9  Series de números reales

En este capítulo se estudian las series de números reales, un tipo especial de sucesiones que se construyen a partir de la suma de los términos de otras sucesiones. Este tipo de sucesiones son las más importantes del Análisis pues, como se verá más adelante, aparecen en multitud de contextos reales.

Como ejemplo introductorio puede servir la paradoja de la dicotomía de Zenon, que establece que para que un corredor pueda recorrer una distancia hasta la meta, primero tiene que recorrer la mitad de la distancia, después la mitad de la distancia restante, después la mitad de la distancia restante, y así hasta el infinito, por lo que, aparentemente, nunca llegaría a la meta.

Paradoja de la dicotomía de Zenon.(imagen tomada de Wikipedia)

La distancia recorrida por el corredor puede expresarse como una suma infinita

12+14+18+116+132+

que puede representarse, de manera más concisa, mediante el sumatorio

n=112n.

Por supuesto, por experiencia, sabemos que el corredor acaba llegando a la meta, por lo que la suma de estas distancias debe ser la distancia total, es decir,

n=112n=1.

En este capítulo estudiaremos estas sumas infinitas y veremos técnicas para calcularlas cuando existan.

9.1 Concepto de serie

Definición 9.1 (Serie) Dada una sucesión de números reales (an)n=1, se llama serie de término general an a la sucesión (An)n=1, cuyos términos se obtienen sumando consecutivamente los n primeros términos de (an)n=1, es decir,

(An)n=1=(i=1nai)n=1.

El número An=i=1nai se llama suma parcial de orden n de la serie, y habitualmente utilizaremos la notación an para referirnos a la serie de término general n.

Importante

Debe quedar claro que una serie no es una suma, sino una sucesión cuyos términos se forman mediante sumas de los términos de otra sucesión. Por tanto, todos lo visto en el capítulo de sucesiones es válido también para series.

Ejemplo 9.1 A partir de la sucesión (1n)n=1, se puede construir la serie 1n=(An)n=1 tal que

A1=1A2=1+12A3=1+12+13An=1+12+13+1n=i=1n1i

Esta serie se conoce como serie armónica. En la siguiente gráfica se puede apreciar cómo evoluciona la sucesión de sus sumas parciales.

Serie armónica

En ocasiones es posible expresar el valor de la suma parcial de orden n mediante una fórmula explícita que depende de n y que se conoce como forma cerrada de la serie. Si una serie puede expresarse mediante una forma cerrada, resulta más rápido calcular el valor de la suma parcial de orden n mediante la forma cerrada, que haciendo la propia suma de los n primeros términos de la sucesión.

Ejemplo 9.2 Dada la serie n, su suma parcial de orden n An=i=1nn puede expresarse mediante la forma cerrada An=12n(n+1).

9.2 Convergencia de series

Definición 9.2 (Serie convergente) Se dice que una serie an es convergente, o que la sucesión (an)n=1 es sumable, si la sucesión de las sumas parciales (i=1nai)n=1 es convergente, y en tal caso, utilizaremos la notación n=1an para referirnos a su límite.

n=1an=limAn=limni=1nai.

Si una serie no es convergente, se dice que es divergente.

A veces interesa considerar series que empiezan en un índice distinto de 1. En tal caso, se usará la notación nkan para referirse a la serie, y n=kan para referirse a su límite.

Ejemplo 9.3 Veamos que la serie (12)n de la paradoja de la dicotomía de Zenon converge.

i=1n(12)i=1+12++12n=112n+1112=212n.

Y, por tanto,

n=1(12)n=limni=1n(12)i=limn212n=2.

Serie de la paradoja de Zenón

Ejemplo 9.4 La serie (1)n diverge. Para probarlo, basta con ver que las sumas parciales de orden n forman una sucesión alternada.

A1=1A2=1+(1)2=0A3=1+(1)2+(1)3=1A4=1+(1)2+(1)3+(1)4=0

y por tanto, (An)n=1 diverge.

Serie alternada

Ejemplo 9.5 La serie armónica 1n diverge. Una prueba bastante intuitiva se debe a Nicole Oresme y se basa en agrupar los términos de la serie en potencias de 2 de la siguiente manera

n=11n=1+12+[13+14]+[15+16+17+18]+

Es fácil ver que los términos de esta serie son mayores que los de esta otra

1+12+[14+14]+[18+18+18+18]+=1+12+12+12+ que claramente diverge, por lo que la serie armónica también diverge.

Sin embargo, la serie armónica alternada (1)n+1n converge. La prueba es una consecuencia de la serie de Taylor para el logaritmo y se deja como ejercicio.

Serie armónica alternada

Proposición 9.1 Dadas dos sucesiones (an)n=1 y (bn)n=1 tales que an=bn n>kN. Entonces, an converge si y solo si bn converge, y en caso de converger se cumple que n=1ani=1kai=n=1bni=1kbi.

Prueba. Pongamos An=a1+a2++an, Bn=b1+b2++bn, α=i=1kai, β=i=1kbi. Las afirmaciones hechas se deducen todas de que para todo nq+1 se verifica la igualdad:

Como an=bn n>kN, se tiene que

i=k+1ai=i=k+1bi

y, por tanto,

n=1ani=1kai=i=k+1ai=i=k+1bi=n=1bni=1kbi.

