1  2016-11-07
Examen de Cálculo

Grados: Farmacia y Biotecnología

Ejercicio 1.1 La relación entre la cantidad de dos sustancias \(x\) e \(y\) (en mg) en una reacción química viene dada por la ecuación

\[ \log(\sqrt{x^2+y^2}) = y. \]

1. Calcular la ecuación de las rectas tangente y normal a la gráfica de \(y\) como función de \(x\) en el punto \((1,0)\).

2. En el mismo punto, calcular la variación aproximada que experimenta \(y\) para una variación de \(x\) de 2 mg.

Solución

1. Recta tangente: \(y=x-1\).
   Recta normal: \(y=-x+1\).
2. \(\Delta y\approx 2\) mg.

Ejercicio 1.2 La temperatura en cualquier punto de un espacio tridimensional viene dada por la función

\[ T(x,y,z)= \frac{e^{xy}}{z} \]

Si nos encontramos en el punto \((1,1,1)\),

1. ¿cuál será la dirección en que la temperatura decrecerá lo más rápidamente posible? ¿Cuál será la tasa de variación de la temperatura en esa dirección? Interpretarla.

2. Calcular e interpretar la derivada direccional en la dirección en que \(y\) aumenta el doble de \(x\) y \(z\) aumenta la mitad que \(x\).

Solución

1. \(-\nabla f(1,1,1)=(-e,-e,e)\). La tasa de decrecimiento es \(\sqrt{3}e\).
2. Tomando el vector \(\mathbf{u}=(1,2,1/2)\), \(f_{\mathbf{u}}'(1,1,1)=5e/\sqrt{21}\), lo que quiere decir que por cada unidad que se avance en la dirección del vector \((1,2,1/2)\) la función aumentará \(5e/\sqrt{21}\) unidades.

Ejercicio 1.3 El crecimiento alométrico explica la relación entre el tamaño de diversas partes de un organismo. Si \(x(t)\) e \(y(t)\) son los tamaños de dos órganos de un cuerpo de edad \(t\), la relación viene dada por la ecuación

\[ \frac{1}{y}\frac{dy}{dt} = k \frac{1}{x}\frac{dx}{dt}, \]

donde \(k\) es una constante positiva. Se pide:

1. Dar la ecuación diferencial que exprese \(y\) en función de \(x\) (es decir, tomando como variable independiente \(x\) y como variable dependiente \(y\)) y resolverla para \(y\).

2. Suponiendo que \(y\) es la masa de una célula y \(x\) su volumen, con \(k=0.0794\), calcular \(y\) como función de \(x\), sabiendo que a la edad en la que el volumen es 1000 \(\mu\)m\(^3\), la masa es 1 ng.

Solución

1. Ecuación diferencial: \(y'=k\dfrac{y}{x}\).
   Solución general: \(y=cx^k\).
2. Solución particular: \(y=0.5778 x^{0.0794}\).

Ejercicio 1.4 Estudiar los extremos relativos y puntos de silla de la función \(f(x,y)=e^y(y^2-x^2)\).

Solución

\(f\) tiene un punto de silla en \((0,0)\) y un máximo local en \((0,-2)\).