9 Encuestas y diseño de muestreo

Como se adelantó en el capítulo de introducción, la encuesta es probablemente el instrumento de recogida de datos más extendido en estadística aplicada: consiste en seleccionar una muestra de individuos de una población y medir sobre ellos, mediante un cuestionario u otro procedimiento de observación, una o varias variables de interés (opiniones, hábitos, características sociodemográficas, intención de voto, etc.). En la mayoría de los casos comparte con el estudio transversal la misma lógica temporal, ya que las variables se registran en un único momento, sobre una muestra tomada de la población general sin condicionar la selección a ninguna exposición o resultado previo. Sin embargo, mientras que en los capítulos anteriores el foco estaba en el tipo de diseño observacional o experimental, en este capítulo el foco se traslada a una cuestión transversal a todos ellos y crítica para la validez de cualquier estudio: cómo se selecciona la muestra a partir de la cual se pretende estimar o inferir características de toda la población.

9.1 Definición y características

Definición 9.1 (Encuesta estadística) Una encuesta estadística es un procedimiento de investigación que consiste en seleccionar una muestra de individuos de una población, mediante un método de muestreo determinado, y recoger información sobre ellos (habitualmente a través de un cuestionario) con el fin de estimar características, opiniones o comportamientos de la población de la que proceden.

La validez de las conclusiones de una encuesta depende, en gran medida, de que la muestra seleccionada sea representativa de la población objetivo. Esto exige, en primer lugar, disponer de un marco muestral adecuado.

Definición 9.2 (Marco muestral) El marco muestral (en inglés, sampling frame) es el listado, registro o procedimiento que permite identificar y acceder a todos los elementos de la población objetivo, de manera que cada uno de ellos pueda ser seleccionado para formar parte de la muestra.

Un marco muestral incompleto o desactualizado (por ejemplo, un censo de población antiguo, o un listado telefónico que excluye a quienes solo disponen de móvil) introduce un sesgo de cobertura, ya que ciertos segmentos de la población tienen probabilidad nula o muy baja de ser seleccionados, con independencia de lo riguroso que sea el método de muestreo empleado posteriormente.

Cuando se dispone de un marco muestral adecuado, existen varios diseños de muestreo probabilístico, en los que cada elemento de la población tiene una probabilidad conocida (y no nula) de ser seleccionado, lo que permite calcular la precisión de las estimaciones y generalizarlas a la población con garantías estadísticas. Los principales son los siguientes.

9.1.1 Muestreo aleatorio simple (MAS)

En el muestreo aleatorio simple cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser seleccionado, y la selección de cada individuo es independiente de la de los demás. Es el diseño de referencia, el más sencillo de analizar, pero exige disponer de un marco muestral completo y puede resultar poco eficiente cuando la población es muy heterogénea o está muy dispersa geográficamente.

9.1.2 Muestreo estratificado

En el muestreo estratificado la población se divide previamente en subgrupos o estratos, internamente lo más homogéneos posible respecto a la variable de interés y heterogéneos entre sí (por ejemplo, comunidades autónomas, tramos de edad o tipo de centro educativo), y dentro de cada estrato se selecciona una muestra aleatoria simple de manera independiente. Cuando el tamaño de la muestra en cada estrato se reparte en proporción al peso de dicho estrato en la población, se habla de afijación proporcional. Al garantizar la presencia de todos los estratos en la proporción adecuada, este diseño suele producir estimaciones más precisas que el muestreo aleatorio simple, para un mismo tamaño de muestra, siempre que los estratos sean realmente homogéneos internamente.

9.1.3 Muestreo por conglomerados

En el muestreo por conglomerados (o por clusters) la población se divide en grupos naturales o preexistentes (conglomerados), como colegios, manzanas de una ciudad o centros de salud, y en lugar de seleccionar individuos se seleccionan aleatoriamente algunos conglomerados completos, incluyendo a todos sus miembros en la muestra (o, en su versión bietápica, seleccionando después una submuestra dentro de cada conglomerado elegido). Resulta especialmente útil cuando no existe un marco muestral de individuos pero sí de conglomerados, y reduce mucho el coste logístico al concentrar el trabajo de campo en unas pocas zonas. A cambio, suele perder precisión respecto al muestreo aleatorio simple, ya que los individuos de un mismo conglomerado tienden a parecerse entre sí.