Proposición 9.2 Dadas dos series convergentes an y bn, entonces se cumple

  1. La serie (an+bn) es convergente y n=1(an+bn)=n=1an+n=1bn.
  2. La serie (can) es convergente y n=1(can)=cn=1an.

Prueba. Sean (An)n=1 y (Bn)n=1 las sucesiones de las sumas parciales de an y bn respectivamente. Si an y bn convergen, entonces (An)n=1 y (Bn)n=1 convergen y, por las propiedades de las sucesiones convergentes, (An+Bn)n=1 converge, y además

limnAn+Bn=limnAn+limnBn.

En consecuencia, (an+bn) converge y n=1(an+bn)=n=1an+n=1bn.

Teorema 9.1 (Criterio de Cauchy) La serie an converge si y solo si para cada ε>0 existe kN tal que

|an+1+an+2++am|<ε m>nk.

Prueba. Sea (An)n=1 la sucesión de las sumas parciales de an. Entonces, an converge si y solo si (An)n=1 converge, y por el criterio de convergencia de Cauchy para sucesiones () esto es equivalente a que (An)n=1 es una sucesión de Cauchy, de manera que se cumple que para cualquier ε>0 existe un kN tal que |AmAn|<ε m>nk, lo que es equivalente a que |an+1+an+2++am|<ε m>nk.

El siguiente teorema establece una condición necesaria para la convergencia de una serie.

Teorema 9.2 (Criterio de divergencia) Dada una serie an, si limnan0, entonces la serie diverge.

Prueba. Probaremos que si la serie converge, entonces limn=0.

Sea (An)n=1 la sucesión de las sumas parciales de de an. Si la serie an es convergente, entonces existe limnAn=l, y por las propiedades de las colas de sucesiones, también se cumple que limnAn1=l.

Por otro lado, como an=AnAn1 n2, se deduce que

limnan=limnAnAn1=limnAnlimnAn1=ll=0.

Advertencia

El teorema anterior permite establecer la divergencia de una serie cuando limnan0, pero no dice nada cuando limna0=0. De hecho, en este último caso, puede ocurrir que la serie converja, como ocurre con la serie 12n o que diverja como ocurre con la serie armónica 1n.

Ejemplo 9.6 Ya hemos visto antes que la serie (1)n no converge, porque la sucesión ((1)n)n=1 no converge.

La serie 2n23n2+n tampoco converge, pues limn2n23n2+n=230.

Corolario 9.1 Dada una serie an convergente, si an0 nN, entonces la serie de los términos inversos an1 diverge.

Prueba. La demostración es una consecuencia inmediata del criterio de divergencia, ya que si an converge, entonces limnan=0 y, por tanto, limnan1=1limnan=, por lo que la serie an1 diverge.

9.3 Series geométricas

En muchas casos de la vida real, aparecen sucesiones cuyo término n se obtiene multiplicando el término anterior por un mismo valor.

Definición 9.3 (Series geométricas) Dados dos números a,rR, la sucesión (a+ar+ar2++arn)n=1 se llama serie geométrica de razón r y se representa arn.

Ejemplo 9.7 La serie 12n de la paradoja de la dicotomía de Zenon es una serie geométrica de razón 1/2.

Proposición 9.3 La suma parcial de orden n de una serie geométrica arn es

An=i=0n=a1rn+11r

Prueba. La suma parcial de orden n de la serie geométrica de razón r es

An=a+ar+ar2+ar3++arn

Si multiplicamos An por la razón de las serie se obtiene

rAn=ar+ar2+ar3++arn+an+1.

Y si restamos las dos expresiones anteriores se obtiene

AnrAn=aan+1An=aan+11r.

Ejemplo 9.8 La suma parcial de orden 10 de la serie 12n es An=i=0n12n=112111121.9990234375.

Corolario 9.2 Una serie geométrica arn de razón r converge si y solo si |r|<1.

Prueba. La demostración es fácil a partir de la proposición anterior y se deja como ejercicio.

Ejemplo 9.9 La serie geométrica 12n converge ya que su razón es 12<1. Sin embargo, la serie geométrica (32)n no converge, ya que 321.

9.4 Series p

Otro tipo de series que aparece con bastante frecuencia en contextos reales son las llamadas series p, de las que la serie armónica es un caso particular.

Definición 9.4 (Series p) Dado un número pR, la serie 1np se conoce como serie p.

Ejemplo 9.10 La serie armónica 1n es una serie p con p=1, y la serie de los inversos de los cuadrados 1n2 es otra serie p con p=2.

Proposición 9.4 Una serie p 1np converge si y solo si p>1.

Prueba. Usando el criterio de divergencia, es fácil probar que la serie diverge para p0, ya que limn1np= si p<0 y limn1np=1 si p=0.

Más adelante se probará también que la serie p diverge para 0<p1 y converge para p>1.

Ejemplo 9.11 Ya se ha visto que la serie armónica 1n diverge, ya que p=1, mientras que la serie 1n2 converge al ser p=2>1. De hecho, la suma exacta de esta última serie es el famoso problema de Basilea que consiguió resolver Euler, demostrando que que n=11n2=π26 (la demostración se escapa de los conocimientos de este curso y puede verse en el enlace anterior).

Graficador de Series

9.5 Series telescópicas

Otro tipo de serie, menos frecuente, pero también interesante, son las series cuyos términos se van cancelando sucesivamente, de manera que la serie colapsa.

Definición 9.5 Dada una sucesión (an)n=1, las series de la forma (anan+1) se llaman series telescópicas.

Ejemplo 9.12 La serie 1n2+n es una serie telescópica, ya que

1n2+1=1n1n+1.

