Examen de Farmacia 2018-01-19 Grados: Farmacia y Biotecnología Fecha: 19 de enero de 2018 Ejercicio 1 Obtén el plano tangente a la superficie $S: e^xy-zy^2+\frac{x^4}{z}=-1$ en el punto $P=(0,1,2)$ y la recta tangente a la curva obtenida al intersecar $S$ con el plano $z=2$ en el mismo punto $P$. Solución Plano tangente: $x-3y-z+5=0$. Recta tangente: $(3t,1+t)$ o $y=\frac{x}{3}+1$. Ejercicio 2 Se sabe que un organismo metaboliza el alcohol a un ritmo del triple de la cantidad de alcohol presente en cada instante. Si en el instante inicial el organismo no contiene alcohol y se empieza a suministrar alcohol a un ritmo constante de 12 cl la hora, ¿cuánto alcohol habrá en el organismo al cabo de 5 horas? ¿Cuál será la máxima cantidad de alcohol que tendrá el organismo? ¿Cuándo alcanzará dicha cantidad? Solución Sea $y(t)$ la cantidad de alcohol en el organismo en el instante $t$. Ecuación diferencia: $y’=12-3y$. Solución: $y(t)=4-4e^{-3t}$. $y(5)=3.99$ cl. La cantidad máxima de alcohol será 4 cl y se alcanzará en $t=\infty$. Ejercicio 3 Tres alelos $A$, $B$ y $0$ determinan los cuatro grupos sanguíneos $A$ ($AA$ o $A0$), $B$ ($BB$ o $BO$), $0$ ($00$) y $AB$. La ley de Hardy-Weinberg establece que la proporción de individuos en una población que tiene dos alelos diferentes es $$ p(x,y,z)=2xy+2xz+2yz $$ donde $x$, $y$ y $z$ son las proporciones de $A$, $B$ y $O$ en la población. Calcular el máximo de $p$ sabiendo que $x+y+z=1$. Solución Hay un mínimo local en $(\frac{1}{3},\frac{1}{3})$ y $f(\frac{1}{3},\frac{1}{3})=\frac{2}{3}$. Ejercicio 4 La ecuación $$ \ln z - \frac{x^2y}{z}=-1 $$ expresa el equilibrio en una reacción en la que intervienen tres sustancias $x$, $y$ y $z$. Considerando a $z$ como una función implícita de $x$ e $y$, calcular la variación que experimenta $z$ en el instante en que $x=y=z=1$, cuando $y$ decrece a la misma velocidad de que crece $x$. Solución Derivada direccional de $z$ en $(1,1,1)$ siguiendo la dirección del vector $\mathbf{v}=(1,-1)$: $z’_\mathbf{v}(1,1,1)=\frac{1}{2\sqrt{2}}$. Examen Anterior Examen de Farmacia 2018-12-17 Siguiente Examen de Farmacia 2017-11-06