4 Límites de funciones reales

4.1 Ejercicios Resueltos

Para la realización de esta práctica se requieren los siguientes paquetes:

using SymPy  # Para el cálculo simbólico de límites.
using Plots  # Para el dibujo de gráficas.
#plotlyjs() # Para obtener gráficos interactivos.
using MTH229 # Para restringir la gráfica de una función a su dominio.
using LaTeXStrings  # Para usar código LaTeX en los gráficos.

Ejercicio 4.1 Sea la función $f(x)=x^2$.

Estudiar la tendencia de $f$ cuando $x$ se aproxima a $3$ por la derecha, evaluando la función en $x=3+\frac{1}{10i}$ para $i=1,\ldots,10$.

Ayuda

Definir la función y aplicar la función a los valores de x indicados usando compresiones de arrays.
Solución
f(x) = x^2 a = 3 print([f(a+1/10i) for i = 1:10])

[9.610000000000001, 9.302499999999998, 9.20111111111111, 9.150625, 9.1204, 9.100277777777777, 9.085918367346938, 9.075156250000001, 9.06679012345679, 9.060099999999998]
La función tiende a $9$.
Estudiar la tendencia de $f$ cuando $x$ se aproxima a $3$ por la izquierda, evaluando la función en $x=3-\frac{1}{10i}$ para $i=1,\ldots, 10$.
Solución
print([f(a-1/10i) for i = 1:10])

[8.41, 8.7025, 8.801111111111112, 8.850625, 8.8804, 8.900277777777777, 8.914489795918367, 8.925156249999999, 8.933456790123458, 8.940100000000001]
La función también tiende a 9.
Dibujar la gráfica de los valores de $f$ evaluados en los apartados anteriores diferenciando la tendencia por la izquierda de la tendencia por la derecha.

Ayuda

Definir un vector con los valores de $x$ y otro con los valores correspondientes de $f(x)$ y usar la función scatter del paquete Plots, pasandole los dos vectores.
Solución
xd = [a+1/10i for i=1:10] scatter(xd, f.(xd), label="Aproximación por la derecha") xi = [a-1/10i for i=1:10] scatter!(xi, f.(xi), label="Aproximación por la izquierda", legend=:topleft)
Calcular el límite por la izquierda y por la derecha de $f$ en $x=3$.

Ayuda

Declarar la variable simbólica x con @syms imponiento la restricción real=true, definir la función y usar la función limit del paquete SymPy para calcular los límites laterales de la función. Para el límite por la izquierda indicar el parámetro dir="-" y para el límite por la derecha dir="+".
Solución
@syms x::real li = limit(f(x), x=>3, dir="-") println("Límite por la izquierda: ", li) ld = limit(f(x), x=>3, dir="+") println("Límite por la derecha: ", ld)

Límite por la izquierda: 9 Límite por la derecha: 9

Ejercicio 4.2 Sea la función $g(x)=(1+x)^{1/x}$.

Estudiar la tendencia de $g$ cuando $x$ se aproxima a $0$ por la derecha, evaluando la función en $x=\frac{1}{10^i}$ para $i=1,\ldots,10$.

Solución

g(x) = (1+x)^(1/x)
a = 0
print([g(a+1/10^i) for i = 1:10])

[2.5937424601000023, 2.7048138294215285, 2.7169239322355936, 2.7181459268249255, 2.718268237192297, 2.7182804690957534, 2.7182816941320818, 2.7182817983473577, 2.71828205201156, 2.7182820532347876]

La función tiende a $e$.

Estudiar la tendencia de $g$ cuando $x$ se aproxima a $0$ por la izquierda, evaluando la función en $x=-\frac{1}{10^i}$ para $i=1,\ldots, 10$.

Solución

print([g(a-1/10^i) for i = 1:10])

[2.867971990792441, 2.7319990264290284, 2.719642216442853, 2.71841775501015, 2.718295419980405, 2.7182831876793716, 2.7182819629423656, 2.7182818557091664, 2.7182817529399266, 2.7182820535066154]

La función también tiende a e.

Calcular el límite por la izquierda y por la derecha de $g$ en $x=0$.

