Límites y continuidad

El concepto de límite

Aproximación al concepto de límite

El concepto de límite está ligado al de tendencia.

Decimos que $x$ tiende a un valor $a$, y lo escribimos $x\to a$, si se pueden tomar valores de $x$ tan próximos a $a$ como se quiera, pero sin llegar a valer $a$.

Si la aproximación es por defecto (con valores menores que $a$) se dice que $x$ tiende a $a$ por la izquierda, y se escribe $x\to a^{-}$, y si es por exceso (con valores mayores que $a$) se dice que $x$ tiende a $a$ por la derecha, y se escribe $x\to a^{+}$.

Cuando la variable $x$ de una función $f$ tiende a un valor $a$, cabe preguntarse si sus imágenes mediante $f$ tienden a otro valor concreto:

Si $f(x)$ tiende a un valor $l$ cuando $x$ tiende a $a$, se dice que $l$ es el límite de $f(x)$ cuando $x\to a$, y se escribe

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=l.$$

Límites laterales

Si $f(x)$ tiende a $l$ cuando $x$ tiende a $a$ por la izquierda, entonces se dice que $l$ es el límite por la izquierda de $f(x)$ cuando $x\to a^{-}$, y se escribe

$$\underset{x\to a^{-}}{lim}f(x)=l.$$

Si $f(x)$ tiende a $l$ cuando $x$ se aproxima a $a$ por exceso, entonces se dice que $l$ es el límite por la derecha de $f(x)$ cuando $x\to a^{-}$, y se escribe

$$\underset{x\to a^{+}}{lim}f(x)=l.$$

Ejemplo. Consideremos la función $f(x)=x^2$ y veamos que pasa cuando $x\to 2$:

$$\begin{array}{c}\underbrace{\begin{array}{ccc}\text{Aproximación por defecto}& & \text{Aproximación por exceso}\\ \begin{array}{|ll|}\hline x& f(x)=x^2\\ 1.9& 3.61\\ 1.99& 3.9601\\ 1.999& 3.996001\\ 1.9999& 3.99960001\\ \hline\end{array}& & \begin{array}{|ll|}\hline x& f(x)=x^2\\ 2.1& 4.41\\ 2.01& 4.0401\\ 2.001& 4.004001\\ 2.0001& 4.00040001\\ \hline\end{array}\\ \Downarrow & & \Downarrow \\ \underset{x\to 2^{-}}{lim}{x}^2=4& & \underset{x\to 2^{+}}{lim}{x}^2=4\end{array}}\\ \Downarrow \\ \underset{x\to 2}{lim}{x}^2=4\end{array}$$

Límites que no existen (I)

Si la función no está definida entorno a un punto, entonces no existe el límite en dicho punto

Ejemplo. Consideremos la función $f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}}$ y veamos que pasa cuando $x\to 0$:

$$\begin{array}{c}\underbrace{\begin{array}{ccc}\text{Por la izquierda}& & \text{Por la derecha }\\ \begin{array}{|ll|}\hline x& f(x)\\ -0.1& \text{No exite}\\ -0.01& \text{No existe}\\ -0.001& \text{No existe}\\ \hline\end{array}& & \begin{array}{|ll|}\hline x& f(x)\\ 0.1& \text{No existe}\\ 0.01& \text{No existe}\\ 0.001& \text{No existe}\\ \hline\end{array}\\ \Downarrow & & \Downarrow \\ {\displaystyle \text{No existe }\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}}& & {\displaystyle \text{No existe }\underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}}\end{array}}\\ \Downarrow \\ {\displaystyle \text{No existe }\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}}\end{array}$$

Límites que no existen (II)

Cuando los límites laterales no coinciden entonces no existe el límite

Ejemplo. Consideremos la función $f(x)={\displaystyle \frac{|x|}{x}}$ y veamos que pasa cuando $x\to 0$:

$$\begin{array}{c}\underbrace{\begin{array}{ccc}\text{Por la izquierda}& & \text{Por la derecha }\\ \begin{array}{|ll|}\hline x& f(x)\\ -0.1& -1\\ -0.01& -1\\ -0.001& -1\\ \hline\end{array}& & \begin{array}{|ll|}\hline x& f(x)\\ 0.1& 1\\ 0.01& 1\\ 0.001& 1\\ \hline\end{array}\\ \Downarrow & & \Downarrow \\ {\displaystyle \underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{|x|}{x}=-1}& \ne & {\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{|x|}{x}=1}\end{array}}\\ \Downarrow \\ {\displaystyle \text{No existe }\underset{x\to 0}{lim}\frac{|x|}{x}}\end{array}$$

