3  Topología de la recta real

$$\text{newcommand{mathbb{N}}{mathbb{N}} newcommand{mathbb{Z}}{mathbb{Z}} newcommand{mathbb{Q}}{mathbb{Q}} newcommand{mathbb{R}}{mathbb{R}} newcommand{mathbb{C}}{mathbb{C}} DeclareMathOperator{Int}{Int} DeclareMathOperator{Ext}{Ext} DeclareMathOperator{Fr}{Fr} DeclareMathOperator{Adh}{Adh} DeclareMathOperator{Ac}{Ac} DeclareMathOperator{sen}{sen}}$$

En este capítulo presentamos, sin profundizar demasiado, los principales conceptos topológicos del conjunto de los números reales, que serán necesarios en futuros capítulos.

Los números reales pueden representarse geométricamente como puntos de una línea recta que se conoce como la recta real. Existe una biyección entre los puntos de una recta y el conjunto $\mathbb{R}$ de los números reales, de modo que a cada número real le corresponde un solo punto, y a cada punto, exactamente un número real. Para establecer esta correspondencia se fija un punto $O$ en la recta correspondiente al número real $0$ y otro punto $A$ a la derecha de $0$, correspondiente al número real $1$, de manera que se dice que la abscisa de $A$ es $1$ y se denota $A(1)$. A partir de estos dos puntos, y considerando la distancia entre $O$ y $A$ como unidad de medida, se pueden representar cualquier otro punto $B$ correspondiente al número real $x$, dibujando a $B$ a la derecha de $O$ si $x>0$ y a la izquierda si $x<0$, a una distancia $|x|$ de $O$.

La recta real

3.1 Intervalos y entornos

Definición 3.1 (Intervalo abierto) Dados dos números reales tales que $a\le b$, se llama intervalo abierto de extremos $a$ y $b$, y se denota $(a,b)$ al conjunto de números reales comprendidos entre $a$ y $b$ $$(a,b)=\{x\in \mathbb{R}:a<x<b\}.$$

Definición 3.2 (Intervalo cerrado) Dados dos números reales tales que $a\le b$, se llama intervalo cerrado de extremos $a$ y $b$, y se denota $[a,b]$ al conjunto de números reales que son mayores o iguales que $a$ y menores o iguales que $b$ $$[a,b]=\{x\in \mathbb{R}:a\le x\le b\}.$$

Advertencia

Obsérvese que si $a=b$, $(a,a)=\mathrm{\varnothing }$ y $[a,a]=\{a\}$.

Los intervalos también pueden ser abiertos por un lado y cerrados por el otro.

Definición 3.3 (Intervalo semiabierto o semicerrado) Dados dos números reales tales que $a<b$, se definen los intervalos semiabiertos o semicerrados de extremos $a$ y $b$ de la siguiente manera: $$(a,b]=\{x\in \mathbb{R}:a<x\le b\}\text{y}[a,b)=\{x\in \mathbb{R}:a\le x<b\}$$

Estos intervalos están acotados ya que $a$ es una cota inferior y $b$ una cota superior, pero también existen intervalos no acotados.

Definición 3.4 (Intervalo abierto no acotado) Dado un número $a\in \mathbb{R}$, se definen los siguientes intervalos abiertos no acotados: $$(-\mathrm{\infty },a)=\{x\in \mathbb{R}:x<a\}\text{y}(a,\mathrm{\infty })=\{x\in \mathbb{R}:a<x\}$$

Definición 3.5 (Intervalo semiabierto no acotado) Dado un número $a\in \mathbb{R}$, se definen los siguientes intervalos semiabiertos no acotados: $$(-\mathrm{\infty },a]=\{x\in \mathbb{R}:x\le a\}\text{y}[a,\mathrm{\infty })=\{x\in \mathbb{R}:a\le x\}$$

Definición 3.6 (Intervalos anidados) Se dice que una sucesión de intervalos $I_n$, $n\in \mathbb{N}$ es una sucesión de intervalos anidados si se cumple que $I_{n+1}\subseteq I_n$ $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$.