Solución

@syms x::real
li = limit(g(x), x=>0, dir="-")
println("Límite por la izquierda: ", li)
ld = limit(g(x), x=>0, dir="+")
println("Límite por la derecha: ", ld)

Límite por la izquierda: E
Límite por la derecha: E

Ejercicio 4.3 Considérese la función \[ f(x)=\left( 1+\frac{2}{x}\right) ^{x/2}. \]

Dibujar su gráfica, y a la vista de misma conjeturar el resultado de los siguientes límites:
- $\lim_{x\rightarrow -2^-} f(x)$
- $\lim_{x\rightarrow -2^+} f(x)$
- $\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)$
- $\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)$
- $\lim_{x\rightarrow 2} f(x)$
- $\lim_{x\rightarrow 0} f(x)$
Ayuda

Utilizar la función plot! del paquete Plots. Usar los parámetros xlims=(a,b) para restringir la región de dibujo al intervalo $(a,b)$ del eje $x$, y ylims=(c,d) para restringir la región de dibujo al intervalo $(c,d)$ del eje $y$.
Solución
using Plots f(x) = (1+2/x)^(x/2) plot(f, xlims=(-10,10), ylims=(0,6))
A la vista de la gráfica, se puede concluir que
1. $\lim_{x\rightarrow -2^-} f(x) = -\infty.$
2. $\lim_{x\rightarrow -2^+} f(x)$ no existe.
3. $\lim_{x\rightarrow -\infty} f(x)\approx 2.7.$
4. $\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x) \approx 2.7.$
5. $\lim_{x\rightarrow 2} f(x) = 2.$
6. $\lim_{x\rightarrow 0} f(x)$ no existe.

Calcular los límites anteriores. ¿Coinciden los resultados con los conjeturados?

Solución

using SymPy
@syms x::real
println("Límite por la izquieda en -2: ", limit(f(x), x=>-2, dir="-"))
println("Límite por la derecha en -2: ", limit(f(x), x=>-2, dir="+"))
println("Límite en -∞: ", limit(f(x), x=>-oo))
println("Límite en ∞: ", limit(f(x), x=>oo))
println("Límite en 2: ", limit(f(x), x=>2))
println("Límite en 0: ", limit(f(x), x=>0))

Límite por la izquieda en -2: oo
Límite por la derecha en -2: -oo
Límite en -∞: E
Límite en ∞: E
Límite en 2: 2
Límite en 0: 1

Precaución

Aunque Julia calcula el límite en $-2$ por la derecha y el límite en $0$, a la vista de la gráfica, estos límites en realidad no existen, ya que la función no está definida en el intervalo de $[-2,0]$.

Ejercicio 4.4 Calcular los siguientes límites

$\lim_{x\to 0} \operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)$
Solución
using SymPy @syms x::real limit(sin(1/x), x=>0)

$\left\langle -1, 1\right\rangle$
Como no se obtiene un valor concreto, sino un rango de valores, el límite no existe.
$\lim_{x\to 0} x\operatorname{sen}\left(\frac{1}{x}\right)$
Solución
limit(x*sin(1/x), x=>0)

$0$
$\lim_{x\to \infty} e^{-x}\operatorname{sen}(x)$
Solución
limit(ℯ^(-x)*sin(x), x=>oo)

$0$
$\lim_{x\to a} \frac{\operatorname{sen}(x)-\operatorname{sen}(a)}{x-a}$
Solución
@syms a::real limit((sin(x)-sin(a))/(x-a), x=>a)

$\cos{\left(a \right)}$

Ejercicio 4.5 Calcular el valor de las siguientes funciones en los puntos dados y su límite. Corroborar los límites obtenidos gráficamente.

$f(x)=\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}$ en $x=0$.
Solución
La función $f$ no está definida en $x=0$ de manera que al evaluarla en $0$ obtenemos un valor indeterminado.
f(x)=sin(x)/x f(0)

NaN
Ahora calculamos el límite de $f$ en $0$.
@syms x::real f(x)=sin(x)/x limit(f(x), x=>0)

$1$
Para corroborar el límite dibujamos la gráfica de $f$ en un entorno de $0$.
using Plots plot(f)
$g(x)=\frac{\cos(x)}{x-\pi/2}$ en $x=\pi/2$.
Solución
La función $f$ no está definida en $x=0$ de manera que al evaluarla en $0$ obtenemos un valor indeterminado.
g(x)=cos(x)/(x-pi/2) g(pi/2)

Inf
Como se puede observar, se obtiene $\infty$ en lugar de indeterminado. La razón está en la representación de los números reales mediante números con coma flotante, de manera que $\pi/2$ se redondea al número de coma flotante más próximo, y al aplicar el coseno se obtiene un número muy próximo a $0$ pero distinto de $0$.