Límites que no existen (III)

A veces, cuando $x\to a$ los valores de $f(x)$ crecen o decrecen infinitamente y entonces no existe el límite. En este caso se dice que la función diverge y se escribe

$$\underset{x\to a}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }$$

Ejemplo. Veamos la tendencia de la función $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x^2}}$ cuando $x\to 0$:

$$\begin{array}{c}\underbrace{\begin{array}{ccc}\text{Por la izquierda}& & \text{Por la derecha }\\ \begin{array}{|lr|}\hline x& f(x)\\ -0.1& 100\\ -0.01& 10000\\ -0.001& 1000000\\ \hline\end{array}& & \begin{array}{|lr|}\hline x& f(x)\\ 0.1& 100\\ 0.01& 10000\\ 0.001& 1000000\\ \hline\end{array}\\ \Downarrow & & \Downarrow \\ {\displaystyle \underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{1}{x^2}=+\mathrm{\infty }}& & {\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{1}{x^2}=+\mathrm{\infty }}\end{array}}\\ \Downarrow \\ {\displaystyle \text{No existe }\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{x^2}=\mathrm{\infty }}\end{array}$$

Límites que no existen (IV)

A veces, el límite de un función en un punto puede no existir porque la función oscila rápidamente al acercarnos a dicho punto.

Ejemplo. Consideremos la función $f(x)=\mathrm{sen}{\displaystyle \frac{1}{x}}$ y veamos que pasa cuando $x\to 0$:

$$\begin{array}{ccc}\text{Por la izquierda}& & \text{Por la derecha }\\ \begin{array}{|ll|}\hline x& f(x)\\ -0.1& -0.1736\\ -0.01& -0.9848\\ -0.005& 0.3420\\ -0.001& 0.9848\\ -0.0005& 0.3420\\ -0.0001& 0.9848\\ \hline\end{array}& & \begin{array}{|ll|}\hline x& f(x)\\ 0.1& 0.1736\\ 0.01& 0.9848\\ 0.005& -0.3420\\ 0.001& -0.9848\\ 0.0005& -0.3420\\ 0.0001& -0.9848\\ \hline\end{array}\\ \Downarrow & & \Downarrow \\ {\displaystyle \text{No existe }\underset{x\to 0^{-}}{lim}\mathrm{sen}\frac{1}{x}}& & {\displaystyle \text{No existe }\underset{x\to 0^{+}}{lim}\mathrm{sen}\frac{1}{x}}\end{array}$$

Límites en el infinito

Si $f(x)$ tiende a $l$ cuando $x$ crece infinitamente, entonces se dice que $l$ es el límite en el infinito de $f(x)$ cuando $x\to +\mathrm{\infty }$, y se escribe

$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=l.$$

Si $f(x)$ tiende a $l$ cuando $x$ decrece infinitamente, entonces se dice que $l$ es el límite en el infinito de $f(x)$ cuando $x\to -\mathrm{\infty }$, y se escribe

$$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}f(x)=l.$$

Ejemplo. Estudiemos la tendencia de $f(x)={\displaystyle \frac{1}{x}}$ cuando $x\to \pm \mathrm{\infty }$:

$$\begin{array}{ccc}x\to +\mathrm{\infty }& & x\to -\mathrm{\infty }\\ \begin{array}{|rl|}\hline x& f(x)=1/x\\ 1000& 0.001\\ 10000& 0.0001\\ 100000& 0.00001\\ \hline\end{array}& & \begin{array}{|rl|}\hline x& f(x)=1/x\\ -1000& -0.001\\ -10000& -0.0001\\ -100000& -0.00001\\ \hline\end{array}\\ \Downarrow & & \Downarrow \\ \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}=0& & \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{x}=0\end{array}$$

Definición de límite

Definición de límite en el infinito

Álgebra de límites

Dadas dos funciones $f(x)$ y $g(x)$, tales que existe $$\underset{x\to a}{lim}f(x)$$ y $$\underset{x\to a}{lim}g(x)$$, entonces se cumple que

