20 2026-01-13
Examen de Análisis I
Ejercicio 20.1 Dada la colección de conjuntos \(A_n = \left[1-\frac{2}{n}, 2+\frac{1}{n}\right)\) con \(n \in \mathbb{N}\), calcular para cada uno de los conjuntos \(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\) y \(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\):
- Supremo, ínfimo, máximo y mínimo.
- Puntos interiores, puntos exteriores y puntos frontera.
- Determinar si son abiertos o cerrados.
Justificar la respuesta de cada apartado.
Antes de nada veamos qué son los conjuntos \(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n\) y \(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n\). Los primeros conjuntos de la coleción son:
\[\begin{align*} A_1 & = \left[-1, 3\right) \\ A_2 & = \left[0, 2.5\right) \\ A_3 & = \left[\frac{1}{3}, 2+\frac{1}{3}\right) \\ A_4 & = \left[\frac{1}{2}, 2.25\right) \\ & \ldots \end{align*}\]
Podemos observar que se trata de una colección de intervalos encajados, es decir, cada conjunto está contenido en el anterior. Por tanto, es fácil ver que \(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n = A_1 = \left[-1, 3\right)\) y que \(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n = \lim_{n \to \infty} A_n = [1, 2]\).
Para el conjunto \(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n = \left[-1, 3\right)\) se tiene que el ínfimo es \(-1\), que coincide con el mínimo al estar incluido en el conjunto, y que el supremo es \(3\), pero no hay máximo al no estar este valor incluido en el conjunto.
Para el conjunto \(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n = [1, 2]\) se tiene que el ínfimo es \(1\), que coincide con el mínimo al estar incluido en el conjunto, y que el supremo es \(2\), que coincide con el máximo al estar este valor incluido en el conjunto.
Para el conjunto \(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n = \left[-1, 3\right)\), al tratarse de un intervalo, los puntos interiores son todos los puntos del intervalo \((-1, 3)\), los puntos frontera son \(-1\) y \(3\), y los puntos exteriores son los del conjunto \((-\infty, -1) \cup (3, \infty)\).
Para el conjunto \(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n = [1, 2]\), al tratarse de un intervalo cerrado, los puntos interiores son todos los puntos del intervalo \((1, 2)\), los puntos frontera son \(1\) y \(2\), y los puntos exteriores son los del conjunto \((-\infty, 1) \cup (2, \infty)\).
El conjunto \(\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n = \left[-1, 3\right)\) no abierto porque contiene el punto \(-1\) que es un punto frontera, y tampoco es cerrado, porque su complementario contiene el punto \(3\) que es otro punto frontera.
El conjunto \(\bigcap_{n=1}^{\infty} A_n = [1, 2]\) no es abierto porque contiene los puntos \(1\) y \(2\) que son puntos frontera, pero sí es cerrado porque su complementario \((-\infty, 1) \cup (2, \infty)\) es la unión de intervalos abiertos, y por tanto es abierto.
Ejercicio 20.2 Calcular el límite de las siguientes sucesiones.
- \(\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)_{n=1}^\infty\)
- \(\left(\frac{(n+1)!}{n^n}\right)_{n=1}^\infty\)
Para calcular el primer límite multiplicamos y dividimos por el conjugado.
\[\begin{align*} \lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n^2+n}-n\right) &= \lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n^2+n}-n)(\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1} = \frac{1}{2} \end{align*}\]
A priori, \(n^n\) crece más rápido que \((n+1)!\), por lo que el límite debería ser 0. Para demostrarlo, utilizaremos el criterio del cociente, ya que tanto \((n+1)!\) como \(n^n\) son valores positivos y todos los términos de la sucesión son positivos.
\[\begin{align*} \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{(n+2)!}{(n+1)^{n+1}}}{\frac{(n+1)!}{n^n}} &= \lim_{n \to \infty} \frac{(n+2)! n^n}{(n+1)^{n+1} (n+1)!} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{(n+2)(n+1)! n^n}{(n+1)^n(n+1) (n+1)!} \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{n+2}{n+1}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n \\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{n+2}{n+1} \cdot \lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \\ &= \lim_{n\to \infty}\frac{1+\frac{2}{n}}{1+\frac{1}{n}} \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\left(\frac{n+1}{n}\right)^n} \\ &= 1 \cdot \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^n} \\ &= \frac{1}{e} < 1. \end{align*}\]
Así pues, aplicando el criterio del cociente, concluimos que \(\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{n^n} = 0\).