Ejemplo 3.1 La sucesión de intervalos $I_n=[0,\frac{1}{n}]$, $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$ es una sucesión de intervalos anidados, ya que para cada $n\in \mathbb{N}$ se cumple que $n<n+1$ y por tanto $\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}$, de manera que $I_{n+1}=[0,\frac{1}{n+1}]\subseteq [0,\frac{1}{n}]=I_n$.

Teorema 3.1 (Intervalos anidados) Dada una sucesión de intervalos cerrados y anidados $I_n=[a_n,b_n]$, $n\in \mathbb{N}$, existe un número $a\in \mathbb{R}$ tal que $a\in I_n$ $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$. Además, si el ínfimo de las longitudes $\{b_n-a_n:n\in \mathbb{N}\}$ es $0$, entonces $a$ es único, es decir, ${\cap }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{I}_n=\{a\}$.

Demostración

Prueba. Sea $A=\{a_n:n\in \mathbb{N}\}$ y $B=\{b_n:n\in \mathbb{N}\}$. Puesto que los intervalos están anidados, $A$ está acotado superiormente por $b_1$ ya que $a_n\le b_n\le b_1$ $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$, y $B$ está acotado inferiormente por $a_1$ ya que $a_1\le a_n\le b_n$ $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$. Así pues, como $A$ está acotado superiormente, por el axioma del supremo, existe $a=sup(A)$, y como $B$ está acotado inferiormente, existe $b=inf(B)$.

Veamos ahora que $a\le b$. Para ello basta probar que $a$ es cota inferior de $B$. Para cualquier $n\in \mathbb{N}$ se cumple que si $k\ge n$ entonces $a_k\le b_k\le b_n$ pues $I_n\subseteq I_k$, y si $k<n$, entonces $a_k\le a_n\le b_n$, pues $I_n\subseteq I_k$. Luego $b_n$ es una cota superior de $A$, y por tanto, $a\le b_n$ $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$, de manera que $a$ es cota inferior de $B$. Así pues, como $a$ es cota superior de $A$ e inferior de $B$, se tiene que $a_n\le a\le b_n$ $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$, de manera que $a\in {\cap }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{I}_n$.

De forma similar se puede probar que $b\in {\cap }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{I}_n$, por lo que ${\cap }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{I}_n=[a,b]$.

Finalmente, veamos que si $inf(\{b_n-a_n:n\in \mathbb{N}\})=0$ entonces $a=b$. Para ello, dado $\epsilon >0$, como $inf(\{b_n-a_n:n\in \mathbb{N}\})=0$, existe $k\in \mathbb{N}$ tal que $0\le b_k-a_k<\epsilon$. Como $b\le b_k$ y $a\ge a_k$, se tiene que $0\le b-a\le b_k-a_k<\epsilon$, de donde se deduce que $b-a=0$ y por tanto $a=b$, así que ${\cap }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{I}_n=[a,a]=\{a\}$.

Definición 3.7 (Entorno) Dado un número $a\in \mathbb{R}$, se llama entorno de $a$ a cualquier intervalo abierto $(a-\epsilon ,a+\epsilon )$ con $\epsilon >0$. El número $\epsilon$ se conoce como radio del entorno.

Para cualquier $\epsilon >0$ el conjunto $(a-\epsilon ,a+\epsilon )\setminus \{a\}$ se llama entorno reducido de $a$.

3.2 Clasificación de puntos

Un conjunto $A\subset \mathbb{R}$ clasifica los puntos de $\mathbb{R}$ en tres clases: puntos interiores, puntos exteriores y puntos fronteras de $A$.

Definición 3.8 (Punto interior) Se dice que $a\in \mathbb{R}$ es un punto interior de un conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$, si existe un entorno de $a$ contenido en $A$, es decir, existe $\epsilon >0$ tal que $(a-\epsilon ,a+\epsilon )\subseteq A$.

El conjunto de los puntos interiores de $A$ se llama interior de $A$ y se denota por $\mathrm{Int}(A)$.

Aunque la definición no lo hace explícito, es evidente que si $a$ es un punto interior de $A$ entonces $a\in A$.

Intuitivamente, un punto interior de un conjunto es un punto que no está en el borde del conjunto, es decir, que está rodeado por puntos del conjunto, y por tanto, podemos movernos un poco hacia la izquierda o hacia la derecha del punto sin salirnos del conjunto.

