3  2017-11-06
Examen de Cálculo

Fecha de publicación

6 de noviembre de 2017

Grados: Farmacia y Biotecnología

Ejercicio 3.1 Un adenoma (tumor benigno) suele tener forma esférica. Se sabe que a lo largo del tiempo el radio del adenoma varía con una tasa igual a la mitad de su valor en cada momento. Determinar la variación del volumen del tumor cuando el radio es de 5 mm.

Si el radio se ha medido con un margen de error de \(\pm 0.01\) mm, ¿cuál será el margen de error en la medición del volumen?

Nota: El volumen de una esfera es \(\frac{4}{3}\pi r^3\).

Tasa de variación del volumen: \(250\pi\) mm³/s.
Error en el volumen: \(\pi\) mm³.

Ejercicio 3.2 El peso de un bebé durante los primeros meses de vida crece de manera proporcional al inverso del peso. Un bebé pesa 3.3 kg al nacer y 4.3 kg después de un mes.

  1. Calcular el peso cuando el bebé tiene un año.

  2. ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que el bebé tenga un peso de 8 kg?

  3. ¿Es el modelo del peso bueno para estudiar el cambio de peso durante toda la vida de la persona?

Sea \(w(t)\) el peso del bebé en el instante \(t\).

  1. Ecuación diferencial: \(w'=\dfrac{k}{w}\).
    Solución particular: \(w(t)=\sqrt{7.6t+10.89}\).
    \(w(12)=10.1\) kg.
  2. 7 meses.
  3. No, porque la función es siempre creciente.

Ejercicio 3.3 La función \(f(x,y)=ye^{-x^2-\frac{1}{2}y^2}\), expresa la cantidad de una sustancia \(z=f(x,y)\) en función de otras dos \(x\) e \(y\) en una reacción química.

  1. Calcular el valor máximo local de \(z\) teniendo en cuenta que \(x\geq 0\) e \(y\geq 0\).

  2. ¿Cuál será la variación de \(z\) cuando \(x=1\) e \(y=0\), si comenzamos a aumentar la cantidad de \(x\) al doble de ritmo de la de \(y\)?

  3. Calcular el polinomio de Taylor de segundo grado de \(f\) en el punto \((1,0)\).

  1. \(f\) tiene un máximo local en \((0,1)\) y el máximo valor es \(z=f(0,1)=1/\sqrt{e}\).
  2. Derivada direccional de \(f\) en \((1,0)\) siguiendo la dirección del vector \(v=(2,1)\): \(f'_v(1,0)=\frac{1}{e\sqrt{5}}\).
  3. \(P^2_{f,(1,0)}(x,y)=\displaystyle\frac{-2xy+3y}{e}\).

Ejercicio 3.4 Dada la función vectorial \(h(t)=(t\cos(t), \cos(t), \ln(t^2+1))\), calcular la ecuación de la recta tangente y del plano normal a la trayectoria de \(h\) en el punto \((0,1,0)\).

Recta tangente: \((t,1,0)\).
Plano normal: \(x=0\).