Cálculo integral

Primitiva de una función

Definición - Primitiva de una función. Se dice que la función F(X) es una función primitiva de f(x) si se verifica que F(x)=f(x) xDom(f).

Ejemplo. La función F(x)=x2 es una primitiva de la función f(x)=2x ya que F(x)=2x para todo R.

El cálculo de primitivas puede verse con un proceso inverso al cálculo de derivadas, y es por eso también se suele llamar antiderivada a la primitiva de una función.

Integral indefinida de una función

Si F(x) es una función primitiva de f(x) también lo será toda función de la forma F(x)+C, CR, de manera que si una función tiene primitiva, tiene infinitas primitivas que se obtienen añadiendo una constante a cualquiera de ellas.

Definición - Integral indefinida. Se llama función integral indefinida de la función f al conjunto de todas sus funciones primitivas y se representa como

f(x)dx=F(x)+C

siendo F(x) una función primitiva de f(x) y C una constante arbitraria.

Ejemplo. La integral indefinida de f(x)=2x es

2xdx=x2+C.

Interpretación de la integral

En temas anteriores se vio que la derivada de una función es la tasa de variación instantánea, de manera que si conocemos la tasa de variación instantánea de una función en cada instante, podemos averiguar la variación real de la función.

Ejemplo. ¿Cuál sera el espacio recorrido por un objeto en caída libre?

Cuando soltamos cualquier objeto desde una altura, la única fuerza que actúa sobre el es la gravedad, con una aceleración aproximada de 9.8 m/s2, esto quiere decir que la velocidad varía de forma constante y por tanto la velocidad del objeto en cada instante t sera:

v(t)=9.8t m/s.

Puesto que la velocidad en cada instante es la tasa de variación instantánea del espacio recorrido por el objeto, su primitiva nos dará el espacio recorrido por el objeto en cada instante:

e(t)=9.8tdt=9,8t22.

Así, por ejemplo, a los 2 segundos, el espacio recorrido será e(2)=9.8222=19.6 m.

Linealidad de la integral

Dadas dos funciones f y g que admiten primitiva, y una constante kR se verifica que

  1. (f(x)+g(x))dx=f(x)dx+g(x)dx,
  2. kf(x)dx=kf(x)dx.

Integrales inmediatas

  • adx=ax+C, con a constante.
  • xndx=xn+1n+1+C si n1.
  • 1xdx=ln|x|+C.
  • exdx=ex+C.
  • axdx=axlna+C.
  • senxdx=cosx+C.
  • cosxdx=senx+C.
  • tgxdx=ln|secx|+C.
  • secxdx=ln|secx+tgx|+C.
  • cosecxdx=ln|cosecxcotgx|+C.
  • cotgxdx=ln|senx|+C.
  • sec2xdx=tgx+C.
  • cosec2xdx=cotgx+C.
  • secxtgxdx=secx+C.
  • cosecxcotgxdx=cosecx+C.
  • dxa2x2=arcsenxa+C.
  • dxa2+x2=1aarctgxa+C.
  • dxxx2a2=1asec1xa+C.
  • dxa2x2=12aln|x+axa|+C.

Técnicas de integración

Desgraciadamente, y a diferencia del cálculo de derivadas, no existe un procedimiento infalible que permita calcular la primitiva de una función siempre que exista. Existen no obstante, diferentes técnicas para integrar algunos tipos de funciones. Las técnicas más habituales son:

  • Integración por partes
  • Integración por reducción
  • Integración por cambio de variable
  • Integración de funciones racionales
  • Integración de funciones trigonométricas

Integración por partes

Teorema - Integración por partes. Dadas f y g, dos funciones derivables de x,

f(x)g(x)dx=f(x)g(x)g(x)f(x)dx,

o con notación diferencial, si u y v son funciones derivables de x

udv=uvvdu.

De la regla de la derivada del producto se tiene

(uv)=uv+uv

y calculando la integral a ambos lados se llega a

(uv)dx=uvdx+uvdxuv=vdu+udvudv=uvvdu.

Al emplear el método de integración por partes se debe realizar la elección de u y dv de tal forma que las integrales que haya que realizar sean lo más sencillas posibles.

Ejemplo. Para integrar xsenxdx se deberá elegir u=x y dv=senxdx, con lo que du=dx y v=cosx, resultando

xsenxdx=xcosx(cosx)dx=xcosx+senx.