Ejemplo 3.2 $0.9$ es un punto interior del intervalo $(0,1)$ ya que podemos tomar $\epsilon =0.01$ tal que el entorno $(0.9-0.01,0.9+0.01)=(0.89,0.91)\subset (0,1)$.

Sin embargo, $1$ no es un punto interior del intervalo $(0,1)$ ya que por muy pequeño que tomemos $\epsilon >0$, $1+\epsilon >1$ y, por tanto, el entorno $(1-\epsilon ,1+\epsilon )$ siempre tendrá valores mayores que 1, de manera que $(1-\epsilon ,1+\epsilon )⊈(0,1)$.

Definición 3.9 (Punto exterior) Se dice que $a\in \mathbb{R}$ es un punto exterior de un conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$, si existe un entorno de $a$ contenido en el complementario de $A$, es decir, existe $\epsilon >0$ tal que $(x-\epsilon ,x+\epsilon )\subseteq \bar{A}$.

El conjunto de los puntos exteriores de $A$ se llama exterior de $A$ y se denota por $\mathrm{Ext}(A)$.

Una definición equivalente es que un punto es punto exterior de un conjunto si es un punto interior de su complementario.

Ejemplo 3.3 $1.01$ es un punto exterior del conjunto $(-\mathrm{\infty },1)$ ya que tomando $\epsilon =0.001$ el entorno $(1.01-0.001,1.01+0.001)=(1.009,1.011)\in \overline{(-\mathrm{\infty },1)}=[1,\mathrm{\infty })$.

Sin embargo, $1$ no es un punto exterior del intervalo $(-\mathrm{\infty },1)$, ya que no es un punto interior del intervalo $\overline{(-\mathrm{\infty },1)}=[1,\mathrm{\infty })$, ya que $1-\epsilon <1$ $\mathrm{\forall }\epsilon >0$, y, por tanto, el entorno $(1-\epsilon ,1+\epsilon )$ siempre tendrá valores menores que 1, de manera que $(1-\epsilon ,1+\epsilon )⊈[1,\mathrm{\infty })$.

Advertencia

El que un punto no sea punto interior de un conjunto no significa que sea un punto exterior. Por ejemplo, $1$ no es un punto interior del intervalo $(0,1)$, y tampoco de su complementario $\overline{(0,1)}=(-\mathrm{\infty },0]\cup [1,\mathrm{\infty })$.

Definición 3.10 (Punto frontera) Se dice que $a\in \mathbb{R}$ es un punto frontera de un conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$, si cualquier entorno de $a$ contiene puntos de $A$ y de su complementario.

El conjunto de los puntos frontera de $A$ se llama frontera de $A$ y se denota por $\mathrm{Fr}(A)$.

Una definición equivalente es que un punto es un punto frontera de un conjunto si no es un punto interior ni exterior del conjunto.

Ejemplo 3.4 El punto $1$ es un punto frontera del intervalo $[1,\mathrm{\infty })$ ya que no es un punto interior de $[1,\mathrm{\infty })$ ni de su complementario $(-\mathrm{\infty },1)$.

Proposición 3.1 Todos los puntos de un intervalo abierto son puntos interiores suyos, es decir, dado un intervalo abierto $(a,b)\subseteq \mathbb{R}$, se cumple que $\mathrm{Int}((a,b))=(a,b)$.

Demostración

Prueba. Tomemos cualquier punto $x\in (a,b)$, entonces se puede tomar $\epsilon =\frac{min\{|x-a|,|x-b\}}{2}$ de manera que el entorno $(x-\epsilon ,x+\epsilon )\subseteq (a,b)$.

Proposición 3.2 Todos los puntos de un intervalo cerrado, excepto sus extremos, son puntos interiores suyos, es decir, dado un intervalo cerrado $[a,b]\subseteq \mathbb{R}$, se cumple que $\mathrm{Int}([a,b])=(a,b)$.

Demostración

Prueba. Par ver que $a$ no es un punto interior de $[a,b]$, basta con ver que $a-\epsilon <a$ para cualquier $\epsilon >0$, por lo que el intervalo $(a-\epsilon ,a+\epsilon )$ irremediablemente contendrá puntos menores que $a$ y, por tanto, $(a-\epsilon ,a+\epsilon )⊈[a,b]$.

