13 Integrales de funciones de varias variables
En este capítulo extendemos el concepto de integral de Riemann visto en el capítulo de integrales a funciones de varias variables, en particular en \(\mathbb{R}^2\) y \(\mathbb{R}^3\) donde las integrales múltiples tienen multitud de aplicaciones en Ciencias e Ingenierías.
También veremos que el Teorema Fundamental del Cálculo sigue siendo válido y que el cálculo de integrales con respecto a una variable es el proceso inverso del cálculo de la derivada parcial con respecto a esa misma variable.
13.1 Sumas de Riemann
Las sumas de Riemann que se introdujeron en la Sección 8.1 pueden generalizarse fácilmente a funciones de varias variables, pero primero debemos generalizar el concepto de intervalo cerrado en \(\mathbb{R}^n\).
Definición 13.1 (Intervalo \(n\) dimensional) Dados \(n\) intervalos cerrados de \(\mathbb{R}\) \(I_i=[a_i,b_i]\) \(i=1\ldots n\), su producto cartesiano \(I = I_1\times \cdots \times I_n\) se conoce como intervalo \(n\) dimensional cerrado o hiperrectángulo.
En \(\mathbb{R}^2\), el intervalo \([a_x,b_x]\times [a_y,b_y]\) define un rectángulo, mientras que en \(\mathbb{R}^3\) el intervalo \([a_x,b_x]\times [a_y,b_y]\times [a_z,b_z]\) define una caja.
Definición 13.2 (Partición de un intervalo \(n\) dimensional) Dado un intervalo \(n\) dimensional cerrado \(I=I_1\times\cdots\times I_n\), con \(I_i=[a_i,b_i]\) \(i=1,\ldots,n\), y una partición \(P_i=\{x_{i,0}=a_i,x_{i,1}\ldots,x_{i,m_i}\}\) de cada intervalo \(I_i\), el producto cartesiano \(P=P_1\times\cdots\times P_n\) se conoce como partición \(n\) dimensional de \(I\).
El conjunto de todas las particiones \(n\) dimensionales de \(I\) se denota \(\mathcal{P}(I)\).
Definición 13.3 (Sumas de Riemann) Dada una función \(f:I\to \mathbb{R}\) acotada en el intervalo \(n\) dimensional \(I\subset \mathbb{R}^n\) y una partición \(n\) dimensional \(P\) de \(I\), se define la suma inferior de Riemann de \(f\) respecto de \(P\), y se denota \(s(f,P)\), como
\[ s(f,P) = \sum_{i_1=1}^{m_1}\cdots \sum_{i_n=1}^{m_n} m_{i_1,\ldots,i_n} (x_{1,i_1}-x_{1,i_1-1})\cdots (x_{n,i_n}-x_{n,i_n-1}), \]
donde \(m_{i_1,\ldots,i_n} = \inf\{f(x_1,\ldots,x_n): x_j\in[x_{j,i_j-1}, x_{j,i_j}]\ \forall j=1,\ldots, n\}\).
Del mismo modo, se define la suma superior de Riemann de \(f\) respecto de \(P\), y se denota \(S(f,P)\), como
\[ S(f,P) = \sum_{i_1=1}^{m_1}\cdots \sum_{i_n=1}^{m_n} M_{i_1,\ldots,i_n} (x_{1,i_1}-x_{1,i_1-1})\cdots (x_{n,i_n}-x_{n,i_n-1}), \]
donde \(M_{i_1,\ldots,i_n} = \sup\{f(x_1,\ldots,x_n): x_j\in[x_{j,i_j-1}, x_{j,i_j}]\ \forall j=1,\ldots, n\}\).
Aunque la definición es un poco enrevesada para \(\mathbb{R}^n\), si \(f(x,y)\) es una función de dos variables acotada en el intervalo \(I=[a,b]\times [c,d]\subset \mathbb{R}^2\), y \(P=P_x\times P_y\) es una partición de \(I\) con \(P_x=\{x_0=a,x_1,\ldots, x_n=b\}\) y \(P_x=\{y_0=c,y_1,\ldots, y_m=d\}\), las sumas de Riemann inferior y superior de \(f\) respecto de \(P\) son
\[\begin{align*} s(f,P) &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m m_{ij}(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1}), \\ S(f,P) &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m M_{ij}(x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1}), \end{align*}\]
donde \(m_{ij}\) y \(M_{ij}\) son el ínfimo y el supremo de \(\{f(x,y): (x,y)\in [x_{i-1},x_i]\times [y_{j-1},y_j]\}\).
Gráficamente, si \(f(x,y)\) es una función positiva en \(I\), la suma inferior se puede interpretar como la suma de los volúmenes de los prismas de base rectangular con lados \([x_{i-1},x_i]\) y \([y_{j-1},y_j]\) y altura \(m_{ij}\).
Ejemplo 13.1 Veamos cómo calcular las sumas de Riemann de la función \(f(x,y)=x^2y\) en el rectángulo \([0,1]\times [0,1]\) para la partición \(P=\{0, 0.5, 1\}\times \{0, 0.5, 1\}\)
Esta partición descompone el intervalo bidimensional \([0,1]\times [0,1]\)$ en \(4\) rectángulos (en realidad cuadrados) como los que se ven la siguiente figura.
