3  2023-03-11
Examen de Análisis II

Ejercicio 3.1 Estudiar la convergencia de las siguientes series

1. ${\displaystyle \sum \frac{3n^2+2n}{\sqrt{n^5+n}}}$

2. ${\displaystyle \sum \cos (n\pi )n^2{e}^{-n}}$

Solución

1. Se trata de una serie de términos positivos en la que el término dominante en el numerador es $3n^2$ y el término dominante en el denominador es $n^{5/2}$, por lo que podemos utilizar el criterio del cociente para compararla con las serie $\sum \frac{3n^2}{n^{5/2}}$.

   $$\begin{array}{rl}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{3n^2+2n}{\sqrt{n^5+n}}}{\frac{3n^2}{n^{5/2}}}& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+2n}{3n^2}\frac{\sqrt{n^5+n}}{\sqrt{n^5}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{3n^2+2n}{3n^2}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\sqrt{n^5+n}}{\sqrt{n^5}}=1\end{array}$$

   Por tanto, la serie $\sum \frac{3n^2+2n}{\sqrt{n^5+n}}$ tiene el mismo comportamiento que la serie $\sum \frac{3n^2}{n^{5/2}}$, y como $\sum \frac{3n^2}{n^{5/2}}=3\sum \frac{1}{n^{1/2}}$ es una serie $p$ con $p<1$, diverge, por lo que la serie $\sum \frac{3n^2+2n}{\sqrt{n^5+n}}$ también diverge.

2. Se trata de una serie alternada ya que $\sum \cos (n\pi )n^2{e}^{-n}=\sum (-1{)}^n{n}^2{e}^{-n}$ por lo que aplicando el criterio de la serie alternada, como $n^2{e}^{-n}$ es monótona decreciente para $n\ge 2$ y

   $$\begin{array}{}\text{(L’Hôpital)}& \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{n}^2{e}^{-x}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n^2}{e^x}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2n}{e^x}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2}{e^x}=0,\end{array}$$

   se concluye que la serie $\sum \cos (n\pi )n^2{e}^{-n}$ converge.

Ejercicio 3.2 Un pozo de petróleo produce 200 mil litros de petróleo el primer año de su explotación, pero cada año que pasa la producción decae un 12%. Calcular la cantidad de petróleo extraída tras $n$ años de actividad. ¿Qué cantidad total de petróleo se extraerá del pozo hasta agotarlo?

Solución

La producción anual evoluciona según la sucesión

$$\begin{array}{rl}{a}_1& =200\\ a_2& =a_1(1-0.12)=200\cdot 0.88\\ a_3& =a_{2}0.88=200\cdot {0.88}^2\\ ⋮\\ a_n& =200\cdot {0.88}^{n-1}\end{array}$$

por lo que la producción acumulada viene dada por la serie $\sum 200\cdot {0.88}^{n-1}$ que es una serie geométrica de razón $0.88$. Así pues, la cantidad de petróleo extraída tras $n$ años es

$$A_n=\sum _{i=0}^{n-1}200\cdot {0.88}^i=200\frac{1-{0.88}^n}{1-0.88},$$

y la cantidad total de petróleo que se extraerá del pozo hasta agotarlo viene dada por la suma

$$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}200\cdot {0.88}^n=\frac{200}{1-0.88}\approx 1666.6667\text{ mil litros}.$$

Ejercicio 3.3 Determinar el dominio de convergencia puntual de la serie de potencias

$$\sum \frac{n(x-3{)}^n}{(n+1)4^n}$$

Solución

Para determinar el radio de convergencia de la serie de potencias podemos usar el criterio de la raíz, que establece que

$$R=\frac{1}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{|c_n|}}$$

Como

$$\begin{array}{r}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{|c_n|}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{\frac{n}{(n+1)4^n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{4}\sqrt[n]{\frac{n}{(n+1)}}=\frac{1}{4},\end{array}$$

se concluye que $R=\frac{1}{1/4}=4$, de manera que la serie converge para $|x-3|<4$, es decir, en el intervalo $(-1,7)$.

Veamos ahora si la serie converge en los extremos del intervalo.

En $x=7$ se tiene la serie $\sum \frac{n{4}^n}{(n+1)4^n}=\sum \frac{n}{n+1}$, que diverge al ser $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n}{n+1}=1\ne 0$.

