9 Series de números reales
En este capítulo se estudian las series de números reales, un tipo especial de sucesiones que se construyen a partir de la suma de los términos de otras sucesiones. Este tipo de sucesiones son las más importantes del Análisis pues, como se verá más adelante, aparecen en multitud de contextos reales.
Como ejemplo introductorio puede servir la paradoja de la dicotomía de Zenon, que establece que para que un corredor pueda recorrer una distancia hasta la meta, primero tiene que recorrer la mitad de la distancia, después la mitad de la distancia restante, después la mitad de la distancia restante, y así hasta el infinito, por lo que, aparentemente, nunca llegaría a la meta.
La distancia recorrida por el corredor puede expresarse como una suma infinita
que puede representarse, de manera más concisa, mediante el sumatorio
Por supuesto, por experiencia, sabemos que el corredor acaba llegando a la meta, por lo que la suma de estas distancias debe ser la distancia total, es decir,
En este capítulo estudiaremos estas sumas infinitas y veremos técnicas para calcularlas cuando existan.
9.1 Concepto de serie
Definición 9.1 (Serie) Dada una sucesión de números reales
El número
Debe quedar claro que una serie no es una suma, sino una sucesión cuyos términos se forman mediante sumas de los términos de otra sucesión. Por tanto, todos lo visto en el capítulo de sucesiones es válido también para series.
Ejemplo 9.1 A partir de la sucesión
Esta serie se conoce como serie armónica. En la siguiente gráfica se puede apreciar cómo evoluciona la sucesión de sus sumas parciales.
En ocasiones es posible expresar el valor de la suma parcial de orden
Ejemplo 9.2 Dada la serie
9.2 Convergencia de series
Definición 9.2 (Serie convergente) Se dice que una serie
Si una serie no es convergente, se dice que es divergente.
A veces interesa considerar series que empiezan en un índice distinto de 1. En tal caso, se usará la notación
Ejemplo 9.3 Veamos que la serie
Y, por tanto,
Ejemplo 9.4 La serie
y por tanto,
Ejemplo 9.5 La serie armónica
Es fácil ver que los términos de esta serie son mayores que los de esta otra
Sin embargo, la serie armónica alternada
Proposición 9.1 Dadas dos sucesiones
Prueba. Pongamos
Como
y, por tanto,
Proposición 9.2 Dadas dos series convergentes
- La serie
es convergente y . - La serie
es convergente y .
Prueba. Sean
En consecuencia,
Teorema 9.1 (Criterio de Cauchy) La serie
Prueba. Sea
El siguiente teorema establece una condición necesaria para la convergencia de una serie.
Teorema 9.2 (Criterio de divergencia) Dada una serie
Prueba. Probaremos que si la serie converge, entonces
Sea
Por otro lado, como
El teorema anterior permite establecer la divergencia de una serie cuando
Ejemplo 9.6 Ya hemos visto antes que la serie
La serie
Corolario 9.1 Dada una serie
Prueba. La demostración es una consecuencia inmediata del criterio de divergencia, ya que si
9.3 Series geométricas
En muchas casos de la vida real, aparecen sucesiones cuyo término
Definición 9.3 (Series geométricas) Dados dos números
Ejemplo 9.7 La serie
Proposición 9.3 La suma parcial de orden
Prueba. La suma parcial de orden
Si multiplicamos
Y si restamos las dos expresiones anteriores se obtiene
Ejemplo 9.8 La suma parcial de orden
Corolario 9.2 Una serie geométrica
Prueba. La demostración es fácil a partir de la proposición anterior y se deja como ejercicio.
Ejemplo 9.9 La serie geométrica
9.4 Series
Otro tipo de series que aparece con bastante frecuencia en contextos reales son las llamadas series
Definición 9.4 (Series
Ejemplo 9.10 La serie armónica
Proposición 9.4 Una serie
Prueba. Usando el criterio de divergencia, es fácil probar que la serie diverge para
Más adelante se probará también que la serie
Ejemplo 9.11 Ya se ha visto que la serie armónica
9.5 Series telescópicas
Otro tipo de serie, menos frecuente, pero también interesante, son las series cuyos términos se van cancelando sucesivamente, de manera que la serie colapsa.
