del álgebra de límites.

Ejemplo 6.38 El polinomio $p(x)=2x^2-x+3$ es continuo en todo $\mathbb{R}$ ya que las funciones $f(x)=x^2$, $g(x)=x$ y $h(x)=3$ son continuas en todo $\mathbb{R}$.

De hecho, se puede demostrar de manera similar que cualquier polinomio es continuo en todo $\mathbb{R}$.

Proposición 6.15 Dados dos conjuntos $A,B\subseteq \mathbb{R}$, dos funciones $f:A\to \mathbb{R}$, $g:B\to \mathbb{R}$ tales que $f(A)\subseteq B$ y un punto de acumulación $a$ de $A$, si $f$ es continua en $a$ y $g$ es continua en $f(a)$, entonces $g\circ f$ es continua en $a$.

Demostración

Prueba. Como $f$ es continua en $a$, $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ y como $g$ es continua en $f(a)$, $\lim_{x\to f(a)}g(x)=g(f(a))$, de manera que, aplicando el teorema del límite de la composición de funciones, se tiene que $\lim_{x\to a}g\circ f(x)= g\circ f(a)$, y por tanto, $g\circ f$ es continua en $a$.

Ejemplo 6.39 Sea $f(x)=\frac{1}{x}$, que es continua en $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ y $g(x)=\cos(x)$ que es continua en todo $\mathbb{R}$. Entonces $g\circ f(x)=\cos\left(\frac{1}{x}\right)$ es continua en $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, mientras que $f\circ g(x)=\frac{1}{\cos(x)}$ es continua en $\mathbb{R}\setminus\{(2k+1)\pi/2: k\in\mathbb{Z}\}$.

6.12 Funciones continuas en intervalos

Teorema 6.9 Dado un intervalo cerrado y acotado $I=[a,b]$, y una función $f:I\to\mathbb{R}$, si $f$ es continua en $I$, entonces $f$ está acotada en $I$.

Demostración

Prueba. Lo probaremos por reducción al absurdo. Supongamos que $f$ no está acotada en $I$. Entonces, para cada $n\in\mathbb{N}$ existe $x_n\in I$ tal que $|f(x_n)|>n$. La sucesión $(x_n)_{n=1}^\infty\subset I$ y como $I$ está acotado, $(x_n)_{n=1}^\infty$ también está acotada, de manera que, por el Teorema 4.6 existe una subsucesión $(x_{n_k})_{k=1}^\infty$ que converge.

Sea $c=\lim_{k\to\infty}x_{n_k}$. Como $(x_{n_k})_{k=1}^\infty\subset I$, y $I$ es cerrado, por el Teorema 3.4, contiene a todos sus puntos de acumulación, y por tanto $c\in I$.

Como $f$ es continua en $I$, lo es, en particular, en $c$, de modo que como $(x_{n_k})_{k=1}^\infty$ converge a $c$, $\lim_{k\to\infty}f(x_{n_k}) = f(c)$ y, por el Teorema 4.2, $(f(x_{n_k}))_{k=1}^\infty$ está acotada, pero $|f(x_{n_k})|>n_k>k$ $\forall k\in\mathbb{N}$, lo que contradice que esté acotada. Así pues, $f$ está acotada en $I$.

Ejemplo 6.40 La función

\[ f(x)= \begin{cases} \frac{1}{x} & \mbox{si } x\in (0,1]\\ 0 & \mbox{si } x=0 \end{cases} \]

no está acotada en el intervalo $[0,1]$, luego no es continua en este intervalo.

Teorema 6.10 Dado un intervalo cerrado y acotado $I=[a,b]$, y una función $f:I\to\mathbb{R}$, si $f$ es continua en $I$, entonces $f$ alcanza el máximo y el mínimo en $I$, es decir, existen $c,d\in I$ tales que $c\leq f(x)\leq d$ $\forall x\in I$.

Demostración

Prueba. Como $I=[a,b]$ es cerrado y acotado, y $f$ es continua en $I$, por el teorema anterior se tiene que $f$ está acotada en $I$.

Como $f(I)\neq \emptyset$ pues $f(a)\in f(I)$, por el axioma de completitud de los números reales, existe el supremo $s=\sup\{f(I)\}$. Para cada $n\in\mathbb{N}$, $s-\frac{1}{n}$ no es cota superior de $f(I)$, y por tanto, existe $x_n\in I$ tal que $s-\frac{1}{n}<f(x_n)<s$. Podemos construir así una sucesión $(x_n)_{n=1}^\infty\subset I$. Como $I$ está acotado, por el por el Teorema 4.6 existe una subsucesión $(x_{n_k})_{k=1}^\infty$ que converge.

Sea $d=\lim_{k\to\infty}x_{n_k}$. Como $(x_{n_k})_{k=1}^\infty\subset I$, y $I$ es cerrado, por el Teorema 3.4, contiene a todos sus puntos de acumulación, y por tanto $d\in I$.

Como $f$ es continua en $I$, lo es, en particular, en $d$, de modo que como $(x_{n_k})_{k=1}^\infty$ converge a $d$, $\lim_{k\to\infty}f(x_{n_k}) = f(d)$. Además se tiene que $s-\frac{1}{k}<s-\frac{1}{n_k}<f(x_{n_k})<s$ $\forall k\in\mathbb{N}$. Así pues, por el teorema de compresión de funciones, se tiene que $\lim_{k\to\infty} f(x_{n_k})=s$, y por tanto $f(d)=s$ de modo que $f(d)\geq f(x)$ $\forall x\in I$.