1. $$\underset{x\to a}{lim}cf(x)=c\underset{x\to a}{lim}f(x)$$, siendo $c$ constante.
2. $$\underset{x\to a}{lim}(f(x)\pm g(x))=\underset{x\to a}{lim}f(x)\pm \underset{x\to a}{lim}g(x).$$
3. $$\underset{x\to a}{lim}(f(x)\cdot g(x))=\underset{x\to a}{lim}f(x)\cdot \underset{x\to a}{lim}g(x).$$
4. $$\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{{\displaystyle \underset{x\to a}{lim}f(x)}}{{\displaystyle \underset{x\to a}{lim}g(x)}}$$ si $$\underset{x\to a}{lim}g(x)\ne 0.$$

Límites de las funciones elementales

• Funciones polinómicas. Si $f$ es un polinomio, entonces existe el límite de $f$ en cualquier punto $a\in \mathbb{R}$ y $\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$.

• Funciones racionales. Si $f(x)={\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}}$ con $p(x)$ y $q(x)$ dos polinomios, entonces existe el límite de $f$ en cualquier punto $a\in \mathbb{R}$ que no sea una raíz de $q(x)$, y $\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$. Si $a$ es una raíz de $q(x)$ entonces el límite puede existir o no.

• Funciones potenciales. Si $f(x)=x^r$ con $r\in \mathbb{R}$, entonces existe el límite de $f$ en cualquier punto $a$ tal que exista un intervalo $(a-\delta ,a+\delta )\subset \text{Dom}(f)$ para algún $\delta >0$, y en ese caso, $\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$.

• Funciones exponenciales. Si $f(x)=c^x$ con $c\in \mathbb{R}$ entonces existe el límite de $f$ en cualquier punto $a\in \mathbb{R}$ y$\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$.

• Funciones logarítmicas. Si $f(x)={\log }_{c}x$ con $c\in \mathbb{R}$, entonces existe el límite de $f$ en cualquier punto $a\in {\mathbb{R}}^{+}$ y $\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$.

• Funciones trigonométricas. Si $f(x)$ es una función trigonométrica, entonces existe el límite de $f$ en cualquier punto $a\in \text{Dom}(f)$ y $\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$.

Indeterminaciones y su resolución

Tipos de indeterminaciones

Al calcular límites pueden aparecer las siguientes indeterminaciones:

• Tipo cociente. Si $\underset{x\to a}{lim}f(x)=0$ y $\underset{x\to a}{lim}g(x)=0$, entonces ${\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}$ presenta una indeterminación del tipo ${\displaystyle \frac{0}{0}}$ cuando $x\to a$.

  Si $\underset{x\to a}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }$ y $\underset{x\to a}{lim}g(x)=\pm \mathrm{\infty }$, entonces ${\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}}$ presenta una indeterminación del tipo $\pm {\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$ cuando $x\to a$.

• Tipo producto. Si $\underset{x\to a}{lim}f(x)=0$ y $\underset{x\to a}{lim}g(x)=\pm \mathrm{\infty }$, entonces $f(x)\cdot g(x)$ presenta una indeterminación del tipo $0\cdot \pm \mathrm{\infty }$ cuando $x\to a$.

• Tipo potencia. Si $\underset{x\to a}{lim}f(x)=1$ y $\underset{x\to a}{lim}g(x)=\mathrm{\infty }$, entonces $f(x{)}^{g(x)}$ presenta una indeterminación del tipo $1^{\mathrm{\infty }}$ cuando $x\to a$.

  Si $\underset{x\to a}{lim}f(x)=0$ y $\underset{x\to a}{lim}g(x)=0$, entonces $f(x{)}^{g(x)}$ presenta una indeterminación del tipo $0^0$ cuando $x\to a$.

  Si $\underset{x\to a}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$ y $\underset{x\to a}{lim}g(x)=0$, entonces $f(x{)}^{g(x)}$ presenta una indeterminación del tipo ${\mathrm{\infty }}^0$ cuando $x\to a$.

• Tipo diferencia. Si $\underset{x\to a}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$ y $\underset{x\to a}{lim}g(x)=\mathrm{\infty }$, entonces $f(x)-g(x)$ presenta una indeterminación del tipo $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ cuando $x\to a$.