Ahora calculamos el límite de $g$ en $\pi/2$.
limit(g(x), x=>pi/2)

$-0.017235371463439$
Para corroborar el límite dibujamos la gráfica de $g$ en un entorno de $\pi/2$.
using Plots plot(g)
Como se puede apreciar gráficamente la tendencia de $g$ en $\pi/2$ es $-1$ y no el valor obtenido con el cálculo del límite. De nuevo el problema está en la aproximación de $pi$ como un real en coma flotante. Afortunadamente el paquete SymPy permite definir una constante como simbólica para evitar su conversión a número en coma flotante, usando la función Sym(). También podemos usar la constante simbólica predefinida Pi. Repetimos la definición de la función y el cálculo de nuevo convirtiendo $\pi$ en una constante simbólica.
g(x)=cos(x)/(x-Sym(pi)/2) limit(g(x), x=>Sym(pi)/2)

$-1$

Ejercicio 4.6 Considérese la función \[ g(x)= \begin{cases} \dfrac{x}{x-2} & \mbox{si $x\leq 0$;} \\ \dfrac{x^2}{2x-6} & \mbox{si $x>0$;} \end{cases} \]

Dibujar la gráfica de $g$ y determinar gráficamente si existen asíntotas.

Ayuda

Para respetar las discontinuidades utilizar la función rangeclamp() del paquete MTH229.
Solución
using Plots, MTH229, LaTeXStrings @syms x::real g1(x) = x/(x-2) g2(x) = x^2/(2x-6) g(x) = x<=0 ? g1(x) : g2(x) plot(rangeclamp(g), xlims=(-5,10), ylims=(-5,10), xticks=-5:10, label = L"g(x)", legend=:topleft)
A la vista de la gráfica, se observa que $g$ tiene una asíntota vertical en $x=3$, una asíntota horizontal $y=1$ en $-\infty$ y parece que también hay una asíntota oblicua en $\infty$.
Calcular las asíntotas verticales de $g$ y dibujarlas.
Solución
Estudiamos primero el dominio para ver dónde no está definida la función. Como tanto la rama negativa como la positiva son funciones racionales, hay que ver los puntos que anulan el denominador.
println("Puntos fuera del dominio de la rama negativa: ", solve(x-2)) println("Puntos fuera del dominio de la rama positiva: ", solve(2x-6))

Puntos fuera del dominio de la rama negativa: Sym{PyCall.PyObject}[2] Puntos fuera del dominio de la rama positiva: Sym{PyCall.PyObject}[3]
Así pues la rama negativa está definida en todos $\mathbb{R}^-$ y la rama positiva en $\mathbb{R}^+\setminus\{3\}$. Es en este último punto donde $g$ puede tener asíntota vertical, así que estudiamos los límites laterales.
println("Límte en 3 por la izquierda: ", limit(g(x), x=>3, dir="-")) println("Límte en 3 por la derecha: ", limit(g(x), x=>3, dir="+"))

Límte en 3 por la izquierda: -oo Límte en 3 por la derecha: oo
Por tanto, $g$ tiene una asíntota vertical en $x=3$.
vline!([3], label = L"Asíntota vertical $x=3$")

Calcular las asíntotas horizontales de $g$.

Solución

Estudiamos los límites en el infinito.

println("Límite en -∞: ", limit(g1(x), x=>-oo))
println("Límite en ∞: ", limit(g2(x), x=>oo))

Límite en -∞: 1
Límite en ∞: oo

Por tanto, $g$ tiene una asíntota horizontal $y=1$ en $-\infty$.

hline!([1], label = L"Asíntota horizontal $y=1$")

Calcular las asíntotas oblicuas de $g$.
Solución
Estudiamos el límite en $\infty$ de $\frac{f(x)}{x}$ (en $-\infty$ no puede haber asíntota oblicua al haber asíntota horizontal).
limit(g2(x)/x, x=>oo)

$\frac{1}{2}$
Por tanto, $g$ tiene una asíntota oblicua con pendiente $b=1/2$ en $\infty$. Para obtener el término independiente de la asíntota calculamos el límite en $\infty$ de $f(x)-\frac{1}{2}x$.
limit(g2(x)-x/2, x=>oo)

$\frac{3}{2}$
Por tanto, $g$ tiene una asíntota oblicua $y=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}x$.
plot!(3/2+x/2, label = L"Asíntota oblicua $y=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}x$")

Ejercicio 4.7 Dada la función

\[ h(x)= \begin{cases} \frac{2x^2-2x}{3x^2+x} & \mbox{si } x\leq 0,\\ \frac{\operatorname{tg}(x)+a}{x} & \mbox{si } x>0 \end{cases} \]

¿Qué valor debe tomar $a$ para que la función sea continua en todo su dominio?

Ayuda

Calcular el límite en $0$ por la izquierda de la función de la rama negativa, y el límite en $0$ por la derecha de la función de la rama positiva. Después resolver la ecuación simbólica que resulta de igualar los dos límites. Para crear la ecuación simbólica debe utilizarse la función Eq() del paquete SymPy y después resolverla con la función solve().