9.1.4 Muestreo sistemático

En el muestreo sistemático se ordena el marco muestral (por ejemplo, un listado de $N$ individuos), se calcula un intervalo de selección $k = N/n$ (siendo $n$ el tamaño de muestra deseado), se elige aleatoriamente un punto de partida entre $1$ y $k$, y a partir de él se selecciona cada $k$-ésimo elemento de la lista. Es fácil de aplicar y, cuando el listado no sigue ningún patrón periódico relacionado con la variable de interés, suele proporcionar resultados muy similares a los del muestreo aleatorio simple.

Además de estos diseños probabilísticos, existen métodos de muestreo no probabilístico, como el muestreo por conveniencia (se selecciona a los individuos más accesibles) o el muestreo en bola de nieve (los participantes reclutan a su vez a otros participantes). Estos métodos son más rápidos y baratos, pero al no conocerse la probabilidad de selección de cada individuo no permiten calcular la precisión de las estimaciones ni generalizar los resultados a la población con garantías estadísticas, por lo que su uso queda habitualmente restringido a estudios exploratorios o poblaciones muy difíciles de acceder.

9.2 Ventajas e inconvenientes

Muestreo aleatorio simple: es el más sencillo de diseñar y analizar, pero exige un marco muestral completo de individuos y puede resultar poco eficiente (mayor error para el mismo tamaño de muestra) cuando la población es heterogénea.
Muestreo estratificado: mejora la precisión frente al muestreo aleatorio simple cuando existen variables (estratos) fuertemente relacionadas con la variable de interés, y garantiza representación de todos los grupos relevantes; a cambio, requiere conocer de antemano el valor de la variable de estratificación para toda la población, lo que no siempre es posible.
Muestreo por conglomerados: es el más económico y logísticamente viable cuando la población está muy dispersa o no existe un marco muestral de individuos, pero suele ser el menos preciso, ya que los elementos de un mismo conglomerado tienden a ser parecidos entre sí (baja variabilidad interna, alta variabilidad entre conglomerados).
Muestreo sistemático: es muy fácil de implementar sobre un listado ordenado y suele comportarse como el muestreo aleatorio simple, pero puede introducir sesgos graves si el listado presenta algún patrón periódico que coincida con el intervalo de selección $k$.
Muestreo no probabilístico: es el más rápido y barato, y en ocasiones la única opción viable (por ejemplo, para poblaciones ocultas o de difícil acceso), pero no permite cuantificar el error de muestreo ni generalizar los resultados a la población con garantías estadísticas.

9.3 Medidas propias de este diseño

Además de las medidas descriptivas habituales (proporciones, medias, etc.), calculadas ahora ponderando por el diseño muestral empleado, dos cantidades son especialmente características del diseño de encuestas: el error de muestreo de una estimación y el tamaño muestral necesario para lograr una precisión determinada.

9.3.1 Error de muestreo

Definición 9.3 (Error de muestreo) Dada una muestra aleatoria simple de tamaño $n$ en la que se ha observado una proporción muestral $\hat p$ de individuos que presentan una determinada característica, el error de muestreo (o margen de error) de $\hat p$ para un nivel de confianza $1-\alpha$ se define como

\[e = z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}\]

donde $z_{\alpha/2}$ es el valor crítico de la distribución normal estándar que deja una probabilidad $\alpha/2$ a su derecha.

Importante

El error de muestreo es siempre un número no negativo,

\[e \geq 0,\]

y disminuye a medida que aumenta el tamaño de muestra $n$, concretamente en proporción a $1/\sqrt{n}$: para reducir el error a la mitad es necesario cuadruplicar el tamaño de muestra.

Interpretación

El error de muestreo cuantifica cuánto puede diferir, con la confianza especificada, la proporción muestral $\hat p$ de la verdadera proporción poblacional $p$, exclusivamente por el hecho de trabajar con una muestra y no con toda la población.
El intervalo $(\hat p - e,\ \hat p + e)$ es precisamente el intervalo de confianza al nivel $1-\alpha$ para la proporción poblacional $p$.
El error de muestreo no recoge otras fuentes de error ajenas al azar, como el sesgo de no respuesta, el sesgo de cobertura del marco muestral o los errores de medición del cuestionario, que pueden ser tanto o más importantes que el propio error de muestreo.