Definición 9.5 Dada una sucesión
Ejemplo 9.12 La serie
Proposición 9.5 Una serie telescópica
Prueba. Es fácil ver que la suma parcial de los
Por tanto,
de manera que si existe
Ejemplo 9.13 La serie telescópica
9.6 Convergencia de series de términos positivos
En esta sección se presentan algunos criterios para estudiar la convergencia de series
Teorema 9.3 (Criterio de acotación) Una serie
Prueba. Como
Teorema 9.4 (Criterio de comparación de series) Dadas dos series de términos positivos
- Si
converge, converge. - Si
diverge, diverge.
Prueba. Sean
Supongamos que
Supongamos ahora que
Ejemplo 9.14 Veamos que la serie
Para ello basta ver que se trata de una serie de términos positivos, y que
Como se ha visto antes, la serie
Una forma bastante intuitiva de estudiar la convergencia de una serie es mediante la integral impropia del término general de la serie.
Teorema 9.5 (Criterio de la integral) Dada una serie
Prueba. Sea
y, del mismo modo, la suma superior de Riemann de
por lo que se cumple que
Por tanto, si la integral impropia
y al ser una sucesión monótona creciente, por ser
Por otro lado, si la integral impropia diverge, entonces la sucesión de las sumas parciales no está acotada, ya que
y como
Ejemplo 9.15 Veamos cómo podemos probar que la serie
Para ello, consideramos la función
y de acuerdo al criterio de la integral, la serie
Sin embargo, para
por lo que, de acuerdo al criterio de la integral, la serie
Finalmente, para
por lo que, de acuerdo al criterio de la integral, la serie armónica
El criterio de la integral permite averiguar si una serie de términos positivos converge o no, pero, cuando la serie converge, no tiene porqué cumplirse que la suma sea el valor de la integral indefinida.
Por ejemplo,
Aunque la integral impropia no siempre coincide con la suma de la serie, podemos usarla para calcular la suma de la serie de manera aproximada.
Si tomamos la suma parcial
que se conoce también como residuo de la serie.
Proposición 9.6 Dada una serie
Prueba. Si
Y del mismo modo, puede acortarse inferiormente por la integral impropia de
Ejemplo 9.16 Vamos a dar una aproximación para la serie
Usando la proposición anterior se puede obtener una cota para el residuo de la serie, que es
Por tanto, la suma de la serie
Teorema 9.6 (Criterio del cociente) Dadas dos series de términos positivos
con
Prueba. Supongamos que
Así pues, si
Por otro lado, si
Ejemplo 9.17 Veamos que la serie
por lo que, como
Para poder aplicar el criterio del cociente, es necesario que
Ejemplo 9.18 Si tomamos la serie geométrica
Sin embargo, ya hemos visto que una converge y la otra no.
9.7 Convergencia de series alternadas
Los resultados de la sección anterior solo se aplican a series de términos positivos, pero en ocasiones, la sucesión a partir de la que se construye la serie es de términos alternados, es decir, el signo de los sucesivos términos va cambiando. Un ejemplo es la serie armónica alternada que ya se ha tratado. A continuación se presentan algunos resultados para estudiar este tipo de series.
Teorema 9.7 (Criterio de la serie alternada (Leibniz)) Dada una serie alternada
Prueba. Supongamos que
de manera que se obtiene una sucesión monótona creciente.
Por otro lado, si agrupamos los términos de la sucesión de la siguiente manera,
es fácil ver que
Si calculamos ahora el límite de la sucesión de las sumas parciales de orden impar, se tiene,
Por consiguiente, como las subsucesiones de los términos pares e impares convergen al mismo número, la sucesión de las sumas parciales de orden
Ejemplo 9.19 La serie armónica alternada
Veamos ahora que la serie
lo cual es cierto
Por otro lado,
9.8 Convergencia absoluta
Hemos visto en el caso de series de términos positivos que una serie converge cuando sus términos se hacen pequeños lo suficientemente rápido, o en el caso de series alternadas, cuando, a pesar de que los términos no decrezcan los suficiente mente rápido, los términos positivos se van cancelando con los negativos para obtener una suma finita. En general, si los términos de una serie decrecen lo suficiente mente rápido sin tener en cuenta su signo, es decir, en valor absoluto, se puede asegurar que la serie converge, independientemente de qué términos de la serie son positivos o negativos.