Proposición 9.5 Una serie telescópica (anan+1) converge si y solo si la sucesión (an)n=1 converge.

Prueba. Es fácil ver que la suma parcial de los n primeros términos es

An=i=1n(aiai+1)=(a1a2)+(a2a3)+(a3a4)+(anan+1)=a1an+1.

Por tanto,

limnAn=limna1an+1=a1limnan+1,

de manera que si existe limnan=l, la serie telescópica converge y n=1(anan+1)=a1l, y si no existe limnan, la serie diverge.

Ejemplo 9.13 La serie telescópica 1n1n+1 converge ya que limn1n=0, y por tanto, n=11n1n+1=1.

9.6 Convergencia de series de términos positivos

En esta sección se presentan algunos criterios para estudiar la convergencia de series an tales que todos sus términos son positivos, es decir, an0 nN. Este tipo de series aparecen de manera frecuente en muchos problemas donde siempre se suman cantidades positivas.

Teorema 9.3 (Criterio de acotación) Una serie an de términos positivos converge si y solo si la sucesión de sus sumas parciales está acotada.

Prueba. Como an0 nN, la sucesión (An)n=1 de las sumas parciales de an es monótona creciente y por el teorema de la convergencia monótona para sucesiones se tiene que (An)n=1 converge si y solo si está acotada.

Teorema 9.4 (Criterio de comparación de series) Dadas dos series de términos positivos an y bn tales que an<bn nN, entonces:

  1. Si bn converge, an converge.
  2. Si an diverge, bn diverge.

Prueba. Sean (An)n=1 y (Bn)n=1 las sucesiones de las sumas parciales de an y bn respectivamente. Como an<bn nN, se tiene que An<Bn nN.

Supongamos que bn converge. Entonces, por el teorema anterior, la sucesión de sus sumas parciales (Bn)n=1 está acotada. Sea k una cota de (Bn)n=1. Entonces An<Bnk nN, de manera que (An)n=1 está acotada y, por el teorema anterior converge.

Supongamos ahora que an diverge. Entonces, por el teorema anterior, (An)n=1 no está acotada y como An<Bn nN, (Bn)n=1 tampoco está acotada, así que, de nuevo por el teorema anterior, se concluye que (Bn)n=1 diverge.

Ejemplo 9.14 Veamos que la serie 2+sen(n+1)2n+n2 converge.

Para ello basta ver que se trata de una serie de términos positivos, y que

2+sen(n+1)2n+n232n+n232n

Como se ha visto antes, la serie 12n converge, de manera que 32n también converge, y por el teorema anterior, 2+sen(n+1)2n+n2 también converge.

Una forma bastante intuitiva de estudiar la convergencia de una serie es mediante la integral impropia del término general de la serie.

Teorema 9.5 (Criterio de la integral) Dada una serie an de términos positivos, si an=f(n) para una función f continua, positiva y decreciente en el intervalo [1,), entonces la serie converge si y solo si la integral impropia 1f(x)dx converge.

Prueba. Sea f una función continua, positiva y decreciente, tal que an=f(n) nN. Si tomamos la partición P={1,2,,n} del intervalo [1,n], al ser f decreciente, se tiene que la suma inferior de Riemann de f es

s(f,P)=i=1n1f(i+1)Δxi=f(2)+f(3)++f(n)=a2+a3++an,

Serie como suma inferior de Riemann

y, del mismo modo, la suma superior de Riemann de f es

S(f,P)=i=1n1f(i)Δxi=f(1)+f(2)++f(n1)=a1+a2++an1,

Serie como suma superior de Riemann

por lo que se cumple que

s(f,P)=i=2nai1nf(x)dxi=1n1ai=S(f,P) nN.

Por tanto, si la integral impropia 1f(x)dx converge, entonces la sucesión de las sumas parciales está acotada, ya que

An=i=1nai=a1+i=2naia1+1nf(x)dxa1+1f(x)dx nN,

y al ser una sucesión monótona creciente, por ser an>0 nN, se tiene, por el , que (An)n=1 converge.

Por otro lado, si la integral impropia diverge, entonces la sucesión de las sumas parciales no está acotada, ya que

An=i=1naii=1n1ai1nf(x)dx nN,

y como limn1nf(x)dx=, se tiene que limnAn=, por lo que la serie diverge.

Ejemplo 9.15 Veamos cómo podemos probar que la serie p n=11np converge para p>1 usando el criterio de la integral.

Para ello, consideramos la función f(x)=1xp, que es continua, positiva y decreciente en el intervalo [1,). Entonces, la integral impropia de f es

11xpdx=limn1n1xpdx=limn[x1p1p]1n=limn[n1p1p11p]=1p1,

y de acuerdo al criterio de la integral, la serie n=11np converge.

Sin embargo, para p<1 se tiene que la integral impropia es

11xpdx=limn[n1p1p11p]=,

por lo que, de acuerdo al criterio de la integral, la serie n=11np diverge.

Finalmente, para p=1, tenemos la serie armónica, y la integral impropia es

11xdx=limn[log(x)]1n=limnlog(n)=,

por lo que, de acuerdo al criterio de la integral, la serie armónica n=11n diverge, algo que ya habíamos probado.

Advertencia

El criterio de la integral permite averiguar si una serie de términos positivos converge o no, pero, cuando la serie converge, no tiene porqué cumplirse que la suma sea el valor de la integral indefinida.