Y en $x=-1$ se tiene la serie $\sum \frac{n(-4{)}^n}{(n+1)4^n}=\sum (-1{)}^n\frac{n}{n+1}$, que es una serie alternada, pero también diverge al ser ${\left(\frac{n}{n+1}\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ una sucesión monótona creciente.

Por tanto, el dominio de convergencia puntual de la serie de potencias es $\mathcal{C}=(-1,7)$.

Ejercicio 3.4 Calcular la serie de Taylor de la función $f(x)=\frac{1}{x}$ en $a=1$. ¿Cuál es su dominio de convergencia puntual?

Solución

Calculamos las primeras derivadas para obtener la expresión de la derivada de orden $n$.

$$\begin{array}{rlrl}f(x)& =\frac{1}{x}=x^{-1}& f(1)& =1^{-1}=1,\\ f^{\prime }(x)& =(-1)x^{-2}& f^{\prime }(1)& =(-1)1^{-2}=-1,\\ f^{″}(x)& =2x^{-3}& f^{″}(1)& =2\cdot 1^{-3}=2,\\ f^{‴}(x)& =(-1)3!x^{-4}& f^{‴}(1)& =(-1)3!1^{-4}=-3!,\\ ⋮f^{(n)}(x)& =(-1{)}^{n+1}n!x^{-(n+1)}& f^{(n)}(1)& =(-1{)}^{n+1}n!\end{array}$$

Así pues, sustituyendo en la fórmula de la serie de Taylor se obtiene la serie

$$\sum \frac{f^n(1)}{n!}(x-1{)}^n=\sum \frac{(-1{)}^{n+1}n!}{n!}(x-1{)}^n=\sum (-1{)}^{n+1}(x-1{)}^n.$$

Su radio de convergencia puntual se obtiene fácilmente mediante el criterio de la razón

$$R=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right|=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\left|\frac{(-1{)}^{n+1}}{(-1{)}^{n+2}}\right|=1,$$

por lo que la serie converge en $|x-1|<1$, es decir, en el intervalo $(0,2)$. Veamos ahora si converge en los extremos.

En $x=0$ se tiene la serie $\sum (-1{)}^{n+1}(-1{)}^n=\sum (-1{)}^{2n+1}=\sum -1$ que diverge, mientras que en $x=2$ se tiene la serie $\sum (-1{)}^{n+1}{1}^n=\sum (-1{)}^{n+1}$ que también diverge ya que no existe el límite $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(-1{)}^{n+1}$.

Así pues, se concluye que el dominio de convergencia puntual de la serie de Taylor es $\mathcal{C}=(0,2)$.

Ejercicio 3.5 Calcular la integral superior de Riemann de la función $f(x)=2x^3+3x$ en el intervalo $[0,2]$.

Solución

Si dividimos el intervalo $[0,2]$ en $n$ subintervalos de igual amplitud, obtenemos la partición $P_n=\{x_0=0,x_1,\dots ,x_n=2\}$ con $x_i=\frac{2i}{n}$ para $i=1,\dots ,n$.

Como la función $f(x)=2x^3+3x$ es creciente en el intervalo $[0,2]$ el máximo de $f$ en cada subintervalo $(x_{i-1},x_i)$ se alcanzará en el extremo superior, de manera que la suma superior de Riemann de $f$ respecto de $P_n$ es

$$\begin{array}{rl}S(f,P_n)& =\sum _{i=1}^{n}f(x_i)(x_i-x_{i-1})=\sum _{i=1}^n(2{\left(\frac{2i}{n}\right)}^3+3\frac{2i}{n})\frac{2}{n}\\ & =\sum _{i=1}^n(\frac{16i^3}{n^3}+\frac{6i}{n})\frac{2}{n}=\frac{32}{n^4}\sum _{i=1}^n{i}^3+\frac{12}{n^2}\sum _{i=1}^{n}i\\ & =\frac{32}{n^4}{\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)}^2+\frac{12}{n^2}\frac{n(n+1)}{2}=\frac{32}{n^4}\frac{n^4+2n^3+n^2}{4}+6\frac{n+1}{n}\\ & =8\frac{n^4+2n^3+n^2}{n^4}+6\frac{n+1}{n}.\end{array}$$

Así pues, la integral superior de Riemann es

$$\begin{array}{rl}\overline{{\int }_0^2}f& =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}S(f,P_n)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}8\frac{n^4+2n^3+n^2}{n^4}+6\frac{n+1}{n}\\ & =8\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n^4+2n^3+n^2}{n^4}+6\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{n+1}{n}=8+6=14.\end{array}$$