Ejercicio 20.3 Demostrar que \(\lim_{x\to 0} (1+x)^{1/x} = e\) teniendo en cuenta que en un entorno de \(0\) se cumple \(\frac{x}{1+x} \leq \ln(1+x) \leq x\).
Demostrar, sin embargo, que \(\lim_{x\to 0}\left(1+x\operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)\right)^{1/x}\) no existe. No usar la regla de L`Hôpital.
Demostrar que \(\lim_{x\to 0} (1+x)^{1/x} = e\) es equivalente a demostrar que \(\lim_{x\to 0} \ln\left((1+x)^{1/x}\right) = \ln(e) = 1\), aplicando la función logaritmo, que es continua. Veamos que esto último es cierto.
\[ \lim_{x\to 0} \ln\left((1+x)^{1/x}\right) = \lim_{x\to 0} \frac{1}{x} \ln(1+x) = \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} \]
Sabiendo que \(\frac{x}{1+x} \leq \ln(1+x) \leq x\) en un entorno de 0, podemos dividir toda la desigualdad por \(x\). Para \(x>0\), se tiene
\[ \frac{1}{1+x} \leq \frac{\ln(1+x)}{x} \leq 1, \]
y para \(x<0\), se tiene
\[ \frac{1}{1+x} \geq \frac{\ln(1+x)}{x} \geq 1, \]
al invertirse las desigualdades.
En ambos casos, la función \(\frac{\ln(1+x)}{x}\) está acotada por las funciones \(\frac{1}{1+x}\) y \(1\) cuando \(x \to 0\). Como \(\lim_{x\to 0} \frac{1}{1+x} = 1\) y \(\lim_{x\to 0} 1 = 1\), por el teorema de la compresión de funciones, se concluye que
\[ \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} = 1, \]
y, por lo tanto, \(\lim_{x\to 0} (1+x)^{1/x} = e\).
Para demostrar que \(\lim_{x\to 0}\left(1+x\operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)\right)^{1/x}\) no existe, consideremos las sucesiones \(x_n = \frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}\) y \(y_n = \frac{1}{2n\pi}\), que ambas tienden a 0 cuando \(n \to \infty\). Para estas sucesiones se cumple que \(\operatorname{sen}\left(\frac{1}{x_n}\right) = \operatorname{sen}(2n\pi+\frac{\pi}{2}) = 1\) y \(\operatorname{sen}\left(\frac{1}{y_n}\right) = \operatorname{sen}(2n\pi) = 0\). Así pues, si calculamos los límites de la función para estas dos sucesiones obtenemos
\[\begin{align*} \lim_{n \to \infty} \left(1+x_n \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x_n}\right)\right)^{1/x_n} &= \lim_{n \to \infty} (1+x_n\cdot 1)^{1/x_n} \\ &= \lim_{x_n\to 0} (1+x_n)^{1/x_n} = e,\\ \lim_{n \to \infty} \left(1+y_n \operatorname{sen}\left(\frac{1}{y_n}\right)\right)^{1/y_n} &= \lim_{n \to \infty} \left(1+y_n\cdot 0\right)^{1/y_n} \\ &= \lim_{n \to \infty} 1^{1/y_n} \\ &= \lim_{y_n\to 0} 1^{1/y_n} = 1, \end{align*}\]
y como los límites son distintos, por el criterio de las sucesiones se concluye que el límite \(\lim_{x\to 0}\left(1+x\operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)\right)^{1/x}\) no existe.