Si hubiésemos elegido u=senx y dv=xdx, la cosa se complica.

Integración por reducción

Las fórmulas de reducción permiten simplificar el cálculo cuando hay que aplicar la integración por partes varias veces consecutivas.

Si se tiene que calcular una integral indefinida In que depende de un número natural n, las fórmulas de reducción nos permitirán expresar In en función de In1, es decir se obtendrá una relación recurrente del tipo

In=f(In1,x,n)

con lo que calculando una integral se pueden obtener fácilmente las demás.

Ejemplo. Si se desea calcular In=xnexdx, aplicando la integración por partes se debe elegir u=xn y dv=exdx, con lo que du=nxn1dx y v=ex, obteniéndose

 In=xnexdx=xnexnxn1exdx=xnexnIn1.

Así, por ejemplo, para n=3 se tiene

x3exdx=I3=x3ex3I2=x3ex3(x2ex2I1)=x3ex3(x2ex(xexI0)==x3ex3(x2ex(xexex)=ex(x33x2+6x6).

Integración por cambio de variable

La regla de la cadena establece que la derivada de una función compuesta f(g(x)) es f(g(x))=f(g(x))g(x), de manera que es posible integrar esta última expresión haciendo un cambio de variable u=g(x) de manera que du=g(x)dx:

f(g(x))g(x)dx=f(u)du=f(u)+C=f(g(x))+C.

Ejemplo. Para calcular la integral 1xlogxdx puede hacerse el cambio de variable u=logx con lo que du=1xdx y sustituyendo queda

dxxlogx=1logx1xdx=1udu=log|u|+C,

y deshaciendo el cambio tenemos

1xlogxdx=log|logx|+C.

Integración de funciones racionales

Descomposición en fracciones simples

Toda función racional se puede escribir como suma de un polinomio (que tiene primitiva inmediata) más una función racional propia, es decir, una función racional en la que el grado del numerador sea menor que el grado del denominador. A su vez, toda función racional propia puede expresarse como suma de fracciones simples de los tipos siguientes:

A(xa): con raíces reales simples del denominador.A(xa)n: con raíces reales múltiples del denominador.Ax+Bx2+cx+d: con raíces complejas simples del denominador.Ax+B(x2+cx+d)n: con raíces complejas múltiples del denominador.

con n>1.

Primitivas de fracciones simples

Usando la linealidad de la integral, basta calcular la primitiva de cada una de estas fracciones simples para calcular la primitiva de la función racional:

Axadx=Alog|xa|+C,A(xa)ndx=A(n1)(xa)n1+C si n1.Ax+Bx2+cx+d=A2log|x2+cx+d|+2BAc4dc2arctg2x+c4dc2+C.

Ejemplo - Raíces reales. Consideremos la función f(x)=x2+3x5x33x+2. Su denominador se puede factorizar como x33x+2=(x1)2(x+2) por lo que tiene una raíz simple -2 y una raíz múltiple 1.

La descomposición en fracciones simples es:

x2+3x5x33x+2=Ax1+B(x1)2+Cx+2==A(x1)(x+2)+B(x+2)+C(x1)2(x1)2(x+2)==(A+C)x2+(A+B2C)x+(2A+2B+C)(x1)2(x+2)

e igualando los numeradores tenemos A=16/9, B=1/3 y C=7/9, de modo que

x2+3x5x33x+2=16/9x1+1/3(x1)2+7/9x+2.

Finalmente, integrando tenemos

x2+3x5x33x+2dx=16/9x1dx+1/3(x1)2dx+7/9x+2dx==1691x1dx13(x1)2dx791x+2dx==169ln|x1|+13(x1)79ln|x+2|+C.

Ejemplo - Raíces imaginarias. Consideremos la función f(x)=x+1x24x+8.

En este caso el denominador no tiene raíces reales, pero puede escribirse de la forma x24x+8=(x2)2+4 Integrando, tenemos

x+1x24x+8dx=x2+3(x2)2+4dx==x2(x2)2+4dx+3(x2)2+4dx==12ln|(x2)2+4|+32arctg(x22)+C.

Integración de funciones trigonométricas

Función sinnxcosmx con n o m impares

Si f(x)=sinnxcosmx con n o m impares, entonces para integrar esta función se hace el cambio senx=t o cosx=t.