Como \(f\) es creciente tanto en \(x\) como en \(y\) en el intervalo \(I\), alcanzará el mínimo en el extremo inferior izquierdo de cada subintervalo y el máximo en el extremo superior derecho. Por tanto, la suma inferior de Riemann es
\[\begin{align*} s(f,P) &= f(0,0)(0.5-0)(0.5-0) + f(0,0.5)(0.5-0)(1-0.5) \\ &+ f(0.5,0)(1-0.5)(0.5-0) + f(0.5, 0.5)(1-0.5)(1-0.5) \\ &= 0\cdot 0.25 + 0 \cdot 0.25 + 0 \cdot 0.25 + 0.125 \cdot 0.25 = 0.03125. \end{align*}\]
Y la suma superior de Riemann es
\[\begin{align*} S(f,P) &= f(0.5,0.5)(0.5-0)(0.5-0) + f(0.5,1)(0.5-0)(1-0.5) \\ &+ f(1,0.5)(1-0.5)(0.5-0) + f(1, 1)(1-0.5)(1-0.5) \\ &= 0.125\cdot 0.25 + 0.25 \cdot 0.25 + 0.5 \cdot 0.25 + 1 \cdot 0.25 = 0.46875. \end{align*}\]
13.2 Integral de Riemann múltiple
Cuando la función \(f(x,y)\) es positiva en el intervalo \(I\), la suma inferior de Riemann nos da una aproximación por defecto del volumen encerrado entre la superficie de la función y el plano \(xy\) en la región definida por \(I\), mientras que la suma superior de Riemann nos da una aproximación por exceso. Al hacer refinamientos de la partición \(P\), cada vez con mayor número de subintervalos, las sumas inferiores crecen y las superiores decrecen, dando aproximaciones cada vez mejores, de manera que en el límite, cuando el número de subintervalos tiende a \(\infty\), obtendremos el volumen real.
Definición 13.4 (Integral inferior y superior de Riemann) Dada una función \(f:I\to \mathbb{R}\) acotada en el intervalo \(n\) dimensional \(I\subset \mathbb{R}^n\) y una partición \(n\) dimensional \(P\) de \(I\), se define la integral inferior de Riemann de \(f\) en \(I\), como
\[ \underline{\int_I} f = \sup\{s(f,P): P\in\mathcal{P}(I)\}. \]
Y se define la integral superior de Riemann de \(f\) en \(I\), como
\[ \overline{\int_I} f = \inf\{S(f,P): P\in\mathcal{P}(I)\}. \]
Definición 13.5 Dada una función \(f:I\to \mathbb{R}\) acotada en el intervalo \(n\) dimensional \(I\subset \mathbb{R}^n\), se dice que \(f\) es integrable Riemann en \(I\) si
\[ \underline{\int_I} f = \overline{\int_I}f, \]
y a este valor se le llama integral de Riemann o integral definida de \(f\) en \(I\) y se denota por
\[ \int_I f \quad \mbox{o bien} \quad \int_I f(x_1,\ldots,x_n)\,dA, \] donde \(dA = dx_1\cdots dx_n\).
Proposición 13.1 Si \(f:I\to \mathbb{R}\) es integrable Riemann en el intervalo \(n\) dimensional \(I\subset \mathbb{R}^n\), entonces
\[ \int_I f = \lim_{m\to \infty} \sum_{i_1=1}^m\cdots \sum_{i_n=1}^m f(x_{1,i_1},\ldots, x_{n,i_n})\Delta A, \]
donde \(P\) es una partición de \(I\) en \(m^n\) subintervalos de igual tamaño y \(\Delta A = (x_{1,i_1}-x_{1,i_1-1})\cdots (x_{n,i_n}-x_{n,i_n-1})\) es el hipervolumen de los subintervalos de la partición.
En el caso de una función de dos variables \(f(x,y)\) la proposición anterior establece que si \(f\) es integrable Riemann en un intervalo \([a,b]\times [c,d]\), entonces
\[ \int_I f = \lim_{n\to \infty}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n f(x_i, yj)\Delta A, \]
donde \(P_n = \{x_0=a,x_1,\ldots,x_n=b\}\times \{y_0=c,y_1,\ldots,y_n=d\}\) y \(\Delta A = (x_i-x_{i-1})(y_j-y_{j-1})\), es el área de los rectángulos definidos por cada subintervalo de la partición. Es decir, la integral de Riemann aparece al tomar particiones cada vez más refinadas con subintervalos de igual tamaño y hacer la suma de las áreas de los subintervalos multiplicadas por el valor de la función en el extremo superior derecho del subintervalo.
Cuando se quieren hacer explícitas las variables de las que depende la función \(f\), la integral de Riemann se suele escribir
\[ \int_{I} f(x,y) \,dx\,dy \]
para funciones de dos variables y
\[ \int_{I} f(x,y,z) \,dx\,dy\,dz \]
para funciones de tres variables.
13.3 Propiedades de las Integrales de Riemann múltiples
Las propiedades de la integral de Riemann para funciones de una variable también se pueden generalizar para integrales de Riemann múltiples.
Teorema 13.1 Si \(f,g:I\to\mathbb{R}\) son dos funciones integrables Riemann en un intervalo \(n\) dimensional \(I\), entonces
\(f+g\) es integrable Riemann en \(I\) y \(\int_I (f+g) = \int_I f + \int_I g.\)
Para cualquier \(c\in\mathbb{R}\), \(cf\) es integrable Riemann en \(I\) y \(\int_I cf = c\int_I f\).
Si \(f(x_1,\ldots,x_n) \leq g(x_1,\ldots,x_n)\) \(\forall (x_1,\ldots,x_n)\in I\), entonces \(\int_I f \leq \int_I g\).
Prueba. La demostración es similar a la vista para funciones de una variable y se deja como ejercicio.
13.4 Integrales múltiples iteradas
El cálculo de integrales de Riemann tomando límites de sumas de Riemann resulta poco operativo en la práctica, pero afortunadamente, podemos utilizar el teorema fundamental del cálculo para calcular integrales de manera mucho más rápida y sencilla. En esta sección veremos como calcular integrales dobles y triples como integrales iteradas, que se pueden calcular realizando varias integrales simples.
El procedimiento para reducir el cálculo de una integral múltiple al cálculo de varias integrales simples es, en el fondo, el mismo que se utilizó para calcular derivadas parciales, es decir, realizar integrales simples de las funciones parciales que se obtienen al fijar como constantes todas las variables excepto aquella con respecto a la que se integra.