9.3.2 Tamaño muestral necesario

En la práctica, la pregunta habitual no es “¿qué error tiene mi muestra?” sino la inversa: “¿qué tamaño de muestra necesito para que el error no supere un determinado valor?”. Despejando $n$ de la fórmula del error de muestreo se obtiene la siguiente expresión.

Definición 9.4 (Tamaño muestral necesario) Para estimar una proporción poblacional $p$ con un error de muestreo máximo $e$ y un nivel de confianza $1-\alpha$, el tamaño de muestra necesario, suponiendo muestreo aleatorio simple sobre una población de tamaño muy superior a la muestra, es

\[n = \frac{z_{\alpha/2}^2\, p(1-p)}{e^2}\]

donde $p$ es un valor aproximado (de un estudio previo o piloto) de la proporción que se quiere estimar; si no se dispone de tal valor, se toma $p=0.5$, ya que es el valor que maximiza $p(1-p)$ y por tanto produce el tamaño de muestra más conservador (el mayor posible).

Importante

Cuando la población tiene un tamaño finito y conocido $N$ que no es muy superior al tamaño de muestra calculado, puede aplicarse el factor de corrección para poblaciones finitas,

\[n_{ajustado} = \frac{n}{1+\dfrac{n-1}{N}},\]

que reduce ligeramente el tamaño de muestra necesario. En la práctica, cuando $N$ es grande frente a $n$ (por ejemplo, encuestas sobre la población de un país o una ciudad grande), esta corrección apenas tiene efecto y suele omitirse.

Interpretación

El tamaño muestral necesario aumenta con el nivel de confianza exigido (mayor $z_{\alpha/2}$) y disminuye rápidamente al relajar la precisión exigida (mayor $e$), ya que $n$ depende del cuadrado de $e$ en el denominador.
El tamaño muestral necesario es máximo cuando $p=0.5$ y disminuye a medida que $p$ se aleja de $0.5$ hacia $0$ o hacia $1$, ya que fenómenos muy raros o muy comunes son, en cierto sentido, más fáciles de acotar con precisión.
Esta fórmula corresponde al muestreo aleatorio simple; en diseños estratificados, por conglomerados o sistemáticos, el tamaño necesario puede ser menor o mayor, en función de si el diseño mejora o empeora la precisión respecto al muestreo aleatorio simple.

Ejemplo 9.1 Se quiere diseñar una encuesta para estimar la proporción de la población de una ciudad que está a favor de un determinado proyecto urbanístico, con un error de muestreo máximo de $e=0.03$ (tres puntos porcentuales) y un nivel de confianza del $95\%$ ($\alpha=0.05$, por lo que $z_{\alpha/2}=1.96$). Al no disponer de información previa sobre la proporción real, se toma el valor más conservador, $p=0.5$. El tamaño de muestra necesario es

\[n = \frac{z_{\alpha/2}^2\, p(1-p)}{e^2} = \frac{1.96^2 \times 0.5 \times 0.5}{0.03^2} = \frac{0.9604}{0.0009} \approx 1067.1.\]

Redondeando hacia arriba, se necesitaría una muestra de $n=1068$ individuos para garantizar, con una confianza del $95\%$, que la proporción estimada no se aleje de la verdadera proporción poblacional en más de tres puntos porcentuales.

9.4 Realización con R

9.4.1 Cálculo del tamaño muestral necesario

En primer lugar se reproduce en R el cálculo manual del Ejemplo 9.1, obteniendo el valor crítico $z_{\alpha/2}$ con qnorm() y aplicando directamente la fórmula del tamaño muestral:

Código

calcular_n <- function(e, confianza = 0.95, p = 0.5) {
  alpha <- 1 - confianza
  z <- qnorm(1 - alpha / 2)
  n <- (z^2 * p * (1 - p)) / e^2
  ceiling(n)
}

n_necesario <- calcular_n(e = 0.03, confianza = 0.95, p = 0.5)
n_necesario

[1] 1068

El resultado, 1068 individuos, coincide con el obtenido a mano. A continuación se representa cómo varía el tamaño de muestra necesario en función del error de muestreo admitido, para un nivel de confianza del 95%:

