2  Números reales

Ejercicio 2.1 \(\star\) Para los siguientes subconjuntos de números reales, determinar si están acotados por arriba o por abajo, y en tal caso dar el supremo o el ínfimo.

  1. \(A = \{-1,0,1\}\)
  2. \(B= [0,1)\)
  3. \(C= (0,\infty)\)
  4. \(D= \left\{1+\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\right\}\)
  5. \(E= \left\{(-2)^n:n\in\mathbb{N}\right\}\)
  6. \(F= \{x\in\mathbb{R}:x^2-3x+2=0\}\)
  7. \(G= \{x\in\mathbb{R}:x^3-x<0\}\)

  1. \(A\) está acotado por arriba y por abajo. \(\sup(A)=1\) y \(\inf(A)=-1\).

  2. \(B\) está acotado por arriba y por abajo. \(\sup(B)=1\) y \(\inf(B)=0\).

  3. \(C\) está acotado por abajo, pero no por arriba. \(\inf(C)=0\).

  4. \(D\) está acotado por arriba y por abajo. \(\sup(D)=2\) y \(\inf(D)=1\).

  5. \(E\) no está acotado por arriba ni por abajo.

  6. \(F\) está acotado por arriba y por abajo. \(\sup(F)=2\) y \(\inf(F)=1\).

  7. \(G\) está acotado por arriba pero no por abajo. \(\sup(G)=1\).

Ejercicio 2.2 Calcular el supremo y el ínfimo de los siguientes conjuntos. ¿Tienen máximo y mínimo?

  1. \(A=\{x\in \mathbb{R} : 2 < x^2-2 < 7\}\)
  2. \(B=\{x\in \mathbb{R} : 1 < 4x^2 - 3 \leq 5\}\)

  1. \(A=(-3,-2)\cup(2,3)\), que como está acotado tiene supremo \(\sup(A)=3\) e ínfimo \(\inf(A)=-3\). Sin embargo, \(3\not \in A\) y \(-3\not\in A\), por lo que no tiene ni máximo ni mínimo.

  2. \(B=[-\sqrt{2},-1)\cup(1,\sqrt{2}]\), que como está acotado tiene supremo \(\sup(B)=\sqrt{2}\) e ínfimo \(\inf(B)=-\sqrt{2}\). Como además, \(-\sqrt{2} \in B\) y \(\sqrt{2}\in B\), se tiene que \(\max(B)=\sqrt{2}\) y \(\min(B)=-\sqrt{2}\).

Ejercicio 2.3 Dadas dos funciones \(f\) y \(g\) ambas con dominio \(A\subseteq \mathbb{R}\), demostrar que si sus imágenes están acotadas y \(f(a)\leq g(a)\) \(\forall a\in A\), entonces \(\sup(\operatorname{Im}(f))\leq \sup(\operatorname{Im}(g))\).

Como las imágenes de \(f\) y \(g\) están acotadas, y suponiendo que no fuesen vacías, por el axioma del supremo, se tiene que existe \(c,d\in\mathbb{R}\) tales que \(c=\sup(\operatorname{Im}(f))\) y \(d= \sup(\operatorname{Im}(g))\). Como \(d\) es el supremo de la imagen de \(g\), se tiene que es una cota superior de la imagen de \(f\), ya que, para cualquier \(a\in A\), se tiene \(f(a)\leq g(a)\leq d\). Por consiguiente, tiene que ser \(c\leq d\), ya que de lo contrario \(c\) no sería el supremo por ser \(d\) una cota superior de la imagen de \(f\) menor que \(c\).

Ejercicio 2.4 Demostrar que si \(c\in\mathbb{R}\) es una cota superior de un conjunto \(A\), entonces \(-c\) es una cota inferior del conjunto de los opuestos \(A'=\{-a\in\mathbb{R}: a\in A\}\), y si \(c\) es una cota inferior de \(A\) entonces \(-c\) es una cota superior de \(A'\).

Sea \(c\in\mathbb{R}\) una cota superior del conjunto \(A\). Entonces, \(a\leq c\) \(\forall a\in A\). De ello se deduce que para cualquier \(a\in A\),

\[ a<c \Rightarrow (-1)a\geq (-1)c \Rightarrow -a\geq -c, \]

lo que demuestra que \(-c\) es una cota inferior de \(A'\).

Del mismo modo, si \(c\) una cota inferior del conjunto \(A\). Entonces, \(c\leq a\) \(\forall a\in A\), y de ello se deduce que para cualquier \(a\in A\),

\[ c<a \Rightarrow (-1)c\geq (-1)a \Rightarrow -c\geq -a, \]

de manera que \(-c\) es cota superior de \(A'\).

