4 2018-01-19
Examen de Cálculo
Grados: Farmacia y Biotecnología
Ejercicio 4.1 Obtén el plano tangente a la superficie \(S: e^xy-zy^2+\frac{x^4}{z}=-1\) en el punto \(P=(0,1,2)\) y la recta tangente a la curva obtenida al intersecar \(S\) con el plano \(z=2\) en el mismo punto \(P\).
Plano tangente: \(x-3y-z+5=0\).
Recta tangente: \((3t,1+t)\) o \(y=\frac{x}{3}+1\).
Ejercicio 4.2 Se sabe que un organismo metaboliza el alcohol a un ritmo del triple de la cantidad de alcohol presente en cada instante. Si en el instante inicial el organismo no contiene alcohol y se empieza a suministrar alcohol a un ritmo constante de 12 cl la hora, ¿cuánto alcohol habrá en el organismo al cabo de 5 horas? ¿Cuál será la máxima cantidad de alcohol que tendrá el organismo? ¿Cuándo alcanzará dicha cantidad?
Sea \(y(t)\) la cantidad de alcohol en el organismo en el instante \(t\).
Ecuación diferencial: \(y'=12-3y\).
Solución: \(y(t)=4-4e^{-3t}\).
\(y(5)=3.99\) cl.
La cantidad máxima de alcohol será 4 cl y se alcanzará en \(t=\infty\).
Ejercicio 4.3 Tres alelos \(A\), \(B\) y \(0\) determinan los cuatro grupos sanguíneos \(A\) (\(AA\) o \(A0\)), \(B\) (\(BB\) o \(BO\)), \(0\) (\(00\)) y \(AB\). La ley de Hardy-Weinberg establece que la proporción de individuos en una población que tiene dos alelos diferentes es
\[ p(x,y,z)=2xy+2xz+2yz \]
donde \(x\), \(y\) y \(z\) son las proporciones de \(A\), \(B\) y \(O\) en la población. Calcular el máximo de \(p\) sabiendo que \(x+y+z=1\).
Hay un mínimo local en \(\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)\) y \(f\left(\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}\).
Ejercicio 4.4 La ecuación
\[ \ln z - \frac{x^2y}{z}=-1 \]
expresa el equilibrio en una reacción en la que intervienen tres sustancias \(x\), \(y\) y \(z\). Considerando a \(z\) como una función implícita de \(x\) e \(y\), calcular la variación que experimenta \(z\) en el instante en que \(x=y=z=1\), cuando \(y\) decrece a la misma velocidad de que crece \(x\).
Derivada direccional de \(z\) en \((1,1,1)\) siguiendo la dirección del vector \(\mathbf{v}=(1,-1)\): \(z'_\mathbf{v}(1,1,1)=\frac{1}{2\sqrt{2}}\).