10 Geometría vectorial del plano y del espacio reales
Para proceder al estudio analítico de las funciones de varias variables y de las funciones vectoriales se necesita introducir el concepto de vector y algunas propiedades geométricas del plano euclídeo
10.1 Escalares y vectores
10.1.1 Escalares
Algunos fenómenos de la naturaleza pueden describirse mediante un número referido a una unidad de medida.
Definición 10.1 (Escalar) Un escalar es un número que sirve para expresar una magnitud sin dirección.
Ejemplo 10.1 La estatura o el peso de una persona, el volumen de un depósito, la temperatura de un gas, el trabajo realizado por una fuerza sobre un objeto, la carga eléctrica o el tiempo que tarda un móvil en recorrer una distancia, son escalares.
Sin embargo, existen otros fenómenos que no pueden describirse adecuadamente mediante un escalar. Si, por ejemplo, un navegante quiere poner rumbo a puerto y sólo conoce de la intensidad del viento, no sabrá qué dirección tomar. La descripción del viento requiere dos elementos, su intensidad y su dirección.
10.1.2 Vectores
Definición 10.2 (Vector) Un vector es un objeto geométrico que tiene asociada una magnitud o longitud y una dirección. El vector con longitud 0 se conoce como vector nulo, se representa
Ejemplo 10.2 La velocidad y la aceleración de un móvil o la fuerza que se aplica sobre un objeto, son vectores.
Geométricamente, en un espacio euclídeo, un vector se representa mediante un segmento orientado, es decir, una flecha.
10.1.3 Representación de un vector
Un segmento orientado puede ubicarse en diferentes lugares dentro de un espacio euclídeo. Sin embargo, con independencia de donde esté situado, si la longitud y la dirección no varían, dicho segmento representará siempre el mismo vector.
Esto permite representar todos los vectores con un mismo origen, el origen en sistema de coordenadas cartesianas. Así, en cualquier espacio euclídeo, un vector queda determinado por las coordenadas del punto que determina su extremo final.
10.1.4 Vector a partir de dos puntos
Dados dos puntos
Ejemplo 10.3 Sean los puntos
10.1.5 Módulo de un vector
Definición 10.3 (Módulo de un vector) Dado un vector
Proposición 10.1 El módulo de un vector coincide con la longitud del segmento que representa el vector.
Prueba. Probaremos primero la proposición para el plano real
Por tanto, aplicando el teorema de Pitágoras, se tiene que la longitud de
Veamos ahora que también es cierto en el espacio real
Como hemos visto para el plano real, se cumple que
El caso general para el espacio
Ejemplo 10.4 Sea
Sea
10.1.6 Vectores unitarios
Definición 10.4 (Vector unitario) Se dice que un vector
Especial atención merecen los vectores unitarios que siguen la dirección de los ejes de coordenadas, estos vectores se llaman vectores coordenados.
En
En
10.1.7 Suma de vectores
Definición 10.5 (Suma de vectores) Dados dos vectores
Ejemplo 10.5 Sean
10.1.8 Producto de un vector por un escalar
Definición 10.6 (Producto de un vector por un escalar) Dado un vector
Ejemplo 10.6 Sean el vector
10.1.9 Expresión de un vector como combinación lineal de los vectores coordenados
La suma de vectores y el producto de un vector por un escalar permite expresar cualquier vector como una combinación lineal de los vectores coordenados.
En el caso del espacio real
10.1.10 Producto escalar
Ya hemos visto como sumar y restar vectores, y cómo multiplicarlos por un escalar, pero no hemos visto cómo multiplicar vectores. Existen diferentes formas de multiplicar dos vectores, una de ellas es el producto escalar que tiene aplicaciones muy interesantes.
Definición 10.7 (Producto escalar) Dados dos vectores
El resultado del producto escalar de dos vectores no es un vector, sino un escalar.
Ejemplo 10.7 Sean
Proposición 10.2 (Propiedades del producto escalar) Dados los vectores
. . . . .