Solución

@syms x::real a::real
h1(x) = (2x^2-2x)/(3x^2+x)
h2(x) = (tan(x)-a*x)/x 
l1 = limit(h1(x), x=>0, dir="-")
l2 = limit(h2(x),x=>0, dir="+")
solve(Eq(l1,l2))

1-element Vector{Sym{PyCall.PyObject}}:
 3

Ejercicio 4.8 Representar gráficamente y clasificar las discontinuidades de la función

\[ f(x)= \begin{cases} \frac{x+1}{x^2-1}, & \mbox{si } x<0, \\ \frac{1}{e^{1/(x^2-1)}}, & \mbox{si } x\geq 0. \end{cases} \]

Solución

Para estudiar las discontinuidades de una función tenemos que estudiar los puntos que no están en el dominio y los puntos donde cambia la definición de la función en el caso de una función definida a trozos.

using Plots, MTH229, LaTeXStrings
@syms x::real
f1(x) = (x+1)/(x^2-1)
f2(x) = 1/exp(1/(x^2-1))
plot(f1, -4, 0, ylim=(-2,8), legend=false)
plot!(rangeclamp(f2), 0, 4)

Para determinar el dominio de la rama negativa, al ser una función racional, tenemos que ver los puntos que anulan el denominador.

solve(x^2-1)

2-element Vector{Sym{PyCall.PyObject}}:
 -1
  1

Así pues, la función no está definida en $x=-1$ (la otra raíz queda fuera de la rama negativa). Para ver el tipo de discontinuidad estudiamos los límites laterales en $x=-1$.

println("Límite en -1 por la izquierda: ", limit(f1(x), x=> -1, dir="-"))
println("Límite en -1 por la derecha: ", limit(f1(x), x=> -1, dir="+"))

Límite en -1 por la izquierda: -1/2
Límite en -1 por la derecha: -1/2

Como el límite existe, $f$ tiene una discontinuidad evitable en $x=-1$.

Del mismo modo la rama positiva no está definida en $x=1$ ya que se anula el denominador del exponente de la función exponencial. Para ver el tipo de discontinuidad estudiamos los límites laterales en $x=1$.

println("Límite en 1 por la izquierda: ", limit(f2(x), x=>1, dir="-"))
println("Límite en 1 por la derecha: ", limit(f2(x), x=>1, dir="+"))

Límite en 1 por la izquierda: oo
Límite en 1 por la derecha: 0

Como los límites laterales son distintos, $f$ tiene una discontinuidad de salto infinito en $x=1$.

Finalmente, estudiamos los límites laterales en $x=0$, que es donde cambia la definición de la función.

println("Límite en 1 por la izquierda: ", limit(f1(x), x=>0, dir="-"))
println("Límite en 1 por la derecha: ", limit(f2(x), x=>0, dir="+"))

Límite en 1 por la izquierda: -1
Límite en 1 por la derecha: E

Como los límites laterales son distintos, $f$ tiene una discontinuidad de salto finito en $x=0$.

Ejercicio 4.9 El teorema de Bolzano permite construir un algoritmo para encontrar raíces de una función continua en un intervalo $[a,b]$ cuando $f(a)f(b)<0$. Este algoritmo se conoce como el algoritmo de bisección y básicamente consiste en repetir los siguientes pasos:

Calcular el centro del intervalo $c=\frac{a+b}{2}$.
Si $f(c)=0$, $c$ es una raíz y se termina la búsqueda.
En caso contrario, si $f(a)f(c)<0$ hacer $b=c$, y si no, hacer $a=c$.
Repetir la búsqueda.

Construir una función que implemente este algoritmo y utilizarlo para calcular una raíz de la función $f(x)=x^5+3x^4-2x^3+6x-2$ en el intervalo $[0,1]$.

Solución

function raices_biseccion(f, a, b, error=1e-10)
  if f(a) == 0 return(a) end
  if f(b) == 0 return(b) end
  if f(a) * f(b) > 0 error("Las imágenes de los extremos del intervalo no tienen signo distinto.") end
  c = (a+b)/2
  while abs(b-a) > error
    if f(c) == 0 return(c) end
    if f(a) * f(c) < 0
       b = c
    else
       a = c
    end
    c = (a+b)/2
  end
  c
end

f(x)=x^5+3x^4-2x^3+6x-4
print(raices_biseccion(f, 0, 1))

0.6496996753558051

4.1 Ejercicios Resueltos

4.2 Ejercicios propuestos