13 2024-12-20
Examen de Análisis III
Ejercicio 13.1 La temperatura de una placa de inducción térmica en cada punto
¿Cuál es la tasa de variación instantánea de la temperatura en el punto
si empezamos a movernos en la dirección en la que decrece un tercio de lo que aumenta ?¿En qué puntos la temperatura será máxima y mínima? ¿Cuál será la temperatura en esos puntos?
Usar el polinomio de Taylor de segundo grado en el punto
para aproximar la temperatura en el punto .
La tasa de variación instantánea la da la derivada direccional de
en siguiendo la dirección del vector .Calculamos primero el gradiente de la función.
Así pues, el gradiente es
y en el punto
valePor tanto, la derivada direccional es
Para encontrar los puntos críticos de la función, igualamos el gradiente al vector nulo y resolvemos el sistema de ecuaciones.
Por tanto, los puntos críticos son
y .Para determinar si son máximos o mínimos, calculamos el determinante de la matriz hessiana en cada punto crítico.
La matriz hessiana en el punto
esy su determinante vale
, que es positivo, por lo que en el punto hay un extremo relativo, y como , es un máximo relativo. La temperatura en este punto vale .En el punto
la matriz hessiana esy su determinante vale
, que es positivo, por lo que en el punto también hay un extremo relativo, y como , es un mínimo relativo. La temperatura en este punto vale .La fórmula del polinomio de Taylor de segundo grado en el punto
esCalculamos el gradiente en el punto
y la matriz hessiana en el punto
Sustituyendo en la fórmula del polinomio de Taylor de segundo grado, obtenemos
Y la aproximación de la temperatura en el punto
es
Ejercicio 13.2 Un coche circula por un circuito elíptico cuya trayectoria viene dada por la función vectorial
Calcular la rapidez del vehículo en el instante
.Calcular la curvatura de la trayectoria en ese instante.
Calcular la componente tangencial del vector aceleración en ese instante.
Calcular la componente normal del vector aceleración en ese instante.
Suponiendo que los neumáticos no proporcionan ningún agarre (por ejemplo porque hay hielo en la carretera), ¿cuál es el mínimo ángulo que debería tener el peralte de la curva en este instante para que el coche no se salga del circuito? Tómese una aceleración debida a la gravedad de
m/s .
La rapidez del vehículo en el instante
es módulo del vector velocidad en ese instante, así que calculamos primero el vector velocidad.y en el instante
valepor lo que la rapidez es
m/min.La curvatura de la trayectoria en el instante
viene dada por la fórmulaCalculamos primero el vector aceleración.
que en el instante
valePor tanto, la curvatura en el instante
esLa componente tangencial del vector aceleración en el instante
esLa componente normal del vector aceleración en el instante
esLa fuerza centrípeta que debe ejercer el peralte de la curva para que el coche no se salga del circuito es la misma pero opuesta a la fuerza centrífuga del movimiento del coche. Como la fuerza centrífuga es la componente normal del vector aceleración que hemos calculado antes, se tiene que la fuerza centrípeta es
kg m/min kg m/s , donde es la masa del coche. Por otro lado, la fuerza que ejerce la carretera sobre el coche se descompone en la componente gravitatoria , que compensa la fuerza de la gravedad, y la componente normal a la componente gravitatoria, que es la fuerza centrípeta . Si es el ángulo del peralte de la carretera, se cumple que y . Así que la fuerza centrípeta es , y la fuerza gravitatoria es . Resolviendo el sistema de ecuaciones, se tiene que el peralte de la curva en este instante para que el coche no se salga del circuito es
Ejercicio 13.3 La ecuación
Para un toro de radio mayor
y radio menor , probar que la ecuación anterior define implícitamente a como una función de y en un entorno del punto .Calcular el gradiente de
como función implícita de y en el punto e interpretarlo.
La ecuación del toro es
Par demostrar que la ecuación anterior define a
como función implícita de e en un entorno del punto debemos comprobar que se cumplen las condiciones del teorema de la función implícita.Sea
. Entonces , de modo que el punto pertenece a la superficie del toro.En segundo lugar,
es diferenciable en un entorno de , puesto que es una función polinómica y las derivadas parciales sonComo todas las derivadas parciales son funciones polinómicas, son continuas en todo
, y en particular en el punto .Finalmente,
, por lo que se cumplen las condiciones del teorema de la función implícita y la ecuación define implícitamente a como función de e en un entorno del punto .Para calcular el gradiente de
como función implícita de e en el punto , tenemos que calcular las derivadas parciales de con respecto a e . Para ello, primero calculamos las derivadas parciales de en el punto .Por tanto, las derivadas parciales de
con respecto a e en el punto valenEs decir, el punto
, es un punto críttico de y por tanto en este punto la función ni crece ni decrece en cualquier dirección.
Ejercicio 13.4 Una ventana como la de la figura de más abajo está formada por un rectángulo de base
El área de la ventana es la suma de las áreas del rectángulo y le semicírculo, así que la función que da el área de la ventana es
Por otro lado, el perímetro de la ventana es la suma de los tres lados del rectángulo y el perímetro del semicírculo, así que la función que da el perímetro de la ventana es
Para minimizar el perímetro de la ventana podemos aplicar el método de los multiplicadores de Lagrange. Así que debemos resolver el sistema de ecuaciones
El gradiente de la función del área es
y el gradiente de la función del perímetro es
Así que el sistema de ecuaciones a resolver es
De la segunda ecuación obtenemos que
de donde se deduce que que
Finalmente, sustituyendo en la tercera ecuación, para un área de 1
y
Ejercicio 13.5 Calcular el centro de masas de una placa metálica semicircular de radio
- La densidad en cada punto es proporcional a la distancia al origen.
- La densidad en cada punto es proporcional a la distancia al eje
.
La distancia al origen de un punto
es , así que la densidad en cada punto es , donde es una constante de proporcionalidad.La región de integración es el semicírculo de radio
, que en coordenadas rectangulares esy en coordenadas polares es
Puesto que la región de integración es más simple en coordenadas polares, calculamos el centro de masas en estas coordenadas. Además la función de densidad se simplifica en coordenadas polares, puesto que
. Así que la densidad en cada punto es . La masa de la placa esPor otro lado, los momentos respecto al eje
y al eje sonAsí pues, el centroide tiene coordenadas
La distancia al eje
de un punto es , así que, en la región de integración, que cae en el semiplano , la densidad en cada punto es , donde es una constante de proporcionalidad.Al igual que antes trabajaremos en coordenadas polares ya que los cálculos son más simples. En coordenadas polares la función de densidad es
. La masa de la placa esY los momentos respecto al eje
y al eje sonAsí pues, el centroide tiene coordenadas
Ejercicio 13.6 Calcular el volumen comprendido entre la gráfica de la función
En primer lugar determinamos los puntos de corte de las dos gráficas para expresar la región de integración. Para ello, resolvemos el sistema de ecuaciones
Despejando
Si integramos primero con respecto a
Como la función