Ejemplo.

sen2xcos3xdx=sen2xcos2xcosxdx=sen2x(1sen2x)cosxdx,

y haciendo el cambio t=senx, de modo que dt=cosxdx, se tiene

sen2x(1sen2x)cosxdx=t2(1t2)dt=t2t4dt=t33t55+C,

y deshaciendo el cambio anterior se obtiene

sen2xcos3xdx=sen3x3sin5x5+C.

Función sinnxcosmx con n y m pares

Si f(x)=sennxcosmx con n y m pares, entonces se suelen utilizar las siguientes igualdades para facilitar el cálculo de la integral:

sen2x=12(1cos2x)cos2x=12(1+cos2x)senxcosx=12sen2x

Ejemplo.

sen2xcos4xdx=(senxcosx)2cos2xdx=(12sen2x)212(1+cos2x)dx==18sen22xdx+18sin22xcos2xdx,

siendo la primera integral es de este mismo tipo y la segunda del anterior

sen2xcos4xdx=132x132sen2x)+124sen32x.

Productos de senos y cosenos

Las igualdades

senxcosy=12(sen(xy)+sen(x+y))senxseny=12(cos(xy)cos(x+y))cosxcosy=12(cos(xy)+cos(x+y))

transforman los productos en sumas, simplificando su integración.

Ejemplo.

senxcos2xdx=12(sen(x2x)+sen(x+2x))dx==12sen(x)dx+12sen3xdx==12cos(x)16cos3x+C.

Funciones racionales de senos y cosenos

Si f(x,y) es una función racional entonces la función f(senx,cosx) puede convertirse en una función racional en t mediante los cambios

tgx2=tsenx=2t1+t2cosx=1t21+t2dx=21+t2dt.

Ejemplo.

1senxdx=12t1+t221+t2dt=1tdt=log|t|+C=log|tgx2|+C.

Integral definida

Definición - Integral definida. Sea f(x) una función continua en el intervalo [a,b]. Si se divide este intervalo en n subintervalos de igual amplitud Δx y se elige un punto cualquiera xi de cada subintervalo, la integral definida de f desde a hasta b se define como el límite

abf(x)dx=limni=1nf(xi)Δx.

Sumas de Riemann

Teorema - Primer teorema fundamental de Cálculo. Si f(x) es una función continua en el intervalo [a,b] y F(x) es la primitiva de f en [a,b], entonces

abf(x)dx=F(b)F(a)

Ejemplo. Dada la función f(x)=x2, se tiene

12x2dx=[x33]12=233133=73.

Propiedades de la integral definida

Dadas dos funciones f y g integrables en [a,b] y kR se cumplen las siguientes propiedades

  • ab(f(x)+g(x))dx=abf(x)dx+abg(x)dx (linealidad)
  • abkf(x)dx=kabf(x)dx (linealidad)
  • abf(x)dxabg(x)dx si f(x)g(x) x[a,b] (monotonía)
  • abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx para cualquier c(a,b) (aditividad)
  • abf(x)dx=baf(x)dx

Cálculo de áreas

Área delimitada por una función positiva y el eje de abscisas

Si f es una función integrable en un intervalo [a,b] y f(x)0 x[a,b], entonces la integral definida

abf(x)dx

mide le área que queda entre la el gráfico de la función f y el eje de abscisas en el intervalo [a,b].

Area delimitada por el gráfico de una función positiva entre la función y el eje X en un intervalo

Área delimitada por una función negativa y el eje de abscisas

Si f es una función integrable en un intervalo [a,b] y f(x)0 x[a,b], entonces el área que queda entre el gráfico de la función f y el eje de abscisas en el intervalo [a,b] es

abf(x)dx.

Area delimitada por el gráfico de una función negativa entre la función y el eje X en un intervalo

Área delimitada por una función y el eje de abscisas

En general, si f(x) es una función integrable en el intervalo [a,b], no importa el signo de f en [a,b], el area entre el gráfico de la función f y el eje de abscisas en el intervalo [a,b] es

ab|f(x)|dx.

Area delimitada por el gráfico de una función y el eje X en un intervalo

Área delimitada por dos funciones

Si f y g son dos funciones integrables en el intervalo [a,b], entonces el área limitada por los gráficos de f y g en el intervalo [a,b] es

ab|f(x)g(x)|dx.

Area delimitada por el gráfico de dos funciones en un intervalo
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