Veamos el procedimiento para una función de dos variables. Supongamos que \(f(x,y)\) es integrable Riemann en el intervalo \(I=[a,b]\times [c,d]\). Si mantenemos \(x\) constante, podemos calcular la integral definida simple con respecto a \(y\) en el intervalo \([c,d]\), es decir, \(\int_c^d f(x,y)\, dy\). Para cada valor de \(x\), esta integral tomará un valor distinto, por lo que podemos definir la función
\[ A(x) = \int_c^d f(x,y)\,dy, \]
que solo depende de \(x\). Si ahora se integra esta función con respecto a \(x\) en el intervalo \([a,b]\), se tiene
\[ \int_a^b A(x)\,dx = \int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx. \]
Esta integral se conoce como integral doble iterada, primero con respecto a \(y\) y después con respecto a \(x\).
De manera similar, podríamos haber integrado primero con respecto a \(x\) y luego con respecto a \(y\), y tendríamos esta otra integral doble iterada
\[ \int_c^d\int_a^b f(x,y)\,dx\,dy. \]
El siguiente teorema establece que una integral múltiple se puede calcular mediante integrales iteradas.
Teorema 13.2 (Fubini) Si \(f(x,y)\) es una función continua en un intervalo \(I=[a,b]\times [c,d]\), entonces
\[ \int_I f(x,y)\, dA = \int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx = \int_c^d\int_a^b f(x,y)\,dx\,dy. \]
Prueba. Daremos una demostración intuitiva. Si \(f\) es positiva, la integral doble es el volumen del sólido encerrado entre la superficie de \(f\) y en plano \(xy\) en el intervalo \(I=[a,b]\times [c,c]\). Si fijamos el valor de \(x\) a un valor constante \(x_0\in[a,b]\) e intersecamos este sólido con el plano \(x=x_0\), se obtiene una región plana cuya área se puede calcular mediante la integral
\[ \int_c^d f(x_0,y)\,dy \]
De esta manera, para cada \(x\in[a,b]\) la función
\[ A(x) = \int_c^d f(x,y)\,dy \]
nos dará el área de la región plana que se obtiene de la intersección del sólido con el plano que pasa por \(x\) y es perpendicular al eje \(x\). Por tanto, si integramos estas áreas con respecto a \(y\) en el intervalo \([c,b]\),
\[ \int_a^b A(x)\,dx = \int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx \]
obtendremos el volumen del sólido, tal y como se vió en la Sección 8.8.
El mismo razonamiento se puede usar cambiando el orden de integración.
Ejemplo 13.2 La integral doble de la función \(f(x,y)=12-2x-y^2\) en el intervalo \(I=[0,1]\times[0,3]\) es
\[\begin{align*} \int_I f(x,y)\, dA &= \int_0^1 \int_0^3 12-2x-y^2 \,dy\,dx = \int_0^1 \left[12y-2xy-\frac{y^3}{3}\right]_0^3\,dx \\ &= \int_0^1 36-6x-\frac{3^3}{3}\, dx = \int_0^1 27-6x\,dx \\ &= [27x-3x^2]_0^1 = 27-3 = 24. \end{align*}\]
Podríamos haber llegado a este mismo resultado haciendo la otra integral iterada
\[\begin{align*} \int_I f(x,y)\, dA &= \int_0^3 \int_0^1 12-2x-y^2 \,dx\,dy = \int_0^3 \left[12x-x^2-xy^2\right]_0^1\,dy \\ &= \int_0^3 12-1-y^2\, dy = \int_0^3 11-y^2\,dy \\ &= \left[11y-\frac{y^3}{3}\right]_0^3 = 33 - \frac{3^3}{3} = 24. \end{align*}\]
Aunque cuando la función es integrable Riemann el orden de integración de las integrales iteradas no importa, a menudo, una integral iterada suele ser más fácil de calcular que la otra.
Ejemplo 13.3 Para calcular la integral de la función \(f(x,y) = xe^{xy}\) en el intervalo \(I=[0,1]\times [0,1]\), si primero integramos con respecto a \(y\) y después con respecto a \(x\) se tiene
\[\begin{align*} \int_I f(x,y)\, dA &= \int_0^1 \int_0^1 xe^{xy}\,dy\,dx = \int_0^1 \left[e^{xy}\right]_0^1 \\ &= \int_0^1 e^x-1\,dx = [e^x-x]_0^1 = e - 2. \end{align*}\]
Sin embargo, si primero integramos con respecto a \(x\) y luego con respecto a \(y\) se tiene una integral mucho más difícil de calcular.
Calculadora de sumas de Riemann
En el caso de que \(f(x,y)\) pueda factorizarse como producto de funciones que sólo dependen de \(x\) o de \(y\), entonces el cálculo de la integral doble se simplifica.
Proposición 13.2 Si \(f(x,y)=g(x)h(y)\) es integrable Riemann en el intervalo \(I=[a,b]\times [c,d]\), entonces
\[ \int_I f(x,y)\, dA = \int_a^b g(x)\,dx \int_c^d h(y)\,dy. \]
Prueba. \[\begin{align*}
\int_I f(x,y)\, dA
&= \int_a^b\int_c^d f(x,y)\,dy\,dx
= \int_a^b\int_c^d g(x)h(y)\,dy\,dx \\
&= \int_a^b g(x)\int_c^d h(y)\,dy\,dx \tag{1} \\
&= \int_c^d h(y)\,dy \int_a^b g(x)\,dx \tag{2}.
\end{align*}\] (1) \(g(x)\) no depende de \(y\).
(2) \(\int_c^d h(y)\,dy\) no depende de \(x\).