Código

errores <- tibble(
  e = seq(0.01, 0.10, by = 0.005)
) |>
  mutate(n = map_dbl(e, ~ calcular_n(.x, confianza = 0.95, p = 0.5)))

ggplot(errores, aes(x = e, y = n)) +
  geom_line(color = "steelblue", linewidth = 1) +
  geom_point(color = "steelblue") +
  scale_x_continuous(labels = scales::percent_format()) +
  scale_y_continuous(labels = scales::comma_format()) +
  labs(
    x = "Error de muestreo admitido",
    y = "Tamaño de muestra necesario",
    title = "Relación entre precisión exigida y tamaño de muestra"
  ) +
  theme_minimal()

Tamaño de muestra necesario en función del error de muestreo admitido (confianza del 95%, p = 0.5).

Como cabía esperar, el tamaño de muestra necesario crece muy rápidamente a medida que se exige un error de muestreo menor, debido a la relación cuadrática entre ambas cantidades.

9.4.2 Comparación entre muestreo aleatorio simple y muestreo estratificado

Para comparar la precisión del muestreo aleatorio simple (MAS) frente al muestreo estratificado, se simula una “población” de $N=4000$ personas repartidas en 4 regiones, con una opinión binaria (a favor / en contra de una medida) cuya prevalencia varía sustancialmente de una región a otra, de forma que la región constituye un buen criterio de estratificación:

Código

set.seed(2026)
N <- 4000

poblacion <- tibble(
  id = 1:N,
  region = sample(
    c("Norte", "Sur", "Este", "Oeste"),
    size = N,
    replace = TRUE,
    prob = c(0.30, 0.25, 0.25, 0.20)
  )
)

# La probabilidad de estar a favor depende fuertemente de la región
prob_favor <- c(Norte = 0.75, Sur = 0.30, Este = 0.55, Oeste = 0.40)

poblacion <- poblacion |>
  mutate(
    p_favor = prob_favor[region],
    opinion = rbinom(N, size = 1, prob = p_favor),
    opinion = factor(opinion, levels = c(0, 1), labels = c("En contra", "A favor"))
  )

poblacion

# A tibble: 4,000 × 4
      id region p_favor opinion  
   <int> <chr>    <dbl> <fct>    
 1     1 Sur       0.3  En contra
 2     2 Sur       0.3  En contra
 3     3 Norte     0.75 A favor  
 4     4 Norte     0.75 A favor  
 5     5 Sur       0.3  En contra
 6     6 Norte     0.75 A favor  
 7     7 Este      0.55 A favor  
 8     8 Oeste     0.4  A favor  
 9     9 Norte     0.75 A favor  
10    10 Sur       0.3  A favor  
# ℹ 3,990 more rows

La proporción real de personas a favor en el conjunto de la población (el parámetro que se desea estimar) es:

Código

p_poblacional <- mean(poblacion$opinion == "A favor")
p_poblacional

[1] 0.51325

A partir de esta población se extrae, en primer lugar, una muestra aleatoria simple de $n=1068$ individuos:

Código

muestra_mas <- poblacion |>
  slice_sample(n = n_necesario)

p_mas <- mean(muestra_mas$opinion == "A favor")
p_mas

[1] 0.5065543

A continuación se extrae una muestra estratificada por región, con afijación proporcional, del mismo tamaño total aproximado: se calcula la proporción que representa cada región en la población y se selecciona ese mismo porcentaje dentro de cada estrato:

Código

prop_muestral <- n_necesario / N

muestra_estratificada <- poblacion |>
  group_by(region) |>
  slice_sample(prop = prop_muestral) |>
  ungroup()

nrow(muestra_estratificada)

[1] 1067

Código

p_estratificado <- mean(muestra_estratificada$opinion == "A favor")
p_estratificado

[1] 0.5126523

Se comprueba que la muestra estratificada respeta, aproximadamente, el peso de cada región en la población:

