Examen de Farmacia 2019-12-16

Grados: Farmacia y Biotecnología Fecha: 16 de diciembre de 2019

Ejercicio 1

Una laguna contaminada con nitratos contiene 1000 toneladas de nitratos disueltos en 6 millones de metros cúbicos de agua. Para descontaminar la laguna se empieza a introducir agua pura a razón de 100000 metros cúbicos por día y se saca la misma cantidad de agua contaminada. Suponiendo que la concentración de nitratos se mantiene uniforme en la laguna, ¿cuál será la cantidad de nitratos en la laguna después de 2 semanas? Si la concentración máxima de nitratos para no considerar el agua contaminada es de $0.1$ kg/m$^3$, ¿cuándo se puede considerar que la laguna está descontaminada?

Sea $n(t)$ la cantidad de nitratos en la laguna en el instante $t$.
Ecuación diferencial: $n'=-n/60$.
Solución: $n(t)=10^6 e^{-t/60}$.
$n(14)=791889.6$ kg.
La laguna estará descontaminada después de $30.6495$ días.

Ejercicio 2

La temperatura $T$ de una reacción depende de las concentraciones de dos substancias $x$ e $y$ estando relacionadas por la expresión $$T(x,y)=-x^3+4x^2y-3y^2$$.

  1. Si la concentración de las substancias $x$ e $y$ son 2 y 1 respectivamente, ¿cuál tendría que ser la variación de las mismas para que la temperatura se incrementase lo más rápidamente posible? ¿Cuál es la variación de la temperatura si cambiamos las concentraciones en esa dirección?
  2. ¿Cómo tendrían que incrementarse las concentraciones para que la tasa de variación de la temperatura fuese 10?

  1. $x$ e $y$ deben cambiar siguiendo la dirección del vector gradiente $\nabla T(2,1) = (4, 10)$. A lo largo de esta dirección la tasa de variación instantánea de la temperatura es $|\nabla T(2,1)|=10.77$ ºC (gr/dl)$^{-1}$.
  2. $x$ e $y$ deben cambiar siguiendo la dirección del vector unitario $(0, 1)$, es decir, $x$ debe mantenerse constante.

Ejercicio 3

Se administra una medicina a un enfermo y t horas después la concentración en sangre del principio activo viene dada por $c(t) = t^2e^{-t/2}$ miligramos por mililitro. Se pide:

  1. Calcular el valor máximo de la concentración e indicar en qué momento se alcanza dicho valor máximo.2. Estudiar la concavidad y calcular los puntos de inflexión de la concentración.

  1. El valor máximo se alcanza para $t=4$ horas y $c(4)=16e^{-2}$ mg/dl.
  2. Hay dos puntos de inflexión en $t=1.1716$ y $t=6.8284$.
    La función es cóncava hacia arriba en $(-\infty, 1.1716) \cup (6.8284, \infty)$ y cóncava hacia abajo en $(1.1716, 6.8284)$.
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