Cálculo integral
Primitiva de una función
Ejemplo. La función
El cálculo de primitivas puede verse con un proceso inverso al cálculo de derivadas, y es por eso también se suele llamar antiderivada a la primitiva de una función.
Integral indefinida de una función
Si
Definición - Integral indefinida. Se llama función integral indefinida de la función
siendo
Ejemplo. La integral indefinida de
Interpretación de la integral
En temas anteriores se vio que la derivada de una función es la tasa de variación instantánea, de manera que si conocemos la tasa de variación instantánea de una función en cada instante, podemos averiguar la variación real de la función.
Ejemplo. ¿Cuál sera el espacio recorrido por un objeto en caída libre?
Cuando soltamos cualquier objeto desde una altura, la única fuerza que actúa sobre el es la gravedad, con una aceleración aproximada de
Puesto que la velocidad en cada instante es la tasa de variación instantánea del espacio recorrido por el objeto, su primitiva nos dará el espacio recorrido por el objeto en cada instante:
Así, por ejemplo, a los 2 segundos, el espacio recorrido será
Linealidad de la integral
Dadas dos funciones
, .
Integrales inmediatas
, con constante. si . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Técnicas de integración
Desgraciadamente, y a diferencia del cálculo de derivadas, no existe un procedimiento infalible que permita calcular la primitiva de una función siempre que exista. Existen no obstante, diferentes técnicas para integrar algunos tipos de funciones. Las técnicas más habituales son:
- Integración por partes
- Integración por reducción
- Integración por cambio de variable
- Integración de funciones racionales
- Integración de funciones trigonométricas
Integración por partes
Teorema - Integración por partes. Dadas
o con notación diferencial, si
De la regla de la derivada del producto se tiene
y calculando la integral a ambos lados se llega a
Al emplear el método de integración por partes se debe realizar la elección de
Ejemplo. Para integrar
Si hubiésemos elegido
Integración por reducción
Las fórmulas de reducción permiten simplificar el cálculo cuando hay que aplicar la integración por partes varias veces consecutivas.
Si se tiene que calcular una integral indefinida
con lo que calculando una integral se pueden obtener fácilmente las demás.
Ejemplo. Si se desea calcular
Así, por ejemplo, para
Integración por cambio de variable
La regla de la cadena establece que la derivada de una función compuesta
Ejemplo. Para calcular la integral
y deshaciendo el cambio tenemos
Integración de funciones racionales
Descomposición en fracciones simples
Toda función racional se puede escribir como suma de un polinomio (que tiene primitiva inmediata) más una función racional propia, es decir, una función racional en la que el grado del numerador sea menor que el grado del denominador. A su vez, toda función racional propia puede expresarse como suma de fracciones simples de los tipos siguientes:
con
Primitivas de fracciones simples
Usando la linealidad de la integral, basta calcular la primitiva de cada una de estas fracciones simples para calcular la primitiva de la función racional:
Ejemplo - Raíces reales. Consideremos la función
La descomposición en fracciones simples es:
e igualando los numeradores tenemos
Finalmente, integrando tenemos
Ejemplo - Raíces imaginarias. Consideremos la función
En este caso el denominador no tiene raíces reales, pero puede
escribirse de la forma
Integración de funciones trigonométricas
Función con o impares
Ejemplo.
y haciendo el cambio
y deshaciendo el cambio anterior se obtiene
Función con y pares
Si
Ejemplo.
siendo la primera integral es de este mismo tipo y la segunda del anterior
Productos de senos y cosenos
Las igualdades
transforman los productos en sumas, simplificando su integración.
Ejemplo.
Funciones racionales de senos y cosenos
Si
Ejemplo.
Integral definida
Definición - Integral definida. Sea

Teorema - Primer teorema fundamental de Cálculo. Si
Ejemplo. Dada la función
Propiedades de la integral definida
Dadas dos funciones
(linealidad) (linealidad) si (monotonía) para cualquier (aditividad)
Cálculo de áreas
Área delimitada por una función positiva y el eje de abscisas
Si
mide le área que queda entre la el gráfico de la función
Área delimitada por una función negativa y el eje de abscisas
Si
Área delimitada por una función y el eje de abscisas
En general, si
Área delimitada por dos funciones
Si