Un razonamiento análogo se puede utilizar para demostrar que $b$ tampoco es un punto interior de $[a,b]$.

A partir de estas proposiciones, es fácil ver que que para cualquier intervalo abierto $(a,b)$, $\mathrm{Int}((a,b))=(a,b)$, $\mathrm{Ext}((a,b))=(-\mathrm{\infty },a)\cup (b,\mathrm{\infty })$ y $\mathrm{Fr}((a,b))=\{a,b\}$. Y para cualquier intervalo cerrado $[a,b]$, $\mathrm{Int}([a,b])=(a,b)$, $\mathrm{Ext}([a,b])=(-\mathrm{\infty },a)\cup (b,\mathrm{\infty })$ y $\mathrm{Fr}([a,b])=\{a,b\}$.

Proposición 3.3 Dado un conjunto $A\subset \mathbb{R}$, los conjuntos $\mathrm{Int}(A)$, $\mathrm{Ext}(A)$ y $\mathrm{Fr}(A)$ forman una partición de $\mathbb{R}$, es decir,

1. $\mathrm{Int}(A)$, $\mathrm{Ext}(A)$ y $\mathrm{Fr}(A)$ son disjuntos entre sí.
2. $\mathrm{Int}(A)\cup \mathrm{Ext}(A)\cup \mathrm{Fr}(A)=\mathbb{R}$.

Demostración

Prueba. Se deja como ejercicio.

A continuación se definen otros tipos de puntos que son útiles para definir conceptos que se verán más adelante como el de límite.

Definición 3.11 (Punto adherente) Se dice que $a\in \mathbb{R}$ es un punto adherente de un conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$, si cualquier entorno de $a$ contiene puntos de $A$.

El conjunto de los puntos adherentes de $A$ se llama adherencia de $A$ y se denota por $\mathrm{Adh}(A)$.

Resulta obvio que cualquier punto interior y frontera de un conjunto es también adherente, y que cualquier punto exterior no es adherente. Resulta evidente también que cualquier punto de un conjunto es un punto adherente, de manera que para cualquier conjunto $A$ se tiene $A\subseteq \mathrm{Adh}(A)$.

Definición 3.12 (Punto de acumulacion) Se dice que $a\in \mathbb{R}$ es un punto de acumulación de un conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$, si cualquier entorno reducido de $a$ contiene puntos de $A$.

El conjunto de los puntos de acumulación de $A$ se llama conjunto derivado de $A$ y se denota por $\mathrm{Ac}(A)$.

Advertencia

Resulta obvio de la definición que cualquier punto de acumulación es también un punto de adherencia, es decir, $\mathrm{Ac}(A)\subseteq \mathrm{Adh}(A)$ para cualquier conjunto $A\subset \mathbb{R}$. Sin embargo no todo punto de adherencia es un punto de acumulación.

Es posible que un conjunto tenga puntos de acumulación que pertenezcan al conjunto y otros que no.

Ejemplo 3.5 Dado el conjunto $A=(0,1)\cup \{2\}$, se tiene que $2$ es un punto de adherencia de $A$, pues para cualquier $\epsilon >0$ el entorno $(2-\epsilon ,2+\epsilon )$ contiene al propio $2$ que es un punto de $A$. Sin embargo, $2$ no es un punto de acumulación, porque para $\epsilon =0.5$, por ejemplo, el entorno reducido $(2-\epsilon ,2+\epsilon )\setminus \{2\}=(1.5,2)\cup (2,2.5)$ no contiene puntos de $A$.

En cambio el punto $0.5$ es tanto un punto de adherencia como un punto de acumulación de $A$ porque para cualquier $\epsilon >0$ el entorno reducido $(0.5-\epsilon ,0.5+\epsilon )\setminus \{0.5\}$ siempre contiene puntos de $A$. De hecho, para cualquier $x\in (a,b)$ y para cualquier $\epsilon >0$, el intervalo $(x-\epsilon ,x+\epsilon )\setminus \{x\}$ contiene puntos de $A$, y lo mismo ocurre para $a$ y $b$ al ser puntos frontera, de manera que $\mathrm{Ac}(A)=[0,1]$, mientras que $\mathrm{Adh}(A)=[0,1]\cup \{2\}$.

