3 2023-03-11
Examen de Análisis II
Ejercicio 3.1 Estudiar la convergencia de las siguientes series
\(\displaystyle \sum \frac{3n^2+2n}{\sqrt{n^5+n}}\)
\(\displaystyle \sum \cos(n\pi)n^2e^{-n}\)
Se trata de una serie de términos positivos en la que el término dominante en el numerador es \(3n^2\) y el término dominante en el denominador es \(n^{5/2}\), por lo que podemos utilizar el criterio del cociente para compararla con las serie \(\sum \frac{3n^2}{n^{5/2}}\).
\[\begin{align*} \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{3n^2+2n}{\sqrt{n^5+n}}}{\frac{3n^2}{n^{5/2}}} &= \lim_{n\to\infty} \frac{3n^2+2n}{3n^2} \frac{\sqrt{n^5+n}}{\sqrt{n^5}} = \lim_{n\to\infty} \frac{3n^2+2n}{3n^2} \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^5+n}}{\sqrt{n^5}} = 1 \end{align*}\]
Por tanto, la serie \(\sum \frac{3n^2+2n}{\sqrt{n^5+n}}\) tiene el mismo comportamiento que la serie \(\sum \frac{3n^2}{n^{5/2}}\), y como \(\sum \frac{3n^2}{n^{5/2}} = 3\sum \frac{1}{n^{1/2}}\) es una serie \(p\) con \(p<1\), diverge, por lo que la serie \(\sum \frac{3n^2+2n}{\sqrt{n^5+n}}\) también diverge.
Se trata de una serie alternada ya que \(\sum \cos(n\pi)n^2e^{-n} = \sum (-1)^nn^2e^{-n}\) por lo que aplicando el criterio de la serie alternada, como \(n^2 e^{-n}\) es monótona decreciente para \(n\geq 2\) y
\[ \lim_{n\to\infty} n^2 e^{-x} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^2}{e^x} = \lim_{n\to\infty} \frac{2n}{e^x} = \lim_{n\to\infty} \frac{2}{e^x} = 0, \tag{L'Hôpital} \]
se concluye que la serie \(\sum \cos(n\pi)n^2e^{-n}\) converge.
Ejercicio 3.2 Un pozo de petróleo produce 200 mil litros de petróleo el primer año de su explotación, pero cada año que pasa la producción decae un 12%. Calcular la cantidad de petróleo extraída tras \(n\) años de actividad. ¿Qué cantidad total de petróleo se extraerá del pozo hasta agotarlo?
La producción anual evoluciona según la sucesión
\[\begin{align*} a_1 &= 200\\ a_2 &= a_1(1-0.12) = 200\cdot 0.88\\ a_3 &= a_20.88 = 200\cdot 0.88^2\\ \vdots\\ a_n &= 200\cdot 0.88^{n-1} \end{align*}\]
por lo que la producción acumulada viene dada por la serie \(\sum 200\cdot 0.88^{n-1}\) que es una serie geométrica de razón \(0.88\). Así pues, la cantidad de petróleo extraída tras \(n\) años es
\[ A_n = \sum_{i=0}^{n-1} 200\cdot 0.88^i = 200 \frac{1-0.88^n}{1-0.88}, \]
y la cantidad total de petróleo que se extraerá del pozo hasta agotarlo viene dada por la suma
\[ \sum_{n=0}^\infty 200\cdot 0.88^n = \frac{200}{1-0.88} \approx 1666.6667 \mbox{ mil litros}. \]
Ejercicio 3.3 Determinar el dominio de convergencia puntual de la serie de potencias
\[ \sum \frac{n(x-3)^n}{(n+1)4^n} \]
Para determinar el radio de convergencia de la serie de potencias podemos usar el criterio de la raíz, que establece que
\[ R = \frac{1}{\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|}} \]
Como
\[\begin{align*} \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|c_n|} = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\frac{n}{(n+1)4^n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{1}{4} \sqrt[n]{\frac{n}{(n+1)}} = \frac{1}{4}, \end{align*}\]
se concluye que \(R = \frac{1}{1/4} = 4\), de manera que la serie converge para \(|x-3|<4\), es decir, en el intervalo \((-1,7)\).
Veamos ahora si la serie converge en los extremos del intervalo.
En \(x=7\) se tiene la serie \(\sum \frac{n4^n}{(n+1)4^n} = \sum \frac{n}{n+1}\), que diverge al ser \(\lim_{n\to\infty} \frac{n}{n+1} = 1 \neq 0\).