Ejercicio 20.4 Demostrar que \(\lim_{x\to 1} \frac{x^3-1}{x-1} = 3\) usando la definición de límite.
Para demostrar que \(\lim_{x\to 1} \frac{x^3-1}{x-1} = 3\) usando la definición de límite, debemos probar que para todo \(\varepsilon > 0\), existe un \(\delta > 0\) tal que si \(|x - 1| < \delta\), entonces \(\left|\frac{x^3-1}{x-1} - 3\right| < \varepsilon\).
Si factorizamos el numerador, tenemos que \(x^3-1 = (x-1)(x^2 + x + 1)\), por lo que
\[ \frac{x^3-1}{x-1} = x^2 + x + 1, \]
siempre que \(x \neq 1\), alqo que podemos asumir en el cálculo del límite puesto que estamos considerando valores de \(x\) cercanos a 1 pero distintos de 1. Así pues,
\[ \begin{gathered} \left|\frac{x^3-1}{x-1} - 3\right| < \varepsilon \Leftrightarrow |x^2 + x + 1 - 3| < \varepsilon \Leftrightarrow |x^2 + x - 2| < \varepsilon \\ \Leftrightarrow |(x-1)(x+2)| < \varepsilon \Leftrightarrow |x-1||x+2| < \varepsilon. \end{gathered} \]
Por tanto, si acotamos \(|x+2|\) en un entorno de 1, podremos encontrar un \(\delta\) adecuado. Imponiendo que \(|x-1| < 1\), se tiene que
\[ |x-1| < 1 \Leftrightarrow 1 < x-1 < 1 \Leftrightarrow 0 < x < 2, \Leftrightarrow 2 < x+2 < 4, \Leftrightarrow |x+2| < 4. \]
Así pues,
\[ |x-1||x+2| < 4|x-1| < \varepsilon \Leftrightarrow |x-1| < \frac{\varepsilon}{4}, \]
De este modo, si tomamos \(\delta = \min\left\{1, \frac{\varepsilon}{4}\right\}\), se cumple que si \(|x-1| < \delta\), entonces \(\left|\frac{x^3-1}{x-1} - 3\right| < \varepsilon\), y por tanto, hemos demostrado que \(\lim_{x\to 1} \frac{x^3-1}{x-1} = 3\).
Ejercicio 20.5 El método de Newton es un método iterativo para encontrar raíces de una función derivable en un entorno de las raíces. En cada iteración se parte de un valor aproximado \(x_n\) donde la función es derivable y se calcula la siguiente aproximación utilizando el punto de corte con el eje \(X\) de la recta tangente a la gráfica de la función en ese punto, tal y como se muestra en la siguiente figura.
Calcular la fórmula general de recurrencia del método de Newton.
Utilizar el método de Newton para encontrar una aproximación de la raíz de la función \(f(x) = e^x-x^2\) tomando \(x_0=2\). Realizar solo dos iteraciones del método.
¿Cómo podría utilizarse el método para calcular de manera aproximada los extremos relativos o los puntos de inflexión de una función? Dar la fórmula general de recurrencia para ello.
La ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función \(f\) en un punto \(x_n\) es \(y = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n)\). El punto de corte con el eje \(X\) se obtiene igualando \(y=0\) y despejando \(x\).
\[ 0 = f(x_n) + f'(x_n)(x - x_n) \Leftrightarrow f'(x_n)(x - x_n) = -f(x_n) \Leftrightarrow x = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}. \]
Por tanto, la fórmula general de recurrencia del método de Newton es: \[ x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}. \]
Para la función \(f(x) = e^x - x^2\), se tiene que \(f'(x) = e^x - 2x\). Aplicando la fórmula del método de Newton, comenzando con \(x_0 = 2\) tenemos:
Iteración 1: \[ x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = 2 - \frac{e^2 - 4}{e^2 - 4} = 2 - 1 = 1. \]
Iteración 2: \[ x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} = 1 - \frac{e^1 - 1}{e^1 - 2} = 1 - \frac{e - 1}{e - 2} \approx -1.3922. \]
Por tanto, después de dos iteraciones, la aproximación de la raíz es \(x_2 \approx -1.3922\).