Prueba. Sean $
. .
. .
Teorema 10.1 (Producto escalar) Si
donde
Prueba. Supongamos
TODO Meter diagrama del triángulo formado por u, v y u-v.
Usando las propiedades del producto escalar, se tiene que
De manera que sustituyendo en la fórmula del teorema del coseno resulta
Este teorema permite calcular fácilmente el ángulo entre dos vectores a partir de su producto escalar.
Corolario 10.1 Si
Ejemplo 10.8 El ángulo entre los vectores
Una interesante aplicación geométrica del producto escalar permite calcular la proyección de un vector sobre otro.
Proposición 10.3 Si
Prueba. Supongamos que
que es la base de un triángulo rectángulo con hipotenusa
Ahora bien, como
de donde se deduce que
10.1.11 Vectores paralelos
Definición 10.8 (Vectores paralelos) Dos vectores
Ejemplo 10.9 Los vectores
10.1.12 Vectores ortogonales y ortonormales
Definición 10.9 (Vectores ortogonales y ortonormales) Dos vectores
Si además el módulo de ambos vectores es la unidad
Teorema 10.2 Dos vectores no nulos
Prueba. Supongamos que
Para probar el otro sentido de la implicación, supongamos que
Ejemplo 10.10 Los vectores
pero no son ortonormales ya que
Los vectores
10.1.13 Producto vectorial
Dados dos vectores
Definición 10.10 (Producto vectorial) Dados dos vectores
El producto vectorial también puede expresarse de las siguiente manera utilizando determinantes de matrices 2x2.
O, abusando un poco de la notación como
Ejemplo 10.11 El producto vectorial de los vectores
Como se puede observar en el siguiente gráfico, el vector resultante es perpendicular a
Proposición 10.4 Si
Prueba. Sean
Veamos primero que
por lo que
Del mismo modo, para ver que
por lo que
Teorema 10.3 Si
donde
Corolario 10.2 Dos vectores no nulos
Prueba. Supongamos que
y el único vector con módulo 0 es el vector nulo, de lo que se deduce que
Para probar el otro sentido de la implicación, supongamos que
Pero como
A continuación se presenta una interesante interpretación geométrica del producto vectorial.
Proposición 10.5 Si
Prueba. Como se puede observar en la gráfica de más abajo, el paralelogramo formado por los vectores
Proposición 10.6 Dados los vectores
. . . . .
Prueba. Las demostraciones son sencillas simplemente aplicando la definición de producto vectorial y operando las componentes de los vectores. Daremos la prueba de la primera propiedad y el resto se dejan como ejercicios.
Sean
10.2 Rectas
10.2.1 Ecuación vectorial de la recta
Definición 10.11 (Ecuación vectorial de la recta) Sea
parametriza a
Ejemplo 10.12 Considérese la recta del espacio real
Un punto de la recta es
10.2.2 Ecuaciones paramétricas y cartesianas de la recta
De la ecuación vectorial de una recta
donde, si
Ejemplo 10.13 Dada la ecuación vectorial de la recta
y sus ecuaciones cartesianas son
10.2.3 Ecuación punto-pendiente de una recta en el plano
En el caso particular del plano real
sus ecuaciones paramétricas son
y sus ecuación cartesiana es
A partir de aquí, pasando
llamando
Esta ecuación se conoce como ecuación en la forma punto-pendiente.
10.2.4 Pendiente de una recta en el plano real
Definición 10.12 (Pendiente de una recta) Dada una recta
Recordar que dados dos puntos
10.3 Planos
10.3.1 Ecuación vectorial del plano en el espacio real
Para llegar a la ecuación de un plano en el espacio real
Definición 10.13 (Ecuación vectorial de un plano en el espacio) Dado un punto
10.3.2 Ecuación escalar de un plano en el espacio
De la ecuación vectorial del plano se obtiene
que, renombrando
y se conoce como ecuación escalar del plano.
Ejemplo 10.14 Dado el punto
y su ecuación escalar es