Y en \(x=-1\) se tiene la serie \(\sum \frac{n(-4)^n}{(n+1)4^n} = \sum (-1)^n\frac{n}{n+1}\), que es una serie alternada, pero también diverge al ser \(\left(\frac{n}{n+1}\right)_{n=1}^\infty\) una sucesión monótona creciente.
Por tanto, el dominio de convergencia puntual de la serie de potencias es \(\mathcal{C}=(-1,7)\).
Ejercicio 3.4 Calcular la serie de Taylor de la función \(f(x)=\frac{1}{x}\) en \(a=1\). ¿Cuál es su dominio de convergencia puntual?
Calculamos las primeras derivadas para obtener la expresión de la derivada de orden \(n\).
\[\begin{align*} f(x) &= \frac{1}{x} = x^{-1} & f(1) &= 1^{-1} = 1,\\ f'(x) &= (-1)x^{-2} & f'(1) &= (-1)1^{-2} = -1,\\ f''(x) &= 2x^{-3} & f''(1) &= 2\cdot 1^{-3} = 2,\\ f'''(x) &= (-1)3!x^{-4} & f'''(1) &= (-1)3! 1^{-4} = -3!,\\ \vdots f^{(n)}(x) &= (-1)^{n+1}n!x^{-(n+1)} & f^{(n)}(1) &= (-1)^{n+1}n! \end{align*}\]
Así pues, sustituyendo en la fórmula de la serie de Taylor se obtiene la serie
\[ \sum \frac{f^{n}(1)}{n!}(x-1)^n = \sum \frac{(-1)^{n+1}n!}{n!}(x-1)^n = \sum (-1)^{n+1}(x-1)^n. \]
Su radio de convergencia puntual se obtiene fácilmente mediante el criterio de la razón
\[ R = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{c_n}{c_{n+1}}\right| = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{(-1)^{n+1}}{(-1)^{n+2}}\right| = 1, \]
por lo que la serie converge en \(|x-1|<1\), es decir, en el intervalo \((0,2)\). Veamos ahora si converge en los extremos.
En \(x=0\) se tiene la serie \(\sum (-1)^{n+1}(-1)^n = \sum (-1)^{2n+1} = \sum -1\) que diverge, mientras que en \(x=2\) se tiene la serie \(\sum (-1)^{n+1}1^n = \sum (-1)^{n+1}\) que también diverge ya que no existe el límite \(\lim_{n\to\infty} (-1)^{n+1}\).
Así pues, se concluye que el dominio de convergencia puntual de la serie de Taylor es \(\mathcal{C}=(0,2)\).
Ejercicio 3.5 Calcular la integral superior de Riemann de la función \(f(x)=2x^3+3x\) en el intervalo \([0,2]\).
Si dividimos el intervalo \([0,2]\) en \(n\) subintervalos de igual amplitud, obtenemos la partición \(P_n=\{x_0=0,x_1,\ldots,x_n=2\}\) con \(x_i=\frac{2i}{n}\) para \(i=1,\ldots,n\).
Como la función \(f(x)=2x^3+3x\) es creciente en el intervalo \([0,2]\) el máximo de \(f\) en cada subintervalo \((x_{i-1},x_i)\) se alcanzará en el extremo superior, de manera que la suma superior de Riemann de \(f\) respecto de \(P_n\) es
\[\begin{align*} S(f,P_n) &= \sum_{i=1}^n f(x_i)(x_i-x_{i-1}) = \sum_{i=1}^n \left(2\left(\frac{2i}{n}\right)^3 + 3\frac{2i}{n}\right) \frac{2}{n} \\ &= \sum_{i=1}^n \left(\frac{16i^3}{n^3} + \frac{6i}{n}\right) \frac{2}{n} = \frac{32}{n^4}\sum_{i=1}^n i^3 + \frac{12}{n^2} \sum_{i=1}^n i \\ &= \frac{32}{n^4}\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 + \frac{12}{n^2} \frac{n(n+1)}{2} = \frac{32}{n^4}\frac{n^4+2n^3+n^2}{4} + 6 \frac{n+1}{n} \\ &= 8\frac{n^4+2n^3+n^2}{n^4} + 6 \frac{n+1}{n}. \end{align*}\]
Así pues, la integral superior de Riemann es
\[\begin{align*} \overline{\int_0^2}f &= \lim_{n\to\infty} S(f,P_n) = \lim_{n\to\infty} 8\frac{n^4+2n^3+n^2}{n^4} + 6 \frac{n+1}{n} \\ &= 8 \lim_{n\to\infty} \frac{n^4+2n^3+n^2}{n^4} + 6 \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n} = 8 + 6 = 14. \end{align*}\]