Ejemplo 13.4 La integral doble de la función \(f(x,y) = e^{2x-3y}\) en el intervalo \(I=[0,1]\times [0,2]\) es
\[\begin{align*} \int_I e^{2x-3y} \,dx\,dy &= \int_I e^{2x}e^{-3y} \,dx\,dy = \int_0^1 e^{2x}\,dx\, \int_0^2 e^{-3y}\,dy \\ &= \left[\frac{e^{2x}}{2}\right]_0^1\, \left[\frac{-e^{-3y}}{3}\right]_0^2 = \left(\frac{e^2}{2}-\frac{1}{2}\right)\left(\frac{-e^6}{3}+\frac{1}{3}\right) \end{align*}\]
13.5 Integrales sobre regiones no regulares
En muchos problemas reales, como por ejemplo en el cálculo de volúmenes, la región de integración no es un integración no es un intervalo \(n\) dimensional o hiperrectángulo, sino una región no regular, es decir, con fronteras curvas. En esta sección veremos cómo calcular integrales dobles de funciones de dos variables para algunos tipos de regiones irregulares acotadas del plano \(xy\).
En general, la integral de Riemann de una función \(f\) sobre un intervalo \(n\) dimensional puede extenderse a una región irregular acotada \(R\) simplemente tomando un intervalo \(n\) dimensional \(I\) que incluya la región, es decir \(R\subseteq I\) y redefiniendo \(f\) como
\[ F(x_1,\ldots,x_n) = \begin{cases} f(x_1,\ldots,x_n) & \mbox{si $(x,1,\ldots,x_n)\in R$}\\ 0 & \mbox{si $(x,1,\ldots,x_n)\in I\setminus R$} \end{cases} \].
y calculando la integral de Riemann de \(F\) sobre \(I\) como se ha visto en la sección anterior, es decir,
\[ \int_{R} f(x_1,\ldots,x_n)\,dA = \int_{I} F(x_1,\ldots,x_n)\,dA. \]
Este procedimiento tiene sentido siempre que \(f\) sea continua sobre la frontera de la región \(R\), ya que el valor de \(F\) en los puntos que están fuera de la región \(R\) es \(0\), y por tanto, no contribuyen la suma de la integral.
En el caso de funciones de dos variables, existen varios tipos de regiones en el plano \(xy\) donde la integral de Riemann se puede calcular mediante integrales iteradas donde los límites de integración dependen de funciones que delimitan la región de integración.
Si \(R\) es una región del plano \(xy\) delimitada por las gráficas de dos funciones \(g_1(x)\) y \(g_2(x)\), es decir,
\[ R = \{(x,y): a\leq x \leq b, g_1(x)\leq y \leq g_2(x)\}, \]
la integral de Riemann \(f\) sobre esta región se puede calcular mediante la integral iterada
\[ \int_{R} f(x,y)\,dA = \int_a^b \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y)\,dy\,dx. \]
Del mismo modo, si \(R\) es una región del plano \(xy\) delimitada por las gráficas de dos funciones \(g_1(y)\) y \(g_2(y)\), es decir,
\[ R = \{(x,y): g_1(y)\leq x \leq g_2(y), a\leq y\leq b\}, \]
la integral de Riemann \(f\) sobre esta región se puede calcular mediante la integral iterada
\[ \int_{R} f(x,y)\,dA = \int_a^b \int_{g_1(y)}^{g_2(y)} f(x,y)\,dx\,dy. \]
Ejemplo 13.5 Veamos cómo calcular la integral doble de la función \(f(x,y)=xy\) sobre la región encerrada entre las curvas \(y=x\) e \(y=x^2\). La región encerrada entre las curvas se muestra en el siguiente gráfico.
Esta región puede expresarse como \(R=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: 0\leq x\leq 1, x^2\leq y\leq x\}\), por lo que la integral doble de \(f\) sobre esta región puede calcularse mediante la integral iterada
\[\begin{align*} \int_0^1\int_{x^2}^x xy\,dy\,dx &= \int_0^1 \left[x\frac{y^2}{2}\right]_{x^2}^x\,dx = \int_0^1 x\frac{x^2-x^4}{2}\,dx = \int_0^1 \frac{x^3-x^5}{2}\,dx\\ &= \left[\frac{x^4}{8}-\frac{x^6}{12}\right]_0^1 = \frac{1}{8}-\frac{1}{12} = \frac{1}{24}. \end{align*}\]
En este caso, la región también puede expresarse como \(R=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: y\leq x\leq \sqrt{y}, 0\leq y\leq 1\}\), por lo que la integral doble de \(f\) sobre esta región también puede calcularse mediante la integral iterada
\[\begin{align*} \int_0^1\int_y^{\sqrt{y}} xy\,dx\,dy &= \int_0^1 \left[\frac{x^2}{2}y\right]_y^{\sqrt{y}}\,dy = \int_0^1 \frac{y-y^2}{2}y\,dy = \int_0^1 \frac{y^2-y^3}{2}\,dx\\ &= \left[\frac{y^3}{6}-\frac{y^4}{8}\right]_0^1 = \frac{1}{6}-\frac{1}{8} = \frac{1}{24}. \end{align*}\]
En este tipo de integrales iteradas, hay que integrar siempre primero con respecto a la variable que está acotada por las funciones que definen la región y después con respecto a la variable que está acotada por valores fijos. Cuando interese realizar la integral iterada en el otro orden, porque resulte más sencilla, previamente hay que cambiar la expresión de la región de integración mediante las funciones inversas, siempre y cuando sea posible.