Por ejemplo, n=11n2=π26, pero 11x2dx=1.

Aunque la integral impropia no siempre coincide con la suma de la serie, podemos usarla para calcular la suma de la serie de manera aproximada.

Si tomamos la suma parcial An=i=1nai como una aproximación de la suma n=1an, entonces el error de la aproximación viene dado por

Rn=n=1anAn=an+1+an+2+,

que se conoce también como residuo de la serie.

Proposición 9.6 Dada una serie an de términos positivos, si an=f(n) para una función f continua, positiva y decreciente en el intervalo [n,), y an converge, entonces

n+1f(x)dxRnnf(x)dx.

Prueba. Si f es decreciente en el intervalo [n,), entonces, tal y como se aprecia en la siguiente figura, el residuo se puede acotar superiormente por la integral impropia de f en el intervalo [n,), es decir,

Rn=an+1+an+2+nf(x)dx.

Y del mismo modo, puede acortarse inferiormente por la integral impropia de f en el intervalo [n+1,], es decir,

Rn=an+1+an+2+n+1f(x)dx.

Ejemplo 9.16 Vamos a dar una aproximación para la serie 1n2 usando la suma parcial de orden 5, que vale

A5=i=151n2=1+14+19+116+125=1.4636111111.

Usando la proposición anterior se puede obtener una cota para el residuo de la serie, que es

61x2dxR551x2dx,[1x]6R5[1x]5,16R515.

Por tanto, la suma de la serie 1n2 está acotada por

1.4636111111+16n=11n21.4636111111+15.

Teorema 9.6 (Criterio del cociente) Dadas dos series de términos positivos an y bn, si existe el límite

limnanbn=l

con l>0, entonces an converge si y solo si bn converge.

Prueba. Supongamos que limnanbn=l>0. Entonces, por la definición de límite, dado un ε=l/2 existe un kN tal que nk se tiene

|anbnl|<l2l2<anbn<3l2l2bn<an<3l2bn.

Así pues, si bn converge, también converge 3l2bn, y como an<3l2bn nk, por el criterio de comparación de series, se tiene que an también converge.

Por otro lado, si bn diverge, también diverge l2bn, y como l2bn<an nk, por el criterio de comparación de series, se tiene que an también diverge.

Ejemplo 9.17 Veamos que la serie 12nn converge. Ya hemos visto que la serie 12n converge, pero no podemos usar directamente el criterio de comparación de series porque 12nn>12n nN. Sin embargo, usando el criterio del cociente se tiene

limn12nn12n=limn2n2nn=limn11n2n=1>0,

por lo que, como 12n converge, 12nn también.

Advertencia

Para poder aplicar el criterio del cociente, es necesario que limnanbn exista y sea estrictamente positivo, ya que si limnanbn=0, es posible que una sucesión converja y la otra no.

Ejemplo 9.18 Si tomamos la serie geométrica 12n y la serie armónica 1n, se cumple que

limn12n1n=limnn2n=0.

Sin embargo, ya hemos visto que una converge y la otra no.

9.7 Convergencia de series alternadas

Los resultados de la sección anterior solo se aplican a series de términos positivos, pero en ocasiones, la sucesión a partir de la que se construye la serie es de términos alternados, es decir, el signo de los sucesivos términos va cambiando. Un ejemplo es la serie armónica alternada que ya se ha tratado. A continuación se presentan algunos resultados para estudiar este tipo de series.

Teorema 9.7 (Criterio de la serie alternada (Leibniz)) Dada una serie alternada (1)n1an, con an>0, si (an)n=1 es monótona decreciente y limnan=0, entonces la serie converge.

Prueba. Supongamos que (an)n=1 es monótona decreciente, es decir, an+1an nN, y además limnan=0. Entonces, si construimos la sucesión de las sumas parciales de orden par, se tiene

A2=a1a20A4=a1a2+a3a4=A2+(a3a4)A2A6=a1a2+a3a4+a5a6=A4+(a5a6)A4A2n=a1a2+a3a4++a2n1a2n=A2n2+a2n1a2nA2n2,

de manera que se obtiene una sucesión monótona creciente.

Por otro lado, si agrupamos los términos de la sucesión de la siguiente manera,

A2n=a1(a2a3)(a4a5)(a2n2a2n1)a2n,

es fácil ver que A2na1, ya que todos los términos entre paréntesis son positivos, y también a2n. Así pues, por el la serie converge y limnA2n=l.

Si calculamos ahora el límite de la sucesión de las sumas parciales de orden impar, se tiene,

limnA2n+1=limnA2n+a2n+1=limnA2n+limna2n+1=l+0=l.

Por consiguiente, como las subsucesiones de los términos pares e impares convergen al mismo número, la sucesión de las sumas parciales de orden n también converge a ese número, es decir n=1(1)n1an=limnAn=l.

Ejemplo 9.19 La serie armónica alternada (1)n1n cumple las condiciones del teorema anterior, ya que, 1n+11n nN, y además limn1n=0, por lo que converge.

Veamos ahora que la serie (1)n1nn2+1 también cumple las condiciones del teorema. La primera condición se cumple ya que,

n+1(n+1)2+1nn2+1(n+1)2+1n+1n2+1n(n+1)+1n+1n+1n,

lo cual es cierto nN, por que, en particular, n+1n+1n.

Por otro lado,

limnnn2+1=limn1n+1n=0, de manera que la segunda condición también se cumple, y por tanto, las serie converge.