Resolución de una indeterminación de tipo cociente

Existen diferentes técnicas para resolver una indeterminación del tipo ${\displaystyle \frac{0}{0}}$ o ${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$:

• Factorización de polinomios en funciones racionales.
• División por el términos de mayor orden en funciones racionales.
• Infinitésimos equivalentes.
• Regla de L’Hôpital.

Factorización de polinomios en funciones racionales

Si $f(x)={\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}}$ es una función racional que presenta una indeterminación de tipo cociente cuando $x\to a$, y $a$ es una raíz de $p(x)$ y $q(x)$, se puede resolver la indeterminación factorizando los polinomios y simplificando.

Ejemplo. La función $f(x)={\displaystyle \frac{x^3-3x+2}{x^4-4x+3}}\to {\displaystyle \frac{0}{0}}$ cuando $x\to 1$.

Para resolver la indeterminación factorizamos los polinomios

$$\begin{array}{rl}{x}^3-3x+2& =(x+2)(x-1{)}^2,\\ x^4-4x+3& =(x^2+2x+3)(x-1{)}^2.\end{array}$$

Como el factor $(x-1{)}^2$ es común, podemos simplificar la función en el cálculo del límite:

$$\underset{x\to 1}{lim}\frac{x^3-3x+2}{x^4-4x+3}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{(x+2)(x-1{)}^2}{(x^2+2x+3)(x-1{)}^2}=\underset{x\to 1}{lim}\frac{(x+2)}{(x^2+2x+3)}=\frac{3}{6}=0.5.$$ ¹

División por el término de mayor orden en funciones racionales

Si $f(x)={\displaystyle \frac{p(x)}{q(x)}}$ es una función racional que presenta una indeterminación de tipo cociente cuando $x\to \pm \mathrm{\infty }$, entonces se puede resolver dividendo $p(x)$ y $q(x)$ por el término de mayor grado de ambos polinomios.

Ejemplo. La función $f(x)={\displaystyle \frac{x^3-3x+2}{x^4-4x+3}}\to {\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$ cuando $x\to \mathrm{\infty }$.

Para resolver la indeterminación dividimos numerador y denominador por $x^4$ que es el término de mayor grado:

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^3-3x+2}{x^4-4x+3}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{x^3-3x+2}{x^4}}{\frac{x^4-4x+3}{x^4}}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{1}{x}-\frac{3}{x^3}+\frac{2}{x^4}}{1-\frac{4}{x^3}+\frac{3}{x^4}}=\frac{0}{1}=0$$

En general, si $f(x)={\displaystyle \frac{a_0+a_{1}x+\cdots a_n{x}^n}{b_0+b_{1}x+\cdots b_m{x}^m}}$, entonces:

• Si $n>m$ entonces $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=\pm \mathrm{\infty }$.
• Si $n<m$ entonces $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=0$.
• Si $n=m$ entonces $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}f(x)={\displaystyle \frac{a_n}{b_m}}$.

Infinitésimos equivalentes

Si $f(x)\approx g(x)$ cuando $x\to a$ entonces $f(x)$ y $g(x)$ son magnitudes equivalentes cuando $x\to a$.

Infinitésimos equivalentes cuando $x\to 0$:

$$\begin{array}{c}\mathrm{sen}x\approx x\approx \mathrm{tg}x\\ 1-\cos x\approx {\displaystyle \frac{x^2}{2}}\\ \mathrm{arctg}x\approx x\\ e^x-1\approx x\\ \log (1+x)\approx x\end{array}$$

A veces se puede resolver una indeterminación cuando $x\to a$ sustituyendo cualquier subexpresión de la función por un infinitésimo equivalente cuando $x\to a$.

Ejemplo. La función $f(x)={\displaystyle \frac{\mathrm{sen}x(1-\cos x)}{x^3}}\to {\displaystyle \frac{0}{0}}$ cuando $x\to 0$.

Como $\mathrm{sen}x\approx x$ y $1-\cos x\approx {\displaystyle \frac{x^2}{2}}$ cuando $x\to 0$, para resolver la indeterminación sustituimos $\mathrm{sen}x$ por $x$ y $1-\cos x$ por ${\displaystyle \frac{x^2}{2}}$:

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{sen}x(1-\cos x)}{x^3}& =\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{x\frac{x^2}{2}}{x^3}}=\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\frac{x^3}{2}}{x^3}}=\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1}{2}}=0.5.\end{array}$$

Regla de L’Hôpital

Ejemplo. Sea $f(x)={\displaystyle \frac{\log (x^2-1)}{x+2}}\to {\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$ cuando $x\to \mathrm{\infty }$.