Ejemplo 13.6 Para calcular la integral de la función \(f(x,y)=e^{-y^2}\) en la región \(R=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: 0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq 2x\}\), como \(y\) está acotada por una función de \(x\), habría que hacer la integral iterada
\[ \int_0^1\int_0^{2x} e^{-y^2}\,dy\,dx. \]
Sin embargo, la función \(e^{-y^2}\) no tiene primitiva elemental, por lo que necesariamente hay que realizar la integral iterada en el otro orden, pero para ello previamente hay que expresar la región como \(R=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: 0\leq x\leq \frac{y}{2}, 0\leq y\leq 2\}\), con lo que la integral doble sobre esta región es
\[\begin{align*} \int_0^2\int_0^{y/2} e^{-y^2}\,dx\,dy &= \int_0^2 e^{-y^2}[x]_0^{y/2}\,dy = \int_0^2 e^{-y^2}\frac{y}{2}\,dy \\ &= \left[\frac{-e^{-y^2}}{4}\right]_0^2 = \frac{-e^{-4}+1}{4}. \end{align*}\]
13.6 Integrales dobles en coordenadas polares
Al que igual que se vio en la Sección 8.6.3, para integrar determinadas funciones es preferible hacer un cambio a coordenadas polares. Recordemos que para pasar de coordenadas cartesianas \((x,y)\) a coordenadas polares \((r,\theta)\) se utilizan las fórmulas
\[ r = \sqrt{x^2 + y^2} \qquad \theta = \operatorname{arcsin}\left(\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right) = \operatorname{arccos}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\right), \]
y para pasar de coordenadas polares a cartesianas se utiliza la fórmula
\[ x = r\cos(\theta) \qquad y = r\operatorname{sen}(\theta). \]
En coordenadas polares un intervalo bidimensional \(I=[a,b]\times[\alpha,\beta]\) define un sector de disco como el que se muestra a continuación.
Si la función \(f(x,y)\) es continua sobre un intervalo polar \(I=[a,b]\times[\alpha,\beta]\) con \(\beta-\alpha\leq 2\pi\), la integral doble de \(f\) sobre esta región se puede calcular mediante la integral iterada
\[ \int_I f(x,y)\,dA = \int_{\alpha}^{\beta}\int_a^b f(r\cos(\theta),r\operatorname{sen}{\theta})r\,dr\,d\theta. \]
Ejemplo 13.7 La gráfica de la función \(f(x,y)=\sqrt{a^2-x^2-y^2}\) es una semiesfera de radio uno centrada en el origen de coordenadas. Para calcular su volumen, la región de integración es el círculo de radio uno centrado en el origen de coordenadas, que puede expresarse como \(R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: 0\leq x\leq 1, -\sqrt{a^2-x^2}\leq y\leq \sqrt{a^2-x^2}\}\). En este caso la integral en coordenadas rectangulares es complicada y merece la pena hacer la integral en coordenadas polares.
\[\begin{align*} \int_I f(x,y)\,dA &= \int_0^{2\pi}\int_0^a f(r\cos(\theta),r\operatorname{sen}{\theta})r\,dr\,d\theta \\ &= \int_0^{2\pi}\int_0^a \sqrt{a^2-(r\cos(\theta))^2-(r\operatorname{sen}(\theta))^2}r\,dr\,d\theta \\ &= \int_0^{2\pi}\int_0^a \sqrt{a^2-r^2(\cos(\theta)^2+\operatorname{sen}(\theta)^2)}r\,dr\,d\theta \\ &= \int_0^{2\pi}\int_0^a \sqrt{a^2-r^2}r\,dr\,d\theta = \int_0^{2\pi} -\left[\frac{(a^2-r^2)^{3/2}}{3}\right]_0^a\,d\theta \\ &= \int_0^{2\pi} \frac{a^2}{3}\,d\theta = \left[\frac{a^2\theta}{3}\right]_0^{2\pi} = \frac{2\pi a^2}{3}. \end{align*}\]
Y por tanto, el volumen de la esfera de radio uno centrada en el origen es \(\frac{4}{3}\pi a^2\), que coincide con la fórmula habitual.
Cuando la región de integración es irregular pero puede expresarse de la forma \(R=\{(r,\theta)\in \mathbb{R}^+\times \mathbb{R}: \alpha\leq \theta\leq \beta, g_1(\theta)\leq r\leq g_2(\theta)\}\), la integral doble en coordenadas polares puede calcularse mediante la integral iterada
\[ \int_R f(x.y)\,dA = \int_{\alpha}^{\beta} \int_{g_1(\theta)}^{g_2(\theta)} f(r\cos(\theta),r\operatorname{sen}(\theta))r\,dr\,d\theta. \]
Ejemplo 13.8 Veamos cómo calcular el volumen encerrado entre la gráfica integral del paraboloide \(f(x,y)=x^2+y^2\) y el plano \(xy\) sobre la circunferencia de ecuación \(x^2+(y^2-1)=1\). En coordenadas polares, la circunferencia que delimita la región de integración puede escribirse como \(R=\{(r,\theta)\in \mathbb{R}^+\times \mathbb{R}: 0\leq \theta\leq \pi, 0\leq r\leq 2\operatorname{sen}(\theta)\}\). Por tanto, podemos calcular la integral de \(f\) sobre la región \(R\) mediante la integral iterada
\[\begin{align*} \int_R f(x,y)\,dA &= \int_0^\pi \int_0^{2\operatorname{sen}(\theta)} f(r\cos(\theta),r\operatorname{sen}{\theta})r\,dr\,d\theta \\ &= \int_0^\pi \int_0^{2\operatorname{sen}(\theta)} ((r\cos(\theta))^2 + (r\operatorname{sen}{\theta})^2)r\,dr\,d\theta \\ &= \int_0^\pi \int_0^{2\operatorname{sen}(\theta)} r^3\,dr\,d\theta = \int_0^\pi \left[\frac{r^4}{4}\right]_0^{2\operatorname{sen}(\theta)} \,d\theta \\ &= \int_0^\pi 4\operatorname{sen}(\theta)^4 \,d\theta = \int_0^\pi (1-\cos(2\theta))^2\,d\theta \\ &= \int_0^\pi 1 - 2\cos(2\theta) + \cos(2\theta)^2 \,d\theta \\ &= \int_0^\pi 1 - 2\cos(2\theta) + \frac{1+\cos(4\theta)}{2}\,d\theta \\ &= \left[\theta - \operatorname{sen}(2\theta) + \frac{\theta}{2} + \frac{\operatorname{sen}(4\theta)}{8}\right]_0^\pi = \frac{3}{2}\pi. \end{align*}\]
13.7 Cálculo de volúmenes
Cuando \(f(x,y)\) es positiva en el intervalo de integración \(I=[a,b]\times[c,b]\), la integral doble \(\int_I f(x,y)\,dx\,dy\) da el volumen del sólido encerrado entre la superficie de \(f\) y el plano \(xy\) en la región delimitada por \(I\). Ahora bien, si \(f\) es negativa en \(I\), entonces el valor de la integral doble es negativo, por lo que habrá que cambiarla de signo para poder interpretarla como un volumen.
