Examen de Farmacia 2018-12-17 Grados: Farmacia y Biotecnología Fecha: 17 de diciembre de 2018 Ejercicio 1 Se sabe que un organismo metaboliza el alcohol a una velocidad de la mitad de la cantidad presente. Si inicialmente no había nada de alcohol y comenzamos a introducir alcohol a un ritmo constante de 2 ml/min, ¿qué cantidad de alcohol habrá en el organismo transcurridos 5 minutos? Solución Sea $a(t)$ la cantidad de alcohol en el organismo en el instante $t$. Ecuación diferencial: $a’=2-a/2$. Solución: $a(t)=4-4e^{-t/2}$. $a(5)=3.6717$ ml. Ejercicio 2 La cantidad $y$ de bacterias de tipo $B$ (en miles) en un cultivo está relacionado con la cantidad $x$ de bacterias de tipo $A$ (también en miles) mediante la función $y=f(x)$. Sabiendo que en este cultivo se cumple la ecuación $x^2y^3-6x^3y^2+2xy=1$ y que $f(1/2)=2$, estudiar si $f$ podría tener un máximo relativo en $x=1/2$. Solución Derivada implícita: $y’= \dfrac{-2xy^3+18x^2y^2+2y}{3x^2y^2-12x^3y+2x}$. $y’(1/2)=6\neq 0$, de manera que $f$ no tiene un máximo local en $x=1/2$. Ejercicio 3 Se han diseñado unas cápsulas con forma piramidal con base un rectángulo de lados $a=3$ cm, $b=4$ cm, y altura $h=6$ cm. Se pide: ¿Cómo deben cambiar las dimensiones de la cápsula para que el volumen aumente lo más rápidamente posible? ¿Cuál sería la tasa de variación del volumen si cambian las dimensiones de la cápsula en la proporciones anteriores? Si se empiezan a cambiar las dimensiones de la cápsula de manera que el lado mayor del rectángulo disminuye la mitad de lo que aumenta el lado menor, y la altura aumenta el doble de lo que aumenta el lado menor, ¿cuál sería la tasa de variación del volumen de la cápsula en las condiciones anteriores? Nota: El volumen de una pirámide es $1/3$ del área la base por la altura. Solución $\nabla V(3,4,6)=(8,6,4)$ y el volumen aumentará a razón de $|\nabla V(3,4,6)|=10.7703$ cm$^3$/s si cambiamos las dimensiones de la cápsula siguiendo esa dirección. Derivada direccional de $V$ en $(3,4,6)$ siguiendo la dirección del vector $\mathbf{u}=(1,-1/2,2)$: $V’_{\mathbf{u}}(3,4,6)=5.6737$ cm$^3$/s. Ejercicio 4 El rendimiento de una cosecha $y$ depende de las concentraciones de nitrógeno $n$ y fósforo $p$ según la ecuación $$y(n,p)=\frac{np}{e^{n+p}}.$$ Calcular el valor de $n$ y $p$ que maximiza el rendimiento de la cosecha. Solución $n=1$ y $p=1$. Examen Anterior Examen de Farmacia 2019-12-16 Siguiente Examen de Farmacia 2018-01-19