Intuitivamente, un punto de acumulación de un conjunto $A$ es un punto para el que podemos encontrar puntos de $A$, distintos de él mismo, tan próximos a él como queramos. Un punto de acumulación se diferencia de un punto de adherencia en que siempre está rodeado por puntos de $A$, mientras que un punto de adherencia puede estar aislado de los demás puntos de $A$.

Definición 3.13 (Punto aislado) Se dice que $a\in \mathbb{R}$ es un punto de aislado de un conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$, si es un punto adherente de $A$, pero no de acumulación.

Proposición 3.4 Para cualquier intervalo abierto $(a,b)$ se tiene que $\mathrm{Adh}((a,b))=\mathrm{Ac}((a,b))=[a,b]$.

Demostración

Prueba. Todos los puntos de $(a,b)$ son interiores y, por tanto, para cualquier $x\in (a,b)$, existe un $\epsilon >0$ tal que $(x-\epsilon ,x+\epsilon )\subseteq (a,b)$. Si ahora tomamos cualquier otro ${\epsilon }^{\prime }>0$, se tiene que $(x-{\epsilon }^{\prime },x+{\epsilon }^{\prime })\setminus \{x\}\cap (x-\epsilon ,x+\epsilon )\ne \mathrm{\varnothing }$, pero como $(x-\epsilon ,x+\epsilon )\subseteq (a,b)$, se concluye que $(x-{\epsilon }^{\prime },x+{\epsilon }^{\prime })\setminus \{x\}\cap (a,b)\ne \mathrm{\varnothing }$, por lo que $x$ es un punto de acumulación de $(a,b)$. Por otro lado, como $a$ y $b$ son puntos frontera, también se tiene que para cualquier $\epsilon >0$, $(a-\epsilon ,a+\epsilon )\cap (a,b)\ne \mathrm{\varnothing }$ y $(b-\epsilon ,b+\epsilon )\cap (a,b)\ne \mathrm{\varnothing }$ de manera que $[a,b]\subseteq \mathrm{Ac}((a,b))\subseteq \mathrm{Adh}((a,b))$. Sea ahora cualquier $x>b$, y tomemos $\epsilon =\frac{|x-b|}{2}$, entonces $(x-\epsilon ,x+\epsilon )\cap (a,b)=\mathrm{\varnothing }$, de manera que $x$ no es un punto de adherencia de $(a,b)$. Del mismo modo se puede probar que si $x<a$, entonces $x$ tampoco es un punto de adherencia de $(a,b)$, por lo que $\mathrm{Adh}((a,b))=[a,b]$ y como $\mathrm{Ac}((a,b))\subseteq \mathrm{Adh}((a,b))$, también se concluye que $\mathrm{Ac}((a,b))=[a,b]$.

Proposición 3.5 Para cualquier conjunto $A\subseteq \mathbb{R}$, se tiene que $\mathrm{Adh}(A)=A\cup \mathrm{Ac}(A)$.

Demostración

Prueba. Ya se ha visto que $A\subseteq \mathrm{Adh}(A)$ y también $\mathrm{Ac}(A)\subseteq \mathrm{Adh}(A)$, por lo que $A\cup \mathrm{Ac}(A)\subseteq \mathrm{Adh}(A)$.

Veamos ahora que $\mathrm{Adh}(A)\subseteq A\cup \mathrm{Ac}(A)$. Sea $x$ un punto de adherencia de $A$. Si $x\in A$ es obvio que $x\in A\cup \mathrm{Ac}(A)$, y si $x\notin A$, entonces $x\in \mathrm{Ac}(A)$, ya que, por ser $x$ punto de adherencia de $A$, para cualquier $\epsilon >0$, $(x-\epsilon ,x+\epsilon )\cap A\ne \mathrm{\varnothing }$, pero como además $x\notin A$, también se cumple que el entorno reducido $(x-\epsilon ,x+\epsilon )\setminus \{x\}$ contiene puntos de $A$. Así pues, $x\in A\cup \mathrm{Ac}(A)$, y por tanto $\mathrm{Adh}(A)\subseteq A\cup \mathrm{Ac}(A)$.

3.3 Conjuntos abiertos y cerrados

A continuación se generaliza la característica que diferencia los intervalos abiertos y cerrados, a cualquier conjunto.

