1 Introducción

La gran potencia de cálculo alcanzada por los ordenadores en las últimas décadas ha convertido a los mismos en poderosas herramientas al servicio de todas aquellas disciplinas que, como las matemáticas, requieren cálculos largos y complejos.

Julia es un lenguaje de programación especialmente orientado al cálculo numérico y el análisis de datos. Julia permite además realizar cálculos simbólicos y dispone de una gran biblioteca de paquetes con aplicaciones en muy diversas áreas de las Matemáticas como Cálculo, Álgebra, Geometría, Matemática Discreta o Estadística.

La ventaja de Julia frente a otros programas habituales de cálculo como Mathematica, MATLAB o Sage radica en su potencia de cálculo y su velocidad (equiparable al lenguaje C), lo que lo hace ideal para manejar grandes volúmenes de datos o realizar tareas que requieran largos y complejos cálculos. Además, es software libre por lo que resulta ideal para introducirlo en el aula como soporte computacional para los modelos matemáticos sin coste alguno.

En el siguiente enlace se explica el procedimiento de instalación de Julia.

Existen también varios entornos de desarrollo online que permiten ejecutar código en Julia sin necesidad de instalarlo en nuestro ordenador, como por ejemplo Replit, Cocalc o Codeanywhere.

El objetivo de esta práctica es introducir al alumno en la utilización de este lenguaje, enseñándole a realizar las operaciones básicas más habituales en Cálculo.

1.1 El REPL de Julia

Para arrancar el REPL^(REPL es el acrónimo de Read, Evaluate, Print and Loop, que describe el funcionamiento del compilador de Julia) de julia basta con abrir una terminal y teclear julia.

prompt> julia
               _
   _       _ _(_)_     |  Documentation: https://docs.julialang.org
  (_)     | (_) (_)    |
   _ _   _| |_  __ _   |  Type "?" for help, "]?" for Pkg help.
  | | | | | | |/ _` |  |
  | | |_| | | | (_| |  |  Version 1.7.3 (2022-05-06)
 _/ |\__'_|_|_|\__'_|  |  Official https://julialang.org/ release
|__/                   |

julia>

1.2 El gestor de paquetes de Julia

Julia viene con varios paquetes básicos preinstalados, como por ejemplo el paquete LinearAlgebra que define funciones básicas del Álgebra Lineal, pero en estas prácticas utilizaremos otros muchos paquetes que añaden más funcionalidades que no vienen instalados por defecto y tendremos que instalarlos aparte. Julia tiene un potente gestor de paquetes que facilita la búsqueda, instalación, actualización y eliminación de paquetes.

Por defecto el gestor de paquetes utiliza el repositorio de paquetes oficial pero se pueden instalar paquetes de otros repositorios.

Para entrar en el modo de gestión de paquetes hay que teclear ]. Esto produce un cambio en el prompt del REPL de Julia.

Los comandos más habituales son:

add p: Instala el paquete p en el entorno activo de Julia.
update: Actualiza los paquetes del entorno activo de Julia.
status: Muestra los paquetes instalados y sus versiones en el entorno activo de Julia.
remove p: Elimina el paquete p del entorno activo de Julia.

Ejemplo

Para instalar el paquete SymPy para cálculo simbólico basta con teclear add Sympy.

(@v1.7) pkg> add SymPy
    Updating registry at `~/.julia/registries/General.toml`
   Resolving package versions...
    Updating `~/.julia/environments/v1.7/Project.toml`
  [24249f21] + SymPy v1.1.6
    Updating `~/.julia/environments/v1.7/Manifest.toml`
  [3709ef60] + CommonEq v0.2.0
  [38540f10] + CommonSolve v0.2.1
  [438e738f] + PyCall v1.93.1
  [24249f21] + SymPy v1.1.6

1.3 Operadores aritméticos.

El uso más simple de Julia es la realización de operaciones aritméticas como en una calculadora. En Julia se utilizan los siguientes operadores.

Operador	Descripción
`x + y`	Suma
`x - y`	Resta
`x * y`	Producto
`x / y`	División
`x ÷ y`	Cociente división entera
`x % y`	Resto división entera
`x ^ y`	Potencia

1.4 Operadores de comparación

Operador	Descripción
`==`	Igualdad
`!=`, `≠`	Desigualdad
`<`	Menor que
`<=`, `≤`	Menor o igual que
`>`	Mayor que
`>=`, `≥`	Mayor o igual que

1.5 Operadores booleanos

Operador	Descripción
`!x`	Negación
`x && y`	Conjunción (y)
`x \|\| y`	Disyunción (o)

Existen también un montón de funciones predefinidas habituales en Cálculo.

1.6 Funciones de redondeo

Función	Descripción
`round(x)`	Devuelve el entero más próximo a `x`
`round(x, digits = n)`	Devuelve al valor más próximo a `x` con `n` decimales
`floor(x)`	Redondea `x` al próximo entero menor
`ceil(x)`	Redondea `x` al próximo entero mayor
`trunc(x)`	Devuelve la parte entera de `x`

Ejemplo

julia> round(2.7)
3.0

julia> floor(2.7)
2.0

julia> floor(-2.7)
-3.0

julia> ceil(2.7)
3.0

julia> ceil(-2.7)
-2.0

julia> trunc(2.7)
2.0

julia> trunc(-2.7)
-2.0

julia> round(2.5)
2.0

julia> round(2.786, digits = 2)
2.79

1.7 Funciones de división

Función	Descripción
`div(x,y)`, `x÷y`	Cociente de la división entera
`fld(x,y)`	Cociente de la división entera redondeado hacia abajo
`cld(x,y)`	Cociente de la división entera redondeado hacia arriba
`rem(x,y)`, `x%y`	Resto de la división entera. Se cumple `x == div(x,y)*y + rem(x,y)`
`mod(x,y)`	Módulo con respecto a `y`. Se cumple `x == fld(x,y)*y + mod(x,y)`
`gcd(x,y...)`	Máximo común divisor positivo de `x`, `y`,…
`lcm(x,y...)`	Mínimo común múltiplo positivo de `x`, `y`,…

Ejemplo

julia> div(5,3)
1

julia> cld(5,3)
2

julia> 5%3
2

julia> -5%3
-2

julia> mod(5,3)
2

julia> mod(-5,3)
1

julia> gcd(12,18)
6

julia> lcm(12,18)
36

1.8 Funciones para el signo y el valor absoluto

Función	Descripción
`abs(x)`	Valor absoluto de `x`
`sign(x)`	Devuelve -1 si `x` es positivo, -1 si es negativo y 0 si es 0.