Para encontrar extremos relativos o puntos de inflexión de una función \(f\), podemos aplicar el método de Newton a la derivada \(f'\) para encontrar los puntos donde la derivada es cero (extremos relativos) o a la segunda derivada \(f''\) para encontrar los puntos donde la segunda derivada es cero (puntos de inflexión). La fórmula general de recurrencia para encontrar extremos relativos es
\[ x_{n+1} = x_n - \frac{f'(x_n)}{f''(x_n)}, \]
y para encontrar puntos de inflexión es
\[ x_{n+1} = x_n - \frac{f''(x_n)}{f'''(x_n)}. \]
Ejercicio 20.6 La evolución del número de árboles en un bosque puede modelarse mediante la función
\[ A(t) = \ln(t^2 + 2t + 1), \]
donde \(t\) es el tiempo en décadas y \(A\) es el número de árboles en miles.
- Calcular el polinomio de Maclaurin de orden \(n\) de \(A\).
- Utilizando el polinomio de Maclaurin correspondiente, dar una aproximación cúbica del número de árboles que habrá al cabo de 5 años.
- Dar una cota del error cometido.
Antes de nada simplificaremos la función \(A(t) = \ln(t^2 + 2t + 1) = \ln((t+1)^2) = 2\ln(t+1)\). Para calcular el polinomio de Maclaurin de orden \(n\) de \(A\), necesitamos calcular las primeras \(n\) derivadas de \(A\) en el punto \(t=0\).
\[ \begin{array}{lll} A(t) = 2\ln(t+1) & & A(0) = 2\ln(1) = 0 \\ A'(t) = 2\frac{1}{t+1} & & A'(0) = 2 \\ A''(t) = -2\frac{1}{(t+1)^2} & & A''(0) = -2 \\ A'''(t) = 2\frac{2}{(t+1)^3} & & A'''(0) = 4 \\ A^{iv}(t) = -2\frac{6}{(t+1)^4} & & A^{(4)}(0) = -12 \\ \cdots \\ A^{(n)}(t) = 2(-1)^{n-1} (n-1)!/(t+1)^n & & A^{(n)}(0) = 2(-1)^{n-1} (n-1)! \end{array} \]
Así pues, la fórmula del polinomio de Maclaurin de orden \(n\) es
\[\begin{align*} P_A^n(t) &= A(0) + A'(0) t + \frac{A''(0)}{2!} t^2 + \frac{A'''(0)}{3!} t^3 + \ldots + \frac{A^{(n)}(0)}{n!} t^n \\ &= 0 + 2t + \frac{-2}{2} t^2 + \frac{4}{6} t^3 + \ldots + \frac{2(-1)^{n-1} (n-1)!}{n!} t^n \\ &= 2(t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \ldots + (-1)^{n-1}\frac{t^n}{n}). \end{align*}\]
Podemos obtener más rápidamente este polinomio si partimos del polinomio de Maclaurin de orden \(n\) de la función \(\ln(1+x)\), que es conocido y vale
\[ P^n(x) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \ldots + (-1)^{n-1}\frac{t^n}{n} = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i-1} \frac{t^i}{i}, \]
de manera que el polinomio de nuestra función será igual pero multiplicado por 2, es decir,
\[ P_A^n(t) = 2\left(t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \ldots + (-1)^{n-1}\frac{t^n}{n}\right) = \sum_{i=1}^{n} 2(-1)^{i-1} \frac{t^i}{i}. \]
Para obtener una aproximación cúbica del número de árboles que habrá al cabo de 5 años, debemos calcular \(P_A^3(t)\) y evaluar en \(t = 0.5\) (ya que 5 años son 0.5 décadas).