Definición 9.6 (Serie absolutamente convergente) Una serie
Si la serie es de términos positivos, entonces
Ejemplo 9.20 La serie
Que una serie sea absolutamente convergente quiere decir que sus términos se hacen pequeños (en valor absoluto) lo suficientemente rápido para garantizar que la suma converge sin tener en cuenta su signo.
Definición 9.7 (Serie condicionalmente convergente) Una serie
Ejemplo 9.21 Ya hemos visto que la serie armónica alternada
Teorema 9.8 Si una serie es absolutamente convergente, entonces es convergente.
Prueba. Partimos del hecho de que
Teorema 9.9 (Criterio de la razón (D’Alembert)) Dada una serie
- Si
, entonces la serie es absolutamente convergente. - Si
o , entonces la serie es divergente.
Prueba. Veamos la prueba de cada caso.
Supongamos que
y sea tal que . Por la definición de límite se tiene que existe tal que , es decir, . De aquí se deduce queAsí pues, como
es una serie geométrica con , converge, y aplicando el criterio de comparación de series de términos positivos, también converge, y como un número finito de sumandos no influye en la convergencia de la serie, se concluye que converge.Supongamos ahora
. Entonces existe tal que , es decir, , de donde se deduce que , y según el criterio de la divergencia, diverge.El mismo razonamiento se puede aplicar si
.
Ejemplo 9.22 Veamos que la serie
Teorema 9.10 (Criterio de la raíz (Cauchy)) Dada una serie
- Si
, entonces la serie es absolutamente convergente. - Si
, o , entonces la serie es divergente.
Prueba. La demostración es similar a la del criterio de la razón.
Supongamos que
y sea tal que . Por la definición de límite se tiene que existe tal que , es decir, . Como es una serie geométrica con , converge, y aplicando el criterio de comparación de series de términos positivos, también converge, y como un número finito de sumandos no influye en la convergencia de la serie, se concluye que converge.Supongamos que
y sea tal que . Por la definición de límite se tiene que existe tal que , es decir, . Como es una serie geométrica con , diverge, y aplicando el criterio de comparación de series de términos positivos, también diverge, y por tanto diverge.
Ejemplo 9.23 Veamos que la serie
9.9 Series de potencias
Del mismo modo que hemos estudiado las series que se obtienen a partir de una sucesión numérica, en Análisis resulta también interesante estudiar las series que se obtienen a partir de una sucesión de funciones.
Definición 9.8 (Serie funcional) Dada una sucesión de funciones
El número
Las primeras sumas funcionales parciales de la serie funcional
Debe quedar claro que una serie funcional es una sucesión funcional, y por tanto, todos los resultados vistos para sucesiones funcionales son válidos para las series funcionales.
Una serie funcional puede ser convergente para algunos valores de
Ejemplo 9.24 La serie funcional
Definición 9.9 (Dominio de convergencia puntual de una serie funcional) Dada una serie funcional
Definición 9.10 (Función suma de una serie funcional) Dada una serie funcional
Ejemplo 9.25 El dominio de convergencia puntual de la serie funcional
De particular interés son las series que se obtienen a partir de sucesiones de la forma
Definición 9.11 (Serie de potencias) Dado un número real
La sucesión
Ejemplo 9.26 Tomando
Para cualquier serie de potencias
Proposición 9.7 Dada una serie de potencias
- Si la serie converge para
, entonces converge para cualquier tal que . - Si la serie diverge para
, entonces diverge para cualquier con .
Prueba. Veamos la prueba de cada parte.