9.8 Convergencia absoluta

Hemos visto en el caso de series de términos positivos que una serie converge cuando sus términos se hacen pequeños lo suficientemente rápido, o en el caso de series alternadas, cuando, a pesar de que los términos no decrezcan los suficiente mente rápido, los términos positivos se van cancelando con los negativos para obtener una suma finita. En general, si los términos de una serie decrecen lo suficiente mente rápido sin tener en cuenta su signo, es decir, en valor absoluto, se puede asegurar que la serie converge, independientemente de qué términos de la serie son positivos o negativos.

Definición 9.6 (Serie absolutamente convergente) Una serie an es absolutamente convergente si la serie de los valores absolutos de sus términos |an| converge.

Si la serie es de términos positivos, entonces |an|=an nN y, por tanto, la convergencia y la convergencia absoluta son equivalentes. Pero si la serie es alternante o tiene tanto términos positivos como negativos, puede ocurrir que la serie sea convergente pero no absolutamente convergente.

Ejemplo 9.20 La serie (1)nn2 es absolutamente convergente ya que |(1)nn2|=1n2, que es convergente al ser una serie p con p=2.

Que una serie sea absolutamente convergente quiere decir que sus términos se hacen pequeños (en valor absoluto) lo suficientemente rápido para garantizar que la suma converge sin tener en cuenta su signo.

Definición 9.7 (Serie condicionalmente convergente) Una serie an es condicionalmente convergente si es convergente pero no absolutamente convergente.

Ejemplo 9.21 Ya hemos visto que la serie armónica alternada (1)nn es convergente, pero no es absolutamente convergente, ya que |(1)nn|=1n, que se trata de la serie armónica, y por tanto, no converge. Por tanto la serie armónica alternada es condicionalmente convergente.

Teorema 9.8 Si una serie es absolutamente convergente, entonces es convergente.

Prueba. Partimos del hecho de que an=|an| o an=|an|, y por tanto, an+|an|=2|an| o an+|an|=0, y se tiene que 0an+|an|2|an| nN. Como |an| converge, 2|an| también converge, y por el criterio de comparación de series se tiene que an+|an| converge. De aquí se deduce fácilmente que

an=an+|an||an|=(an+|an|)|an|=(an+|an|)|an|, que converge por ser la resta de dos series convergentes.

Teorema 9.9 (Criterio de la razón (D’Alembert)) Dada una serie an, se cumple:

  1. Si limn|an+1an|=l<1, entonces la serie es absolutamente convergente.
  2. Si limn|an+1an|=l>1 o limn|an+1an|=, entonces la serie es divergente.

Prueba. Veamos la prueba de cada caso.

  1. Supongamos que limn|an+1an|=l<1 y sea r tal que l<r<1. Por la definición de límite se tiene que existe kN tal que |an+1an|<r nk, es decir, |an+1|<|an|r nk. De aquí se deduce que

    |ak+1|<|ak|r|ak+2|<|ak+1|r<|ak|r2|ak+31<|ak+2|r<|ak+1|r2<|ak|r3|ak+n|<|ak|rn.

    Así pues, como |ak|rn es una serie geométrica con r<1, converge, y aplicando el criterio de comparación de series de términos positivos, nk|an| también converge, y como un número finito de sumandos no influye en la convergencia de la serie, se concluye que an converge.

  2. Supongamos ahora limn|an+1an|=l>1. Entonces existe kN tal que |an+1an|>1 nk, es decir, |an+1|>|an| nk, de donde se deduce que limnan0, y según el criterio de la divergencia, an diverge.

    El mismo razonamiento se puede aplicar si limn|an+1an|=.

Ejemplo 9.22 Veamos que la serie (1)nn22n es absolutamente convergente aplicando el criterio de la razón.

limn|an+1an|=limn|(1)n+1(n+1)22n+1(1)nn22n|=limn(n+1)22n+12nn2=limn12(n+1n)2=12limn(1+1n)2=12<1, y por tanto, la serie es absolutamente convergente.

Advertencia

limn|an+1an|=1, el criterio de la razón no garantiza nada, es decir, la serie podría ser convergente o divergente.

Teorema 9.10 (Criterio de la raíz (Cauchy)) Dada una serie an, se cumple:

  1. Si limn|an|n=l<1, entonces la serie es absolutamente convergente.
  2. Si limn|an|n=l>1, o limn|an|n=, entonces la serie es divergente.

Prueba. La demostración es similar a la del criterio de la razón.

  1. Supongamos que limn|an|n=l<1 y sea r tal que l<r<1. Por la definición de límite se tiene que existe kN tal que |an|n<r nk, es decir, |an|<rn nk. Como rn es una serie geométrica con r<1, converge, y aplicando el criterio de comparación de series de términos positivos, nk|an| también converge, y como un número finito de sumandos no influye en la convergencia de la serie, se concluye que an converge.

  2. Supongamos que limn|an|n=l>1 y sea r tal que 1<r<l. Por la definición de límite se tiene que existe kN tal que |an|n>r nk, es decir, |an|>rn nk. Como rn es una serie geométrica con r>1, diverge, y aplicando el criterio de comparación de series de términos positivos, nk|an| también diverge, y por tanto an diverge.

Ejemplo 9.23 Veamos que la serie (3n2n+1)n diverge aplicando el criterio de la raíz. Para ello basta ver que

limn(3n2n+1)nn=limn3n2n+1=limn32+1n=32>1.