Para resolver la indeterminación aplicamos la regla de L’Hôpital:

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\log (x^2-1)}{x+2}& =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{(\log (x^2-1))}^{\prime }}{{(x+2)}^{\prime }}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{2x}{x^2-1}}{1}=\\ & =\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2x}{x^2-1}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{{\left(2x\right)}^{\prime }}{{(x^2-1)}^{\prime }}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{2}{2x}=0.\end{array}$$

Resolución de una indeterminación de tipo producto

Si $f(x)\to 0$ y $g(x)\to \pm \mathrm{\infty }$ cuando $x\to a$, entonces la indeterminación $f(x)\cdot g(x)\to 0\cdot \pm \mathrm{\infty }$ puede convertirse en una de tipo cociente mediante la transformación:

$$f(x)\cdot g(x)=\frac{f(x)}{1/g(x)}\to \frac{0}{0}.$$

Ejemplo. Sea $f(x)=x^2{e}^{1/x^2}\to 0\cdot \mathrm{\infty }$ cuando $x\to 0$.

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}{x}^2{e}^{1/x^2}& =\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^{1/x^2}}{1/x^2}\to \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}\end{array}$$

Aplicando ahora la regla de L´Hôpital tenemos:

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^{1/x^2}}{1/x^2}& =\underset{x\to 0}{lim}\frac{{\left(e^{1/x^2}\right)}^{\prime }}{{\left(1/x^2\right)}^{\prime }}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{e^{1/x^2}\frac{-2}{x^3}}{\frac{-2}{x^3}}=\underset{x\to 0}{lim}{e}^{1/x^2}=\mathrm{\infty }.\end{array}$$

Resolución de una indeterminación de tipo potencia

Si $f(x{)}^{g(x)}$ presenta una indeterminación de tipo potencia cuando $x\to a$, entonces la indeterminación puede convertirse en una de tipo producto mediante la transformación:

$$\exp (\log f(x{)}^{g(x)})=\exp (g(x)\cdot \log f(x)).$$

Ejemplo. Sea $f(x)={(1+{\displaystyle \frac{1}{x}})}^x\to 1^{\mathrm{\infty }}$ cuando $x\to 0$.

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}{(1+{\displaystyle \frac{1}{x}})}^x& =\underset{x\to 0}{lim}\exp (\log {(1+\frac{1}{x})}^x)=\exp (\underset{x\to 0}{lim}x\log (1+\frac{1}{x}))=\\ & =\exp \left(\underset{x\to 0}{lim}\frac{\log (1+\frac{1}{x})}{1/x}\right)\end{array}$$

Aplicando ahora la regla de L´Hôpital tenemos:

$$\begin{array}{rl}\exp \left(\underset{x\to 0}{lim}\frac{{(\log (1+\frac{1}{x}))}^{\prime }}{{\left(1/x\right)}^{\prime }}\right)& =\exp \left(\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{1}{1+1/x}\frac{-1}{x^2}}{\frac{-1}{x^2}}\right)=\exp \left(\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{1+\frac{1}{x}}\right)=\exp (1)=e.\end{array}$$

Resolución de una indeterminación de tipo diferencia

Si $f(x)\to \mathrm{\infty }$ y $g(x)\to \mathrm{\infty }$ cuando $x\to a$, entonces la indeterminación $f(x)-g(x)$ puede convertirse en una de tipo cociente mediante la transformación:

$$f(x)-g(x)=\frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{f(x)g(x)}}\to \frac{0}{0}.$$

Ejemplo. Sea $f(x)={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{sen}x}}-{\displaystyle \frac{1}{x}}\to \mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$ cuando $x\to 0$.

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\mathrm{sen}x}-\frac{1}{x}& =\underset{x\to 0}{lim}\frac{x-\mathrm{sen}x}{x\mathrm{sen}x}\to \frac{0}{0}.\end{array}$$

Aplicando ahora la regla de L´Hôpital tenemos:

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{x-\mathrm{sen}x}{x\mathrm{sen}x}& =\underset{x\to 0}{lim}\frac{{(x-\mathrm{sen}x)}^{\prime }}{{\left(x\mathrm{sen}x\right)}^{\prime }}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{1-\cos x}{\mathrm{sen}x+x\cos x}=\\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{{(1-\cos x)}^{\prime }}{{(\mathrm{sen}x+x\cos x)}^{\prime }}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{sen}x}{\cos x+\cos x-x\mathrm{sen}x}=\\ & =\frac{0}{2}=0.\end{array}$$

Asíntotas de una función

Una asíntota de una función es una recta a la que tiende la función en el infinito, es decir, que la distancia entre la recta y la función es cada vez menor.