Ejercicio 2.5 \(\star\) Demostrar que todo subconjunto no vacío de números reales acotado inferiormente tiene un ínfimo.

Sea \(A\subset\mathbb{R}\) no vacío y acotado inferiormente. Entonces existe un \(c\in\mathbb{R}\) que es cota inferior de \(A\). Si tomamos ahora el conjunto \(A'=\{-a\in\mathbb{R}: a\in A\}\), por el ejercicio Ejercicio 2.4, se cumple que \(-c\) es una cota superior de \(A'\). Así pues, \(A'\) es un conjunto no vacío y acotado superiormente, y por el axioma del supremo, existe \(-s\in\mathbb{R}\) tal que \(-s=\sup(A')\).

Veamos ahora que \(s\) es el ínfimo de \(A\). Como \(-s\) es el supremo de \(A'\), es una cota superior de \(A'\), y por el ejercicio Ejercicio 2.4, se cumple que \(-(-s)=s\) es cota inferior de \(A\). Supongamos ahora que existe otra cota inferior \(x\) de \(A\) tal que \(x>s\). Entonces, aplicando una vez más el Ejercicio 2.4, se tiene que \(-x\) es cota superior de \(A'\), pero \(x>s\Rightarrow (-1)x<(-1)s \Rightarrow -x<-s\), lo que contradice que \(-s\) sea el supremo de \(A'\), ya que \(-x\) sería una cota superior menor que \(-s\). Luego \(s\) es el ínfimo de \(A\).

Ejercicio 2.6 Demostrar que \(|a|-|b|\leq |a-b|\) \(\forall a,b\in\mathbb{R}\).

Veamos todas las posibilidades que pueden darse:

  • Si \(a=0\), entonces \(|a|-|b|= -|b|\leq |-b| = |a-b|\).
  • Si \(b=0\), entonces \(|a|-|b|=|a|= |a-b|\).
  • Si \(a\geq b>0\), entonces \(|a|-|b|=a-b=|a-b|\).
  • Si \(b\geq a>0\), entonces \(|a|-|b|=a-b\leq 0\leq |a-b|\).
  • Si \(a>0>b\), entonces \(|a|-|b| = a-(-b) =a+b < a-b =|a-b|\).
  • Si \(b>0>a\), entonces \(|a|-|b| = -a-b < -a+b = -(a-b) = |a-b|\).
  • Si \(a\leq b<0\), entonces \(|a|-|b| = -a-(-b) = -a+b = -(a-b) = |a-b|\).
  • Si \(b\leq a<0\), entonces \(|a|-|b| = -a-(-b) = -a+b \leq 0 \leq |a-b|\).

Ejercicio 2.7 \(\star\) Usando la propiedad arquimediana de los números reales, demostrar que para cualquier número real \(a\in\mathbb{R}\) con \(a>0\) existe un número natural \(n\in \mathbb{N}\) tal que \(0<\frac{1}{n}<a\).Demostrar también que existe otro número natural \(m\in \mathbb{N}\) tal que \(m-1\leq a< m\).

Como \(a>0\) se tiene que \(\frac{1}{a}>0\), y por la propiedad arquimediana, existe un \(n\in\mathbb{N}\) tal que \(\frac{1}{a}<n\), de donde se deduce que \(\frac{1}{1/a}>\frac{1}{n}>0\), es decir, \(0<\frac{1}{n}<a\).

Para demostrar la segunda parte, considérese ahora el conjunto \(A=\{k\in \mathbb{N}: a<k\}\). Por la propiedad arquimedana sabemos que existe un \(n\in \mathbb{N}\) tal que \(a<n\), y por tanto, \(n\in A\) por lo que \(A\) no está vacío. Aplicando ahora el principio de buena ordenación de los números naturales, como \(A\subset \mathbb{N}\), existe un primer elemento \(m\in A\), tal que \(m-1\not\in A\), de manera que \(m-1\leq a\) y con ello se tiene que \(m-1\leq a<m\).

Ejercicio 2.8 Se dice que un conjunto \(A\) es denso en \(\mathbb{R}\) si cada intervalo \((a,b)\) de \(\mathbb{R}\) contiene algún elemento de \(A\). Demostrar que \(\mathbb{Q}\) es denso en \(\mathbb{R}\).

La prueba es la misma que la de la propiedad arquimediana. Basta con tomar \(n\in \mathbb{N}\) tal que \(\frac{1}{n}< b-a\). Si ahora se toma el primer múltiplo de \(1/n\) tal que \(a<\frac{m}{n}\), también se cumplirá que \(\frac{m}{n}<b\), ya que de lo contrario \(\frac{m-1}{n}<a<b<\frac{m}{n}\) lo que lleva a la contradicción de que \(\frac{1}{n}>b-a\).