La cosa se complica cuando \(f\) puede tomar valores positivos y negativos en el intervalo \(I\). En tal caso, para obtener el volumen tendremos que calcular la integral del valor absoluto de la función, o bien descomponer el intervalo de integración \(I\) en subintervalos donde la función sea positiva o negativa, integrar la función en cada uno de estos subintervalos y luego sumar el valor absoluto de estas integrales.
Ejemplo 13.9 Veamos cómo calcular el volumen de la función \(f(x,y)=x^2y\) en el intervalo \(I=[-1,1]\times[-1,1]\). En el intervalo de integración, la función toma valores negativos en el subintervalo \(I_1=[-1,1]\times[-1,0]\) y valores positivos en el intervalo \([-1,1]\times[0,1]\), por lo que el volumen encerrado entre la gráfica de la función y el plano \(xy\) viene dado por la suma de las integrales
\[\begin{align*} \int_{I_1} -f(x,y)\,dA &= \int_{-1}^1\int_{-1}^0 -x^2y\,dy\,x = \int_{-1}^1 \left[-x^2\frac{y^2}{2}\right]_{-1}^0\,dx \\ &= \int_{-1}^1 \frac{x^2}{2}\,dx = \left[\frac{x^3}{6}\right]_{-1}^1 \\ &= \frac{1}{6}+\frac{1}{6} = \frac{1}{3}. \end{align*}\]
y
\[\begin{align*} \int_{I_1} f(x,y)\,dA &= \int_{-1}^1\int_0^1 x^2y\,dy\,x = \int_{-1}^1 \left[x^2\frac{y^2}{2}\right]_0^1\,dx \\ &= \int_{-1}^1 \frac{x^2}{2}\,dx = \left[\frac{x^3}{6}\right]_{-1}^1 \\ &= \frac{1}{6}+\frac{1}{6} = \frac{1}{3}, \end{align*}\]
es decir,
\[ \int_I x^2y\,dA = \int_{I_1} x^2y\,dA + \int_{I_2} x^2y\,dA = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}. \]
Obsérvese que también se puede usar la integral doble para calcular el área de una región plana integrando sobre esta región la función \(f(x,y)=1\), ya que cuanto la altura \(1\), el volumen coincide con el área de la base.
Del mismo modo se puede usar una integral tripe para calcular el volumen de una región tridimensional.
13.8 Cálculo del area de una superficie
Otra aplicación menos intuitiva de la las integrales dobles es el cálculo del área de la superficie de una función sobre una región \(R\). Si \(f\) es una función de dos variables \(f(x,y)\), con derivadas parciales continuas sobre un intervalo bidimensional \(I=[a,b]\times[c,d]\), para aproximar el área de la superficie de \(f\) sobre \(I\) podemos tomar una partición \(P_x=\{x_0=a,x_1,\ldots, x_n=b\}\) del intervalo \([a,b]\) en \(n\) subintervalos de igual tamaño, y otra \(P_y=\{y_0=a,y_1,\ldots, y_n=b\}\) del intervalo \([c,d]\), y descomponer el intervalo \(I\) en subintervalos rectangulares \(I_{ij}\) mediante la partición \(P_n=P_x\times P_y\). De esta manera, todos los subintervalos \(I_{ij}\) tendrán el mismo área \(\Delta A = \Delta x\Delta y\).
Si para cada subintervalo \(I_{ij}\), podemos calcular el plano tangente a la superficie de \(f\) en el punto \((x_i, y_j, f(x_i,y_j))\), el paralelogramo \(T_{ij}\) que define el plano tangente sobre el intervalo \(I_{ij}\) nos dará una aproximación del área de la superficie de \(f\) sobre el subintervalo \(I_{ij}\), y por tanto, la suma de las áreas de estos paralelogramos tangentes será una aproximación de la superficie de \(f\) sobre el intervalo \(I\).
Si para cada paralelogramo \(T_{ij}\) consideramos los vectores \(\mathbf{u}_{ij}\) y \(\mathbf{v}_{ij}\) con origen en \((x_i, y_j)\) y con la misma dirección y longitud que los lados del paralelogramo, tal y como se aprecia en la gráfica de más abajo, se tiene que el área del paralelogramo es \(\Delta T_{ij} = |\mathbf{u}_{ij}\times\mathbf{v}_{ij}|\), tal y como se vió en la Proposición 10.5.
Por otro lado, como \(\mathbf{u}_{ij}\) está contenido en la intersección plano tangente a \(f\) en \((x_i,y_j,f(x_i,y_j))\), con el plano \(y=y_j\), se tiene que su pendiente es \(f'_x(x_i,y_j)\), por lo que sus coordenadas son \((\Delta x, 0, f'_x(x_i,y_j)\Delta x)\). Del mismo modo, como \(\mathbf{v}_{ij}\) está contenido en la intersección plano tangente, con el plano \(x=x_i\), se tiene que su pendiente es \(f'_y(x_i,y_j)\), por lo que sus coordenadas son \((0, \Delta y, f'_y(x_i,y_j)\Delta y)\).