Definición 3.14 (Conjunto abierto) Se dice que un conjunto $A\subset \mathbb{R}$ es abierto cuando para cada $a\in A$ existe un entorno de $a$ contenido en $A$, es decir, existe $\epsilon >0$ tal que $(a-\epsilon ,a+\epsilon )\subset A$.

Importante

Obsérvese que un conjunto es abierto si todos sus puntos son interiores.

Ejemplo 3.6 Cualquier intervalo abierto $(a,b)$ es un conjunto abierto, ya que según se vio en la Proposición 3.1 $\mathrm{Int}((a,b))=(a,b)$. Por otro lado, un intervalo cerrado $[a,b]$ no es un conjunto abierto pues cualquier entorno de $a$ o $b$ no está contenido en $[a,b]$.

Una colección de conjuntos abiertos se llama topología y cualquier propiedad que pueda definirse en términos de conjuntos abiertos se llama propiedad topológica.

Definición 3.15 (Conjunto cerrado) Se dice que un conjunto $A\subset \mathbb{R}$ es cerrado cuando su complementario $\bar{A}=\mathbb{R}\setminus A$ es abierto.

Ejemplo 3.7 Todo intervalo cerrado $[a,b]$ es cerrado, pues su complementario $(-\mathrm{\infty },a)\cup (b,\mathrm{\infty })$ es abierto.

Advertencia

Un subconjunto puede ser abierto y cerrado a la vez, como por ejemplo $\mathbb{R}$ y $\mathrm{\varnothing }$. $\mathbb{R}$ es abierto ya que todos sus puntos son interiores, y por tanto $\bar{\mathbb{R}}=\mathrm{\varnothing }$ es cerrado. Pero, también $\mathrm{\varnothing }$ es abierto, ya que para que un conjunto no sea abierto, al menos uno de sus puntos no debe ser interior, y en consecuencia $\bar{\mathrm{\varnothing }}=\mathbb{R}$ es también cerrado.

Un subconjunto también puede no ser abierto ni cerrado, como por ejemplo $(a,b]$, ya que $b$ no es un punto interior de $(a,b]$, y $a$ no es un punto interior de $\overline{(a,b]}=(-\mathrm{\infty },a]\cup (b,\mathrm{\infty })$. Por tanto, no abierto no implica cerrado y no cerrado no implica abierto.

Proposición 3.6 Se cumplen las siguientes propiedades:

1. La unión de una colección de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.
2. La intersección de una colección finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto.
3. La intersección de una colección de conjuntos cerrados es cerrada.
4. La unión de una colección finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado.

Demostración

Prueba. Se deja como ejercicio.

Advertencia

La intersección de una colección infinita de conjuntos abiertos puede no ser un conjunto abierto, como por ejemplo la colección de conjuntos $I_n=(0,1+\frac{1}{n})$, $n\in \mathbb{N}$, ya que ${\cap }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{I}_n=(0,1]$.

Y la unión de una colección infinita de conjuntos cerrados puede no ser cerrada, como por ejemplo la colección de conjuntos $J_n=[\frac{1}{n},1]$, $n\in \mathbb{N}$, ya que ${\cup }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{J}_n=(0,1]$.

Teorema 3.2 (Existencia del máximo y mínimo) Cualquier conjunto no-vacío, cerrado y acotado superiormente tiene un máximo, y cualquier conjunto no-vacío, cerrado y acotado inferiormente tiene un mínimo.

Demostración

Prueba. Sea $A$ un conjunto no vacío, cerrado y acotado superiormente. Como $A$ está acotado superiormente, por el axioma del supremo, existe $s=sup(A)$. Probaremos que $s\in A$ por reducción al absurdo. Supongamos que $s\notin A$, entonces $s\in \bar{A}$, y como $\bar{A}$ es abierto al ser $A$ cerrado, existe un $\epsilon >0$ tal que $(s-\epsilon ,s+\epsilon )\subseteq \bar{A}$. Como ningún elemento de $A$ puede ser mayor que $s$ y $(s-\epsilon ,s+\epsilon )⊈A$, se tiene que $s-\epsilon$ es también una cota superior de $A$, pero $s-\epsilon <s$, lo que contradice que $s$ sea el supremo de $A$. Así, pues $s\in A$, y por tanto es el máximo de $A$.