Supongamos
converge. Entonces, por el criterio de divergencia se tiene que , y, por tanto, tomando , existe un tal que . De esta manera se cumpleComo
es una serie geométrica, converge para , es decir, , y en tal caso, por el criterio de comparación de series, converge, de modo que es absolutamente convergente.Supongamos ahora que
diverge. Entonces para cualquier la serie no puede converger porque por el resultado anterior, si converge, también debería converger al ser .
Ejemplo 9.27 Ya se vio que la serie armónica
que, por el criterio de comparación de series, converge al ser
Más adelante se mostrará que el dominio de convergencia puntual de esta serie de potencias es el intervalo
Corolario 9.3 Dada una serie de potencias
- Si la serie converge para
, entonces converge para cualquier tal que . - Si la serie diverge para
, entonces diverge para cualquier con .
Prueba. La demostración es sencilla a partir de la proposición anterior haciendo el cambio de variable
El siguiente teorema resulta de gran utilidad a la hora de determinar el dominio de convergencia puntual de una serie de potencias.
Teorema 9.11 (Radio de convergencia) Dada una serie de potencias
Prueba. Sea el conjunto
Sea
El teorema anterior no afirma nada sobre los puntos
Teorema 9.12 Dada una serie de potencias
Prueba. Se deja como ejercicio usando el criterio de la raíz.
Ejemplo 9.28 Veamos cuál es el dominio de convergencia puntual de la serie de potencias
Por tanto, la serie converge para todo
Así pues, el dominio de convergencia puntal de la serie de potencias es el intervalo
Teorema 9.13 Dada una serie de potencias
Prueba. Se deja como ejercicio usando el criterio de la razón.
Ejemplo 9.29 Veamos cuál es el dominio de convergencia puntual de la serie de potencias
Por tanto, la serie converge para
Así pues, el domino de convergencia puntual de la serie de potencias es el intervalo
Las funciones que pueden representarse mediante una serie de potencias en un intervalo de su dominio tienen propiedades muy interesantes, como que son infinitamente derivables en ese intervalo.
Definición 9.12 (Función analítica) Dada una función
para cualquier
Ejemplo 9.30 Cualquier polinomio de grado
Otras funciones elementales como la función exponencial, la función logarítmica y las trigonométricas son también analíticas en cualquier intervalo abierto de su dominio.
9.10 Series de Taylor
En la sección Sección 7.10 se vio como aproximar el valor de una función en un punto mediante un polinomio de grado
Definición 9.13 (Serie de Taylor) Dada una función
Ejemplo 9.31 Veamos cuál es la serie de Taylor de la función
Sustituyendo en la fórmula de la serie de Taylor se tiene
Su suma parcial de orden
que resulta ser el polinomio de Taylor de orden
Un caso particular bastante habitual es la serie de Taylor en
Definición 9.14 (Serie de Maclaurin) Dada una función
Ejemplo 9.32 Veamos cuál es la serie de Maclaurin de la función
Sustituyendo en la fórmula de la serie de Maclaurin se tiene
que es una serie geométrica de razón
Teorema 9.14 Si
Prueba. Supongamos que
Como las series de potencias se pueden derivar término a término (como si fuesen polinomios) en el interior del dominio de convergencia, es decir, son infinitamente derivables en
y en
La segunda derivada de
y en
La tercera derivada de
y en
Continuando con este proceso, se deduce que
por lo que la suma que se obtiene es
que es la serie de Taylor de
El teorema anterior garantiza que si una función es analítica en un intervalo
Ejemplo 9.33 La función
es infinitamente derivable en
Cabe preguntarse, ¿cuándo
Evidentemente, esta igualdad no se cumple para los valores de
Teorema 9.15 Si
para
Prueba. Sea
Ejemplo 9.34 Veamos que
El polinomio de Maclaurin de grado
y su resto en la forma de Lagrange es
donde
Como
y como
por el teorema de compresión de límites, se tiene que
9.10.1 Series de Maclaurin de funciones elementales
La siguiente tabla recoge las series de Maclaurin de algunas funciones elementales habituales.
Dominio convergencia | ||
---|---|---|