Ejemplo

julia> abs(2.5)
2.5

julia> abs(-2.5)
2.5

julia> sign(-2.5)
-1.0

julia> sign(0)
0

julia> sign(2.5)
1.0

1.9 Raíces, exponenciales y logaritmos

Función	Descripción
`sqrt(x)`, `√x`	Raíz cuadrada de `x`
`cbrt(x)`, `∛x`	Raíz cúbica de `x`
`exp(x)`	Exponencial de `x`
`log(x)`	Logaritmo neperiano de `x`
`log(b,x)`	Logaritmo en base `b` de `x`
`log2(x)`	Logaritmo en base 2 de `x`
`log10(x)`	Logaritmo en base 10 de `x`

Ejemplo

julia> sqrt(4)
2.0

julia> cbrt(27)
3.0

julia> exp(1)
2.718281828459045

julia> exp(-Inf)
0.0

julia> log(1)
0.0

julia> log(0)
-Inf

julia> log(-1)
ERROR: DomainError with -1.0:
log will only return a complex result if called with a complex argument.
...

julia> log(-1+0im)
0.0 + 3.141592653589793im

julia> log2(2^3)
3.0

1.10 Funciones trigonométricas

Función	Descripción
`hypot(x,y)`	Hipotenusa del triángulo rectángulo con catetos `x` e `y`
`sin(x)`	Seno del ángulo `x` en radianes
`sind(x)`	Seno del ángulo `x` en grados
`cos(x)`	Coseno del ángulo `x` en radianes
`cosd(x)`	Coseno del ángulo `x` en grados
`tan(x)`	Tangente del ángulo `x` en radianes
`tand(x)`	Tangente del ángulo `x` en grados
`sec(x)`	Secante del ángulo `x` en radianes
`csc(x)`	Cosecante del ángulo `x` en radianes
`cot(x)`	Cotangente del ángulo `x` en radianes

Ejemplo

julia> sin(π/2)
1.0

julia> cos(π/2)
6.123233995736766e-17

julia> cosd(90)
0.0

julia> tan(π/4)
0.9999999999999999

julia> tand(45)
1.0

julia> tan(π/2)
1.633123935319537e16

julia> tand(90)
Inf

julia> sin(π/4)^2 + cos(π/4)^2
1.0

1.11 Funciones trigonométricas inversas

Función	Descripción
`asin(x)`	Arcoseno (inversa del seno) de `x` en radianes
`asind(x)`	Arcoseno (inversa del seno) de `x` en grados
`acos(x)`	Arcocoseno (inversa del coseno) de `x` en radianes
`acosd(x)`	Arcocoseno (inversa del coseno) de `x` en grados
`atan(x)`	Arcotangente (inversa de la tangente) de `x` en radianes
`atand(x)`	Arcotangente (inversa de la tangente) de `x` en grados
`asec(x)`	Arcosecante (inversa de la secante) de `x` en radianes
`acsc(x)`	Arcocosecante (inversa de la cosecante) de `x` en radianes
`acot(x)`	Arcocotangente (inversa de la cotangente) de `x` en radianes

Ejemplo

julia> asin(1)
1.5707963267948966

julia> asind(1)
90.0

julia> acos(-1)
3.141592653589793

julia> atan(1)
0.7853981633974483

julia> atand(tan(π/4))
45.0

1.12 Precedencia de operadores

A la hora de evaluar una expresión aritmética, Julia evalúa los operadores según el siguiente orden de prioridad (de mayor a menor prioridad).

Categoría	Operadores	Asociatividad
Funciones	`exp`, `log`, `sin`, etc.
Exponenciación	`^`	Derecha
Unarios	`+ - √`	Derecha
Fracciones	`//`	Izquierda
Multiplicación	`* / % & \ ÷`	Izquierda
Adición	`+ - \|`	Izquierda
Comparaciones	`> < >= <= == != !==`
Asignaciones	`= += -= *= /= //= ^= ÷= %= \|= &=`	Derecha

Cuando se quiera evaluar un operador con menor prioridad antes que otro con mayor prioridad, hay que utilizar paréntesis.

Ejemplo

julia> 1 + 4 ^ 2 / 2 - 3
6.0

julia> (1 + 4 ^ 2) / 2 - 3
5.5

julia> (1 + 4) ^ 2 / 2 - 3
9.5

julia> 1 + 4 ^ 2 / (2 - 3)
-15.0

julia> (1 + 4 ^ 2) / (2 - 3)
-17.0

1.13 Definición de variables

Para definir variables se pueden utilizar cualquier carácter Unicode. Los nombres de las variables pueden contener más de una letra y, en tal caso, pueden usarse también números, pero siempre debe comenzar por una letra. Así, para Julia, la expresión xy, no se interpreta como el producto de la variable \(x\) por la variable \(y\), sino como la variable \(xy\). Además, se distingue entre mayúsculas y minúsculas, así que no es lo mismo \(xy\) que \(xY\).