9.9 Series de potencias

Del mismo modo que hemos estudiado las series que se obtienen a partir de una sucesión numérica, en Análisis resulta también interesante estudiar las series que se obtienen a partir de una sucesión de funciones.

Definición 9.8 (Serie funcional) Dada una sucesión de funciones (fn)n=1, se llama serie de funciones o serie funcional de término general fn a la sucesión (Fn)n=1, cuyos términos se obtienen sumando consecutivamente las n primeras funciones de (fn)n=1, es decir,

(Fn)n=1=(i=1nfi)n=1.

El número Fn=i=1nfi se llama suma funcional parcial de orden n de la serie funcional, y habitualmente utilizaremos la notación fn para referirnos a la serie funcional de término general fn.

Las primeras sumas funcionales parciales de la serie funcional xn2 son

F1=xF2=x+x4F3=x+x4+x9Fn=i=1nxi2

Importante

Debe quedar claro que una serie funcional es una sucesión funcional, y por tanto, todos los resultados vistos para sucesiones funcionales son válidos para las series funcionales.

Una serie funcional puede ser convergente para algunos valores de x y divergente para otros.

Ejemplo 9.24 La serie funcional xn es una serie geométrica de razón x, de modo que, será convergente cuando |x|<1 y divergente en caso contrario.

Definición 9.9 (Dominio de convergencia puntual de una serie funcional) Dada una serie funcional fn, se llama dominio de convergencia puntual de las serie al conjunto C={xR:fn(x) converge}

Definición 9.10 (Función suma de una serie funcional) Dada una serie funcional fn con dominio de convergencia puntual C, se llama función suma de la serie, a la función F:CR definida por F(x)=n=1fn(x), xC.

Ejemplo 9.25 El dominio de convergencia puntual de la serie funcional xn2 es R, ya que xR, xn2=x1n2, que converge al ser 1n2 convergente. Además, como vimos que n=11n2=π26, se tiene que su su función suma es n=1xn2=xn=11n2=π26x.

De particular interés son las series que se obtienen a partir de sucesiones de la forma (cnxn)n=1 que dan lugar a polinomios. Como ya vimos con los polinomios de Taylor, estas series nos permitirán estudiar funciones complicadas mediante simples polinomios.

Definición 9.11 (Serie de potencias) Dado un número real aR y una sucesión de números reales (cn)n=0, se llama serie de potencias centrada en a a la serie cn(xa)n.

La sucesión (cn)n=0 se llama sucesión de coeficientes de la serie, y al término c0 se le llama término independiente.

Ejemplo 9.26 Tomando a=0 y la sucesión de coeficientes (1n)n=1, se tiene la serie de potencias xnn, cuyas primeras sumas funcionales parciales son

F1=xF2=x+x22F3=x+x22+x33Fn=i=1nxii

Para cualquier serie de potencias cn(xa)n, está claro que a pertenece al dominio de convergencia puntual de la serie, pues para x=a se tiene n=1cn(aa)n=c0. Veremos a continuación un par resultados que nos ayudarán a ver para qué otros valores de x la serie de potencias converge.

Proposición 9.7 Dada una serie de potencias cnxn centrada en el 0,

  1. Si la serie converge para x=b0, entonces converge para cualquier x tal que |x|<|b|.
  2. Si la serie diverge para x=d0, entonces diverge para cualquier x con |x|>|d|.

Prueba. Veamos la prueba de cada parte.

  1. Supongamos cnbn converge. Entonces, por el criterio de divergencia se tiene que limncnbn=0, y, por tanto, tomando ε=1, existe un kN tal que |cnbn|<1 nk. De esta manera se cumple

    |cnxn|=|cnbnxnbn|=|cnbn||xb|n<|xb|n,

    Como (xb)n es una serie geométrica, converge para |xb|<1, es decir, |x|<|b|, y en tal caso, por el criterio de comparación de series, |cnxn| converge, de modo que cnxn es absolutamente convergente.

  2. Supongamos ahora que cndn diverge. Entonces para cualquier |x|>|d| la serie cnxn no puede converger porque por el resultado anterior, si cnxn converge, también debería converger cndn al ser |d|<|x|.

Ejemplo 9.27 Ya se vio que la serie armónica 1n es divergente, y por tanto, la serie de potencias xnn es divergente para x=1, lo que significa, según la proposición anterior, que también diverge para |x|>1. Por otro lado, para x=1/2, se tiene la serie

(12)nn=1n2n,

que, por el criterio de comparación de series, converge al ser 1n2n12n nN y ser 12n convergente. Eso significa que la serie de potencias también converge para |x|12.

Más adelante se mostrará que el dominio de convergencia puntual de esta serie de potencias es el intervalo [1,1).

Corolario 9.3 Dada una serie de potencias cn(xa)n centrada en el a,

  1. Si la serie converge para x=ba, entonces converge para cualquier x tal que |xa|<|ba|.
  2. Si la serie diverge para x=da, entonces diverge para cualquier x con |xa|>|da|.

Prueba. La demostración es sencilla a partir de la proposición anterior haciendo el cambio de variable y=xa, y se deja como ejercicio.

El siguiente teorema resulta de gran utilidad a la hora de determinar el dominio de convergencia puntual de una serie de potencias.

Teorema 9.11 (Radio de convergencia) Dada una serie de potencias cn(xa)n, se cumple que, o bien el dominio de convergencia puntual es R, o bien existe un número R0, llamado radio de convergencia tal que la serie converge si |xa|<R y diverge si |xa|>R.