\[ P_A^3(t) = 2\left(t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3}\right), \]
y sustituyendo en \(t = 0.5\), se tiene
\[ P_A^3(0.5) = 2\left(0.5 - \frac{(0.5)^2}{2} + \frac{(0.5)^3}{3}\right) = 2\left(0.5 - 0.125 + \frac{0.125}{3}\right) \approx 0.8333. \]
Por tanto, la aproximación cúbica del número de árboles que habrá al cabo de 5 años es aproximadamente 0.8333 miles, es decir, 833 árboles.
La cota del error cometido al utilizar el polinomio de Maclaurin de orden \(n\) está dada por el término de resto de Lagrange
\[\begin{align*} R^n(t) &= \frac{A^{(n+1}(c)}{(n+1)!} t^{n+1}\\ &= 2(-1)^{n} \frac{n!}{(n+1)!(c+1)^{n+1}} t^{n+1}, \\ &= \frac{2(-1)^{n}}{(n+1)(c+1)^{n+1}} t^{n+1}, \end{align*}\]
con \(c\in (0, t)\). Para \(n=3\) y \(t=0.5\), tenemos
\[\begin{align*} |R^3(0.5)| &= \left|\frac{2(-1)^{3}}{4(c+1)^{4}} (0.5)^{4}\right| \\ &= \frac{1}{2(c+1)^{4}} \cdot 0.0625 \\ &= \frac{0.03125}{(c+1)^4}, \end{align*}\]
con \(c\in (0, 0.5)\). Puesto que se trata de una función decreciente en ese intervalo, el valor máximo se alcanza en \(c=0\), por lo que, una cota del error cometido es \(|R^3(0.5)|\leq \frac{0.03125}{(0+1)^{4}} = 0.03125\).
Ejercicio 20.7 Dar un ejemplo de una función no polinómica que tenga una asíntota vertical \(x=2\), una asíntota horizontal \(y=1\) y una asíntota oblicua \(y=2x-1\), y demostrarlo.
La manera más sencilla de conseguir una función con las asíntotas indicadas es mediante una función a trozos donde cada trozo es una función racional \(\frac{p(x)}{q(x)}\).
Para que una función racional tengan una asíntota vertical en \(x=2\) necesitamos que se anule el polinomio del denominador en este punto. Un polinomio sencillo que cumple esto es \(q(x) = x-2\). Por otro lado, para que una función racional tenga una asíntota horizontal en \(x=1\) necesitamos que el grado de los polinomios del numerador y del denominador sean iguales y que los coeficientes de los términos de mayor grado sean iguales. Puesto que el denominador ya lo hemos fijado \(q(x)=x-2\), podemos tomar \(p(x) = x\).
Finalmente, para que una función racional tenga una asíntota oblicua \(y=2x-1\) necesitamos que el grado del polinomio del numerador sea uno mayor que el del denominador y que al realizar la división de polinomios el cociente sea \(2x-1\). Si tomamos \(q(x) = x\), un polinomio del numerador que cumple esto es \(p(x) = 2x^2-x\).
Así pues, una función que cumple las tres condiciones es
\[ f(x) = \begin{cases} \frac{x}{x-2}, & x < 3 \\ \frac{2x^2 - x}{x}, & x > 3 \end{cases}. \]
Veamos que cumple las condiciones.
Asíntota vertical en \(x=2\).
\[ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} \frac{x}{x-2} = -\infty, \quad \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{2x^2 - x}{x} = \infty. \]
Por tanto, existe una asíntota vertical en \(x=2\).
Asíntota horizontal en \(y=1\).
\[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{x-2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{1-\frac{2}{x}} = 1. \]
Por tanto, existe una asíntota horizontal en \(y=1\) cuando \(x \to -\infty\).