Así pues, el producto vectorial de \(\mathbf{u}_{ij}\) y \(\mathbf{v}_{ij}\) es
\[\begin{align*} \mathbf{u}_{ij}\times\mathbf{v}_{ij} &= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \Delta x & 0 & f'_x(x_i,y_j)\Delta x \\ 0 & \Delta y & f'_y(x_i,y_j)\Delta y \end{vmatrix} \\ &= -f'_x(x_i,y_j)\Delta x\Delta y \mathbf{i} -f'_y(x_i,y_j)\Delta x\Delta y \mathbf{j} + \Delta x\Delta y \mathbf{k} \\ &= (-f'_x(x_i,y_j), -f'_y(x_i,y_j), 1)\Delta x\Delta y, \end{align*}\]
y el área del paralelogramo \(T_{ij}\) es
\[ \Delta T_{ij} = |\mathbf{u}_{ij}\times\mathbf{v}_{ij}| = \sqrt{f'_x(x_i,y_j)^2 + f'_y(x_i,y_j)^2 + 1}\Delta x\Delta y. \]
De este modo, el área de la superficie de \(f\) sobre el intervalo \(I\) se puede aproximar mediante la suma
\[ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \Delta T_{ij} = \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \sqrt{f'_x(x_i,y_j)^2 + f'_y(x_i,y_j)^2 + 1}\Delta x\Delta y. \]
Tomando particiones cada vez más refinadas, en el límite cuando \(n\to \infty\) se tiene que el área de la superficie de \(f\) sobre el intervalo \(I\) viene dado por la integral
\[ A_I(f) = \int_I \sqrt{f'_x(x_i,y_j)^2 + f'_y(x_i,y_j)^2 + 1}\,dA. \]
Ejemplo 13.10 La gráfica de la función \(f(x,y)=\sqrt{a^2-x^2-y^2}\) es la semiesfera de radio \(a\) centrada en el origen de coordenadas. El área de la superficie de esta semiesfera puede calcularse mediante la integral
\[ A_R(f) = \int_R \sqrt{f'_x(x_i,y_j)^2 + f'_y(x_i,y_j)^2 + 1}\,dA \]
donde \(R=\{(x,y)\in \mathbb{R}: -a\leq x\leq a, -\sqrt{a^2-x^2}\leq y\leq \sqrt{a^2-x^2}\}\).
Como las derivadas parciales de \(f\) valen
\[\begin{align*} f'_x(x,y) &= \frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}, \\ f'_y(x,y) &= \frac{-y}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}, \end{align*}\]
la integral anterior se puede calcular mediante la integral iterada
\[ A_R(f) = \int_{-a}^a \int_{-\sqrt{a^2-x^2}}^{\sqrt{a^2-x^2}} \sqrt{\frac{x^2}{a^2-x^2-y^2} + \frac{y^2}{a^2-x^2-y^2} + 1}\,dy\,dx. \]
Esta integral, no obstante, es difícil de calcular, por lo que merece la pena hacer el cambio a coordenadas polares, de manera que la región de integración polar es \(R=\{(r,\theta)\in \mathbb{R}^+\times \mathbb{R}: 0\leq \theta\leq 2\pi, 0\leq r\leq a\}\) y la integral se convierte en
\[\begin{align*} A_R(f) &= \int_0^{2\pi} \int_0^a \sqrt{\frac{r^2\cos(\theta)^2}{a^2-r^2}+\frac{r^2\operatorname{sen}(\theta)^2}{a^2-r^2}+1}r\,dr\,d\theta \\ &= \int_0^{2\pi} \int_0^a \sqrt{\frac{a^2}{a^2-r^2}}r\,dr\,d\theta. \end{align*}\]
Esta última integral es impropia ya que \(\frac{a^2}{a^2-r^2}\to \infty\) cuando \(r\to a\), pero la integral es finita, ya que
\[ \lim_{s\to a^-}\int_0^s \sqrt{\frac{a^2}{a^2-r^2}} r\,dr = \lim_{s\to a^-} a(-\sqrt{a^2-s^2}+a) = a^2, \]
y siguiendo con el cálculo de la integral anterior se tiene
\[ A_R(f) = \int_0^{2\pi} a^2\,d\theta = 2\pi a^2, \]
por lo que el área de la esfera de radio \(a\) centrada en el origen de coordenadas es \(4\pi a^2\), que coincide con la fórmula habitual.
13.9 Aplicaciones físicas
13.9.1 Centro de masas
Una aplicación física inmediata de las integrales dobles o triples es el cálculo de la masa de una sólido plano o del espacio con densidad variable en cada punto. Si \(\delta(x,y)\) es la densidad en cada uno de los puntos de un sólido que ocupa una región \(R\) del plano \(xy\), la masa total del sólido puede calcularse mediante la integral
\[ m = \int_R \delta(x,y)\,dA, \]
siempre y cuando la función \(\delta\) sea integrable en la región \(R\).