Si ahora consideramos la función $-f$, que también es continua en $I$ al ser la composición de funciones continuas, por lo que acabamos de demostrar, $-f$ alcanza el máximo en $I$, es decir, existe $c\in I$ tal que $-f(c)\geq -f(x)$ $\forall x\in I$, de donde se deduce que $f(c)\leq f(x)$ $\forall x\in I$.

Teorema 6.11 (Bolzano) Dado un intervalo cerrado y acotado $I=[a,b]$, y una función $f:I\to\mathbb{R}$, si $f$ es continua en $I$, y $f(a)<0<f(b)$, entonces existe $c\in(a,b)$ tal que $f(c)=0$.

Demostración

Prueba. Sea $A=\{x\in I: f(x)<0\}$. $A\subset I$ y como $I$ está acotado, también $A$ está acotado. $A\neq\emptyset$ ya que $a\in A$, de manera que, por el axioma del supremo existe $c=\sup(A)$.

Veamos ahora que $c\in(a,b)$. Como $f$ es continua en $I$, $\lim_{x\to a^-}f(x)=f(a)<0$, de modo que existe $\delta_1>0$ tal que $f(x)<0$ $\forall x\in [a,a+\delta_1)$, y por tanto, $[a,a+\delta_1)\subset A$, por lo que $c>a$.

Del mismo modo, $\lim_{x\to b^+}f(x)=f(b)>0$, de modo que existe $\delta_2>0$ tal que $f(x)>0$ $\forall x\in (b-\delta_2,b]$, y por tanto, $(b-\delta_2,b]\subset \overline{A}$, por lo que $c<b$.

Finalmente, veamos que $f(c)=0$ por reducción al absurdo. Si suponemos que $f(c)>0$, entonces $f(c)=\lim_{x\to c} f(x)>0$, de manera que existe $\delta>0$ tal que si $f(x)>0$ $\forall x\in(c-\delta, c+\delta)$, lo que contradice que $c$ sea el supremo de $A$. Del mismo modo, si suponemos que $f(c)<0$, entonces $f(c)=\lim_{x\to c} f(x)<0$, de manera que existe $\delta>0$ tal que si $f(x)<0$ $\forall x\in(c-\delta, c+\delta)$, y entonces, $f\left(c+\frac{\delta}{2}\right)<0$, por lo que $c+\frac{\delta}{2}\in A$ y $c+\frac{\delta}{2}>c$, lo que contradice que $c$ sea cota superior de $A$. Por consiguiente, debe ser $f(c)=0$.

Teorema 6.12 (Valores intermedios) Dado un intervalo cerrado y acotado $I=[a,b]$, y una función $f:I\to\mathbb{R}$, si $f$ es continua en $I$ y si $c,d\in I$, entonces para cualquier $k\in\mathbb{R}$ con $f(c)<k<f(d)$, existe $e\in I$ entre $c$ y $d$ tal que $f(e)=k$.

Demostración

Prueba. Supongamos que $c<d$ y tomemos la función $g:[c,d]\to\mathbb{R}$ tal que $g(x)=f(x)-k$ $\forall x\in[c,d]$. Puesto que $f$ es continua en $[c,d]$, $g$ también lo es. Además $g(c)=f(c)-k<0$ y $g(d)=f(d)-k>0$. Por tanto, por el teorema de Bolzano, existe $e\in(c,d)$ tal que $g(e)=0$, y por consiguiente, $g(e)=f(e)-k=0$, de donde se deduce que $f(e)=k$.

De forma análoga se procede si $d<c$.

Teorema 6.13 Dado un intervalo cerrado y acotado $I=[a,b]$, y una función $f:I\to\mathbb{R}$, si $f$ es continua en $I$ y $k\in\mathbb{R}$ es tal que $\inf(f(I))\leq k\leq \sup(f(I))$, entonces existe $e\in I$ tal que $f(e)=k$.

Demostración

Prueba. Por el Teorema 6.10 existe $c,d\in I$ tales que $f(c)\leq f(x)\leq f(d)$ $\forall x\in I$. $f(c)=\min(f(I))=\inf(f(I))\leq k\leq \sup(f(I))=\max(f(I))=f(d)$.

Si $k=f(c)$ o $k=f(d)$ el resultado es trivial, y si $f(c)<k<f(d)$, por el teorema de los valores intermedios, existe $e\in I$ entre $c$ y $d$ tal que $f(e)=k$.

Teorema 6.14 Dado un intervalo cerrado y acotado $I=[a,b]$, y una función $f:I\to\mathbb{R}$, si $f$ es continua en $I$ entonces $f(I)$ es un intervalo cerrado y acotado.

Demostración

Prueba. Por el Teorema 6.10 existe $c,d\in I$ tales que $f(c)\leq f(x)\leq f(d)$ $\forall x\in I$, por lo que $f(I)\subseteq[f(c), f(d)]$.

Veamos ahora que también se cumple el otro sentido de la inclusión. Si $k\in[f(c),f(d)]$, por el teorema anterior, se tiene que existe $e\in I$ tal que $f(e)=k$, y por tanto $k\in f(I)$, por lo que $[f(c),f(d)]\subset f(I)$.

Por consiguiente, $f(I)=[f(c),f(d)]$ que es un intervalo cerrado y acotado.

Notas

Se pude simplificar porque aunque $x\to 1$, $x\neq 1$ y por tanto el denominador no se anula.↩︎