Prueba. Sea el conjunto A={xa:cn(xa)n converge}. Entonces A ya que cn(xa)n converge, al menos, para x=a, y por tanto 0A. Supongamos además que AR. Entonces existe un número da tal que la serie cn(da)n diverge, y por el corolario anterior, también diverge para |xa|>|da|, de manera que |xa||da| (xa)A, y por el axioma de completitud se tiene que existe el supremo de A.

Sea R=sup(A). Si |xa|>R, entonces (xa)A, por lo que cn(xa)n diverge. Y si |xa|<R, entonces |xa| no es una cota superior de A, de manera que existe (ba)A tal que ba>|xa|. Como baA, cn(ba)n converge, y por el corolario anterior, cn(xa)n también converge.

Advertencia

El teorema anterior no afirma nada sobre los puntos |xa|=R. De hecho, en estos los puntos la serie puede converger o divergir. Y tampoco proporciona un procedimiento para calcular el radio de convergencia de una serie de potencias. Afortunadamente, los siguientes teoremas permitirán su cálculo la mayoría de las veces.

Teorema 9.12 Dada una serie de potencias cn(xa)n, si la sucesión (|cn|n)n=1 converge, entonces el radio de convergencia de la serie de potencias es

R=1limn|cn|n.

Prueba. Se deja como ejercicio usando el criterio de la raíz.

Ejemplo 9.28 Veamos cuál es el dominio de convergencia puntual de la serie de potencias (x2)nn. Utilizando el teorema anterior, el radio de convergencia de la serie es

R=1limn|1n|n=11=1

Por tanto, la serie converge para todo |x2|<1, es decir, 1<x<3. En x=1 y x=3 el teorema del radio de convergencia no dice nada, pero podemos estudiar la convergencia de estos dos casos particulares. En x=1 tenemos la serie (1)nn que es la serie armónica alternada, y por tanto, converge. Y en x=3 tenemos la serie 1n que es la serie armónica, y por tanto diverge.

Así pues, el dominio de convergencia puntal de la serie de potencias es el intervalo [1,3).

Teorema 9.13 Dada una serie de potencias cn(xa)n, si cn0 nN y la sucesión (cncn+1)n=1 converge, entonces el radio de convergencia de la serie de potencias es

R=limn|cncn+1|.

Prueba. Se deja como ejercicio usando el criterio de la razón.

Ejemplo 9.29 Veamos cuál es el dominio de convergencia puntual de la serie de potencias xnn. Utilizando el teorema anterior, el radio de convergencia de la serie es

R=limn1/n1/n+1=limnn+1n=1.

Por tanto, la serie converge para |x|<1. En x=1 la serie que resulta es la serie armónica, que es divergente, y en x=1 la serie que resulta es la serie armónica alternada que converge.

Así pues, el domino de convergencia puntual de la serie de potencias es el intervalo [1,1).

Las funciones que pueden representarse mediante una serie de potencias en un intervalo de su dominio tienen propiedades muy interesantes, como que son infinitamente derivables en ese intervalo.

Definición 9.12 (Función analítica) Dada una función f:RR, se dice que f es analítica en un intervalo I, si para cualquier aI f se puede expresar como una serie de potencias centrada en a, es decir,

f(x)=n=1cn(xa)n

para cualquier x en un entorno de a.

Ejemplo 9.30 Cualquier polinomio de grado n es una función analítica en todo R ya que puede representarse trivialmente como una serie de potencias tomando coeficientes nulos para los términos de grado mayor que n.

Otras funciones elementales como la función exponencial, la función logarítmica y las trigonométricas son también analíticas en cualquier intervalo abierto de su dominio.

9.10 Series de Taylor

En la sección se vio como aproximar el valor de una función en un punto mediante un polinomio de grado n. En esta sección veremos como explotar la misma idea para expresar funciones mediante series de potencias. Esta técnica resulta útil para estudiar funciones complicadas usando su expresión como serie de potencias.

Definición 9.13 (Serie de Taylor) Dada una función f(x) con derivadas de orden n en a nN, se define la serie de Taylor de f centrada en a, como

f(n)(a)n!(xa)n.

Ejemplo 9.31 Veamos cuál es la serie de Taylor de la función f(x)=ln(x) en a=1. Para ello calculamos las primeras derivadas de f en a=1.

f(x)=lnxf(1)=ln1=0,f(x)=1/xf(1)=1/1=1,f(x)=1/x2f(1)=1/12=1,f(x)=2/x3f(1)=2/13=2,f(x)=3!/x4f(1)=3!f(n)(x)=(1)n1(n1)!/xnf(n)(x)=(1)n1(n1)!

Sustituyendo en la fórmula de la serie de Taylor se tiene

f(n)(1)n!(x1)n=(1)n1(n1)!n!(x1)n=(1)n1n(x1)n.

Su suma parcial de orden n es

An(x)=i=1n(1)i1i(x1)i=(x1)12(x1)2+13(x1)3++(1)n1n(x1)n,

que resulta ser el polinomio de Taylor de orden n de f en a=1.

Un caso particular bastante habitual es la serie de Taylor en a=0.

Definición 9.14 (Serie de Maclaurin) Dada una función f(x) con derivadas de orden n en 0 nN, se define la serie de Maclaurin de f, como

f(n)(0)n!xn.