Asíntota oblicua en \(y=2x-1\).
\[\begin{align*} \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} &= \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2x^2 - x}{x}}{x} \\ &= \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 - x}{x^2} \\ &= \lim_{x \to \infty} \left(2 - \frac{1}{x}\right) = 2,\\ \lim_{x\to \infty} \left(f(x) - 2x\right) &= \lim_{x\to \infty} \left(\frac{2x^2 - x}{x} - 2x\right) \\ &= \lim_{x\to \infty} \frac{2x^2 -x - 2x^2}{x} \\ &= \lim_{x\to \infty} \frac{-x}{x} = -1. \end{align*}\]
Por tanto, existe una asíntota oblicua en \(y=2x-1\) cuando \(x \to \infty\).
Ejercicio 20.8 Se sabe que el precio \(p\) de un producto reduce su demanda según la función \(d(p) = \alpha - \beta\ln(p)\) con \(\alpha, \beta >0\). ¿Qué precio debe fijarse para obtener los máximos ingresos?
Tomando \(\alpha=\beta=1\) y fijando el precio a 2 €, ¿qué variación aproximada de los ingresos habrá para una variación de 10 céntimos en el precio? Utilizar una aproximación lineal.
Se trata de un problema de optimización donde debemos maximizar la función de ingresos
\[ i(p) = p\cdot d(p) = p(\alpha - \beta \ln(p)) = \alpha p - \beta p\ln(p), \]
con las restricciones de que el precio no puede ser negativo \(p\geq 0\) y la demanda tampoco puede ser negativa \(d(p)\geq 0\), es decir, \(d(p) = \alpha - \beta \ln(p) \geq 0 \Leftrightarrow \ln(p) \leq \frac{\alpha}{\beta} \Leftrightarrow p \leq e^{\frac{\alpha}{\beta}}\). Por tanto, el dominio de la función de ingresos es \([0, e^{\frac{\alpha}{\beta}}]\).
Para encontrar el máximo de los ingresos en este intervalo, primero obtenemos los puntos críticos derivando la función de ingresos e igualándola a cero.
\[ i'(p) = \alpha - \beta \ln(p) - \beta = 0 \Leftrightarrow \ln(p) = \frac{\alpha}{\beta} - 1 \Leftrightarrow p = e^{\frac{\alpha}{\beta} - 1}. \]
Para ver si este punto crítico es un máximo, calculamos la segunda derivada.
\[ i''(p) = \frac{-\beta}{p} < 0 \quad \forall p > 0. \]
Como la segunda derivada es negativa en todo el dominio, el punto crítico es un máximo, ya que la función es continua y cóncava hacia abajo en todo el dominio. Por tanto, el precio que debe fijarse para obtener los máximos ingresos es \(p = \frac{\alpha}{\beta} - 1\). Este precio pertenece al dominio de la función siempre que \(\alpha\geq \beta\), ya que entonces, \(0 < \frac{\alpha}{\beta} - 1 < e^{\frac{\alpha}{\beta}}\) para todo \(\alpha\geq \beta \geq 0\).
Para el caso particular con \(\alpha = \beta = 1\), y fijando el precio a 2 €, tenemos que la demanda es \(d(2) = 1 - \ln(2) \approx 0.3069\), y los ingresos son \(i(2) = 2 \cdot (1 - \ln(2)) \approx 0.6137\). Para dar una aproximación lineal de la variación de los ingresos para una variación de 10 céntimos en el precio, usamos el diferencial de la función de ingresos.
\[ di = i'(p) dp = (1 - \ln(p) - 1) dp = -\ln(p) dp. \]
Evaluando en \(p=2\) y \(dp = 0.1\), se tiene
\[ di = -\ln(2) \cdot 0.1 \approx -0.0693, \]
es decir, si cuando el precio es 2 € se incrementa el precio en 10 céntimos, los ingresos disminuirán 0.0693 unidades.