Existen tres tipos de asíntotas:

• Asíntota vertial: $x=a$,
• Asíntota horizontal: $y=a$,
• Asíntota oblicua: $y=a+bx$.

Asíntotas verticales

Las asíntotas verticales deben buscarse en los puntos donde no está definida la función, pero si lo está en las proximidades.

Ejemplo. La recta $x=2$ es una asíntota vertical de $f(x)={\displaystyle \frac{x+1}{x-2}}$ ya que

$$\underset{x\to 2^{-}}{lim}\frac{x+1}{x-2}=-\mathrm{\infty },\text{ y }\underset{x\to 2^{+}}{lim}\frac{x+1}{x-2}=\mathrm{\infty }.$$

Asíntotas horizontales

Ejemplo. La recta $y=1$ es una asíntota horizontal de $f(x)={\displaystyle \frac{x+1}{x-2}}$ ya que

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+1}{x-2}& =\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}1+\frac{3}{x-2}=1,\text{ y}\\ \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{x+1}{x-2}& =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}1+\frac{3}{x-2}=1.\end{array}$$

Asíntotas oblicuas

Ejemplo. La recta $y=x+1$ es una asíntota oblicua de $f(x)={\displaystyle \frac{x^2}{x-1}}$ ya que

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{\frac{x^2}{x-1}}{x}& =\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2}{x^2-x}=1,\text{ y}\\ \underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{x^2}{x-1}-x& =\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}1+\frac{x}{x-1}=1\end{array}$$

Continuidad

De esta definición se deducen tres condiciones necesarias para la continuidad:

1. $f(a)\in \mathrm{Dom}(f)$.
2. Existe $\underset{x\to a}{lim}f(x)$.
3. $\underset{x\to a}{lim}f(x)=f(a)$.

Si se rompe alguna de estas condiciones, se dice que la función presenta una discontinuidad en $a$.

La gráfica de una función continua en un intervalo puede dibujarse sin levantar el lápiz.

Tipos de discontinuidades

Dependiendo de la condición de continuidad que se rompa, existen distintos tipos de discontinuidades:

• Discontinuidad evitable.
• Discontinuidad de 1ª especie de salto finito.
• Discontinuidad de 1ª especie de salto infinito.
• Discontinuidad de 2ª especie.

Discontinuidad evitable

Ejemplo. La función $f(x)={\displaystyle \frac{x^2-1}{x-1}}$ tiene una discontinuidad evitable en $x=1$ ya que la función no está definida en $x=1$ pero

$$\underset{x\to 2}{lim}\frac{x^2-1}{x-1}=\underset{x\to 2}{lim}x+1=2.$$

Discontinuidad de 1ª especie de salto finito

Ejemplo. La función $f(x)={\displaystyle \frac{|x|}{x}}$ tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto finito en $x=0$ ya que

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{|x|}{x}& =-1\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{|x|}{x}& =1\end{array}$$

Salto $=1-(-1)=2$.

Discontinuidad de 1ª especie de salto infinito

Si $f$ tienen una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito en un punto $a$, entonces $f$ tienen una asíntota vertical $x=a$.

Ejemplo. La función $f(x)=e^{1/x}$ tiene una discontinuidad de 1ª especie de salto infinito en $x=0$ ya que

$$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0^{-}}{lim}{e}^{1/x}& =0\\ \underset{x\to 0^{+}}{lim}{e}^{1/x}& =\mathrm{\infty }\end{array}$$

Discontinuidad de 2ª especie

Normalmente la discontinuidades de 2ª especie se dan en puntos donde la función no definida en sus proximidades.

Ejemplo. La función $f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}}$ tiene una discontinuidad de 2ª especie en $x=1$ ya que

$$\begin{array}{rl}& \underset{x\to 1^{-}}{lim}\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\text{ no existe}\\ & \underset{x\to 1^{+}}{lim}\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}=\mathrm{\infty }\end{array}$$

Notas