Ejemplo 9.32 Veamos cuál es la serie de Maclaurin de la función f(x)=11x. Para ello calculamos las primeras derivadas de f en 0.

f(x)=11xf(0)=1,f(x)=1(1x)2f(0)=1,f(x)=2(1x)3f(0)=2,f(x)=3!(1x)4f(0)=3!,f(n)(x)=n!(1x)(n+1)f(n)(0)=n!

Sustituyendo en la fórmula de la serie de Maclaurin se tiene

f(n)(0)n!xn=n!n!xn=xn

que es una serie geométrica de razón x, y por tanto, converge para |x|<1, con suma n=1xn=11x, es decir, f(x) coincide con la suma de sus serie de Maclaurin para |x|<1.

Teorema 9.14 Si f es una función analítica en un intervalo I, entonces para cualquier aI se cumple que

f(x)=n=1fn(a)n!(xa)n

xC.

Prueba. Supongamos que f es analítica en el intervalo I. Entonces, para cualquier aI, f puede expresarse mediante una serie de potencias centrada en a,

f(x)=c0+c1(xa)+c2(xa)2+c3(xa)3+

xC. En particular, para x=a se tiene

f(a)=c0+c1(aa)+c2(aa)2+c3(aa)3+=c0.

Como las series de potencias se pueden derivar término a término (como si fuesen polinomios) en el interior del dominio de convergencia, es decir, son infinitamente derivables en |xa|<R, se tiene que la primera derivada de f vale

f(x)=c1+2c2(xa)+3c3(xa)2+4c4(xa)4

y en x=a se tiene

f(a)=c1+2c2(aa)+3c3(aa)2+4c4(aa)4=c1

La segunda derivada de f vale

f(x)=2c2+32c3(xa)+43c4(xa)2

y en x=a se tiene

f(a)=2c2+32c3(aa)+43c4(aa)2=2c2c2=f(a)2!

La tercera derivada de f vale

f(x)=3!c3+432c4(xa)+543c5(xa)2

y en x=a se tiene

f(a)=3!c3+432c4(aa)+543c5(aa)2=3!c3f(a)3!

Continuando con este proceso, se deduce que

cn=f(n)(a)n!,

por lo que la suma que se obtiene es

f(x)=n=1fn(a)n!(xa)n,

que es la serie de Taylor de f centrada en a.

Advertencia

El teorema anterior garantiza que si una función es analítica en un intervalo I, entonces puede representarse mediante la serie es la serie de Taylor en a, aI, pero no todas las funciones son analíticas.

Ejemplo 9.33 La función

f(x)={e1/x2si x00x=0

es infinitamente derivable en x=0 y f(n)(0)=0 nN, de manera que su serie de Maclaurin es 0, que obviamente, converge para cualquier número xR, pero su suma, que es nula, no coincide con f salvo en x=0.

Cabe preguntarse, ¿cuándo f(x)=n=1fn(a)n!(xa)n?

Evidentemente, esta igualdad no se cumple para los valores de x fuera del dominio de f, y tampoco para los valores fuera del dominio de convergencia puntual de la serie. Pero además se tiene que cumplir la siguiente condición.

Teorema 9.15 Si f(x)=pf,an(x)+rf,an(x), donde pf,an(x) es el polinomio de Taylor de grado n de f en a y rf,an(x) es su resto, y

limnrf,an(x)=0

para |xa|<R, entonces f(x) es igual a la suma de su serie de Taylor centrada en a en el intervalo |xa|<R.

Prueba. Sea f(x)=pf,an(x)+rf,an(x) y supongamos que limnrf,an(x)=0. Entonces pf,an(x)=f(x)rf,an(x), y tomando límites se tiene

limnpf,an(x)=limnf(x)rf,an(x)=f(x)limnrf,an(x)=f(x).

Ejemplo 9.34 Veamos que sen(x)=n=0(1)nx2n+1(2n+1)! xR.

El polinomio de Maclaurin de grado 2n+1 para la función sen(x) es

pf,02n+1(x)=i=0n(1)ix2i+1(2i+1)!

y su resto en la forma de Lagrange es

rf,a2n+1(x)=(1)n+1x2n+3(2n+3)!cos(c),

donde c(0,x) si x>0 y c(x,0) si x<0.

Como |cos(c)|1 cR, se tiene que

(1)n+1x2n+3(2n+3)!(1)n+1x2n+3(2n+3)!cos(c)(1)n+1x2n+3(2n+3)!

y como

limn(1)n+1x2n+3(2n+3)!=limn(1)n+1x2n+3(2n+3)!=0,

por el teorema de compresión de límites, se tiene que

limnrf,a2n+1(x)=limn(1)n+1x2n+3(2n+3)!cos(c)=0.

9.10.1 Series de Maclaurin de funciones elementales

La siguiente tabla recoge las series de Maclaurin de algunas funciones elementales habituales.

f(x) n=1f(n)(0)n!xn Dominio convergencia
11x 1+x+x2+x3+=n=0xn (1,1)
ex 1+x+x22!+x33!+=n=0xnn! R
ln(1+x) xx22+x33=n=0(1)n1xnn (1,1]
sen(x) xx33!+x55!=n=0(1)nx2n1(2n1)! R
cos(x) 1x22!+x44!=n=0(1)nx2n(2n)! R
arctg(x) xx33+x55=n=0(1)nx2n+1(2n+1) (1,1)
(1+x)k 1+kx+k(k1)2!x2+k(k1)(k2)3!x3+=n=0(kn)xn (1,1)