De manera análoga se prueba que si $A$ un conjunto no vacío, cerrado y acotado inferiormente, $A$ tiene mínimo.

Teorema 3.3 (Bolzano-Weierstrass) Todo subconjunto infinito de $\mathbb{R}$ acotado tiene al menos un punto de acumulación.

Demostración

Prueba. Para demostrar el teorema construiremos una sucesión de intervalos cerrados y anidados y aplicaremos el Teorema 3.1.

Sea $A\subset \mathbb{R}$ un subconjunto infinito y acotado. Como $A$ está acotado, existe un intervalo cerrado tal que $A\subset I_1=[a_1,b_1]$. Si $I_1$ se divide en dos intervalos $[a_1,\frac{a_1+b_1}{2}]$ y $[\frac{a_1+b_1}{2},b_1]$, al menos uno de estos intervalos tendrá infinitos puntos de $A$, ya que de lo contrario $A$ sería finito. Sea $I_2=[a_2,b_2]$ cualquiera de los dos intervalos que tenga infinitos puntos de $A$. Si $I_2$ se divide en dos intervalos $[a_2,\frac{a_2+b_2}{2}]$ y $[\frac{a_2+b_2}{2},b_2]$, al menos uno de estos intervalos tendrá infinitos puntos de $A$, ya que de lo contrario $A$ sería finito. Sea $I_3=[a_3,b_3]$ cualquiera de los dos intervalos que tenga infinitos puntos de $A$. Siguiendo la misma lógica, se puede construir una sucesión de intervalos anidados $I_1\supset I_2\supset I_3\supset \cdots$, con tamaños $\frac{b_1-a_1}{2^{n-1}}$. Como $inf\{\frac{b_1-a_1}{2^{n-1}}:n\in \mathbb{N}\}=0$, aplicando el Teorema 3.1, existe un único $a\in \mathbb{R}$ tal que ${\cap }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{I}_n=\{a\}$.

Veremos ahora que $a$ es un punto de acumulación de $A$. Para cualquier $\epsilon >0$, considérese el entorno reducido de $a$ $(a-\epsilon ,a+\epsilon )\setminus \{a\}$. Como $inf\{\frac{b_1-a_1}{2^{n-1}}:n\in \mathbb{N}\}=0$, existe $m\in \mathbb{N}$ tal que $\frac{b_1-a_1}{2^{m-1}}<\epsilon$, y por tanto $I_m\subset (a-\epsilon ,a+\epsilon )$, y como $I_m$ contiene infinitos puntos de $A$, el entorno reducido $a$ también contiene puntos de $A$, por lo que $a$ es un punto de acumulación de $A$.

Teorema 3.4 Cualquier subconjunto de $\mathbb{R}$ es cerrado si y sólo si contiene a todos sus puntos de acumulación.

Demostración

Prueba. Sea $A\subset \mathbb{R}$ un conjunto cerrado y sea $a\in \mathbb{R}$ un punto de acumulación de $A$. Veamos por reducción al absurdo que $a\in A$.

Supongamos que $a\notin A$, entonces $a\in \bar{A}$. Como $A$ es cerrado, $\bar{A}$ es abierto y existe un $\epsilon >0$ tal que el entorno $(a-\epsilon ,a+\epsilon )\subset \bar{A}$, pero entonces $(a-\epsilon ,a+\epsilon )\cap A=\mathrm{\varnothing }$, lo que contradice que $a$ sea punto de acumulación de $A$.

Veremos ahora el otro sentido de la implicación. Sea $A$ un conjunto que contiene todos sus puntos de acumulación. Sea $x\in \bar{A}$, entonces $x\notin A$ y por tanto no es un punto de acumulación de $A$ y existe un $\epsilon >0$ tal que el entorno propio de $x$ $(x-\epsilon ,x+\epsilon )\setminus \{x\}\cap A=\mathrm{\varnothing }$. Como $(x-\epsilon ,x+\epsilon )\setminus \{x\}\subset \bar{A}$ y $x\in \bar{A}$ se concluye que $(x-\epsilon ,x+\epsilon )\subset \bar{A}$, de manera que $\bar{A}$ es abierto y $A$ es cerrado.