Ejemplo 13.11 Una placa metálica tiene la forma de región \(R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: 0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq 1-x^2\}\) y la densidad en cada punto viene dada por la función \(\delta(x,y)=xy\) en gr/cm\(^2\). Entonces su masa es
\[\begin{align*} m &= \int_R \delta(x,y)\,dA = \int_0^1 \int_0^{1-x^2} xy\,dy\,dx = \int_0^1 x\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^{1-x^2}\,dx \\ &= \int_0^1 x\frac{(1-x^2)^2}{2}\,dx = \int_0^1 \frac{x-2x^3+x^5}{2}\,dx \\ &= \left[\frac{x^2}{4}-\frac{2x^4}{8}+\frac{x^6}{12}\right]_0^1 = \frac{1}{4}-\frac{2}{8}+\frac{1}{12} = \frac{1}{12} \mbox{ gr}. \end{align*}\]
También podemos utilizar las integrales dobles para calcular el momento de cada punto de un sólido \(R\) del plano \(xy\) con respecto a cada uno de los ejes. Tal y como se vio en la Sección 8.11.3.2, el momento con respecto a cada eje en un punto \((x,y)\) de un sólido plano \(R\) viene dado por el producto de la masa en el punto y la distancia del punto al eje, es decir, el momento con respecto al eje \(x\) es \(xm(xy)\) y el momento con respecto al eje \(y\) es \(ym(x,y)\), donde \(m(x,y)\) es la masa en el punto \((x,y)\). La suma de los momentos en cada uno de los puntos del sólido región \(R\) nos dará el momento de todo el sólido. Así pues, si \(\delta(x,y)\) es la densidad en cada uno de los puntos de un sólido plano \(R\), los momentos de \(R\) con respecto a los ejes \(x\) e \(y\) pueden calcularse, respectivamente, mediante las integrales
\[\begin{align*} M_x &= \int_R y\delta(x,y)\,dA \\ M_y &= \int_R x\delta(x,y)\,dA \end{align*}\]
A partir de los momentos resulta sencillo calcular el centro de masas o centroide \((\bar x, \bar y)\) del sólido plano, dividiendo cada momento por la masa del sólido, es decir,
\[\begin{align*} \bar x &= \frac{M_y}{m} = \frac{\int_R x\delta(x,y)\,dA}{\int_R \delta(x,y)\,dA} \\ \bar y &= \frac{M_x}{m} = \frac{\int_R y\delta(x,y)\,dA}{\int_R \delta(x,y)\,dA} \end{align*}\]
Un sólido plano se comporta como si toda su masa se concentrara en el centroide, de manera que se mantendría en equilibrio horizontal al apoyarlo sobre este punto.
Ejemplo 13.12 El momento con respecto al eje \(x\) de la placa metálica del ejemplo anterior es
\[\begin{align*} M_x &= \int_R y\delta(x,y)\,dA = \int_0^1 \int_0^{1-x^2} xy^2\,dy\,dx = \int_0^1 x\left[\frac{y^3}{3}\right]_0^{1-x^2}\,dx \\ &= \int_0^1 x\frac{(1-x^2)^3}{3}\,dx = \int_0^1 \frac{x-3x^3+3x^5-x^7}{3}\,dx \\ &= \left[\frac{x^2}{6}-\frac{x^4}{4}+\frac{x^6}{6}-\frac{x^8}{24}\right]_0^1 = \frac{1}{6}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{24} = \frac{1}{24} \mbox{ gr$\cdot$ cm}. \end{align*}\]
Del mismo modo, el momento con respecto al eje \(y\) es
\[\begin{align*} M_y &= \int_R x\delta(x,y)\,dA = \int_0^1 \int_0^{1-x^2} x^2y\,dy\,dx = \int_0^1 x^2\left[\frac{y^2}{2}\right]_0^{1-x^2}\,dx \\ &= \int_0^1 x^2\frac{(1-x^2)^2}{2}\,dx = \int_0^1 \frac{x^2-2x^4+x^6}{2}\,dx \\ &= \left[\frac{x^3}{6}-\frac{x^5}{5}+\frac{x^7}{14}\right]_0^1 = \frac{1}{6}-\frac{1}{5}+\frac{1}{14} = \frac{4}{105} \mbox{ gr$\cdot$ cm}. \end{align*}\]
Por lo tanto, el centroide de la placa metálica tendrá coordenadas
\[\begin{align*} \bar x &= \frac{M_x}{m} = \frac{\int_R y\delta(x,y)\,dA}{\int_R \delta(x,y)\,dA} = \frac{1/24}{1/12} = 0.5 \mbox{ cm},\\ \bar y &= \frac{M_y}{m} = \frac{\int_R x\delta(x,y)\,dA}{\int_R \delta(x,y)\,dA} = \frac{4/105}{1/12} = \frac{16}{35} \approx 0.4571 \mbox{ cm}. \end{align*}\]
13.10 Aplicaciones estadísticas
13.10.1 Valor medio de una función
En la Sección 8.12.1 vimos cómo utilizar la integral definida para calcular el valor medio de una función de una variable en un intervalo unidimensional. Para funciones de dos variables podemos usar la misma idea para calcular el valor medio de una función sobre una región \(R\) dividiendo la integral por el área de la región de integración, y para funciones de tres variables dividiendo por el volumen de la región de integración. En general, para calcular el valor medio de una función de varias variables en una región de \(\mathbb{R}^n\) utilizaremos la integral de la siguiente definición.
Definición 13.6 (Valor medio de una función de varias variables) Dada una función \(f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}\) integrable sobre una región \(R\subset \mathbb{R}^n\), el valor medio de \(f\) sobre \(R\) es
\[ \bar{f}_R = \frac{\int_R f(x_1,\ldots,x_n)\,dA}{\int_R\,dA} \]
Obsérvese que la integral del denominador \(\int_R\,dA\), para una función de dos variables da el área de la región \(R\), mientras que para una función de tres variables da el volumen de la región \(R\).
Ejemplo 13.13 En el Ejemplo 13.5 vimos que la integral doble de la función \(f(x,y)=xy\) sobre la región \(R=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2: 0\leq x\leq 1, x^2\leq y\leq x\}\) era \(\int_R xy\,dA = \frac{1}{24}\). Como el área de la región \(R\) es
\[\begin{align*} \int_R \,dA &= \int_0^1 \int_{x^2}^x \,dy\,dx = \int_0^1 [y]_{x^2}^x\,dx = \int_0^1 x-x^2\,dx \\ &= \left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{2}-\frac{1}{3} = \frac{1}{6}. \end{align*}\]
el valor medio de \(f\) en \(R\) es
\[ \bar f_R = \frac{\int_R xy\,dA}{\int_R\,dA} = \frac{1/24}{1/6} = \frac{1}{4}. \]