Código

muestra_estratificada |>
  count(region) |>
  mutate(proporcion_muestra = n / sum(n))

# A tibble: 4 × 3
  region     n proporcion_muestra
  <chr>  <int>              <dbl>
1 Este     268              0.251
2 Norte    322              0.302
3 Oeste    205              0.192
4 Sur      272              0.255

Código

poblacion |>
  count(region) |>
  mutate(proporcion_poblacion = n / sum(n))

# A tibble: 4 × 3
  region     n proporcion_poblacion
  <chr>  <int>                <dbl>
1 Este    1004                0.251
2 Norte   1207                0.302
3 Oeste    769                0.192
4 Sur     1020                0.255

Por último, se comparan gráficamente las tres proporciones: la real de la población y las estimadas por cada uno de los dos métodos de muestreo.

Código

comparacion <- tibble(
  metodo = c("Población", "MAS", "Estratificado"),
  proporcion = c(p_poblacional, p_mas, p_estratificado)
) |>
  mutate(metodo = factor(metodo, levels = c("Población", "MAS", "Estratificado")))

ggplot(comparacion, aes(x = metodo, y = proporcion, fill = metodo)) +
  geom_col(width = 0.6) +
  geom_hline(yintercept = p_poblacional, linetype = "dashed", color = "gray30") +
  scale_y_continuous(labels = scales::percent_format()) +
  scale_fill_brewer(palette = "Set2") +
  labs(
    x = NULL,
    y = "Proporción a favor",
    title = "Estimación de la proporción según el diseño de muestreo"
  ) +
  theme_minimal() +
  theme(legend.position = "none")

Proporción de personas a favor de la medida: valor poblacional real frente a las estimaciones por muestreo aleatorio simple y por muestreo estratificado.

En esta simulación, la proporción real de personas a favor en la población es del 51.3%, mientras que la muestra aleatoria simple estima un 50.7% y la muestra estratificada un 51.3%. Dado que la región está fuertemente relacionada con la opinión (los estratos son internamente bastante homogéneos) y que la afijación proporcional garantiza que cada región esté representada en su peso exacto, cabe esperar que, en promedio y a lo largo de repeticiones del muestreo, la estimación estratificada se aproxime más a la proporción poblacional que la del muestreo aleatorio simple, cuya composición por regiones puede variar de una muestra a otra por puro azar. Este es precisamente el motivo por el que, siempre que se disponga de una variable de estratificación adecuada, el muestreo estratificado suele preferirse al muestreo aleatorio simple en las encuestas reales.

9.5 Cuándo utilizar este diseño

El diseño de muestreo no es un tipo de estudio alternativo a los descritos en los capítulos anteriores, sino una dimensión transversal a todos ellos: tanto un estudio descriptivo como un estudio transversal, un estudio de cohortes o un ensayo experimental necesitan seleccionar en algún momento una muestra de la población, y la calidad de ese muestreo condiciona directamente la validez de las conclusiones que se extraigan. Conviene prestar especial atención al diseño muestral, y en particular optar por el muestreo estratificado o por conglomerados frente al muestreo aleatorio simple, cuando la población es muy heterogénea, cuando existen variables conocidas fuertemente relacionadas con el fenómeno de interés, o cuando el coste de acceder a los individuos varía mucho según su localización o su pertenencia a un determinado grupo. Un cálculo previo del tamaño muestral necesario, en función de la precisión exigida y de los recursos disponibles, es también un paso imprescindible en la planificación de cualquier estudio, se trate de una encuesta de opinión, un estudio epidemiológico o un ensayo clínico. En definitiva, ningún análisis estadístico posterior, por sofisticado que sea, puede compensar una muestra mal seleccionada: la calidad del diseño muestral es, junto con el propio diseño del estudio, uno de los pilares sobre los que se sostiene la validez de cualquier investigación estadística.

--- title: Encuestas y diseño de muestreo lang: es --- ```{r setup, include=FALSE} knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE, message = FALSE, warning = FALSE) library(tidyverse) ``` Como se adelantó en el [capítulo de introducción](01-introduccion.qmd), la encuesta es probablemente el instrumento de recogida de datos más extendido en estadística aplicada: consiste en seleccionar una muestra de individuos de una población y medir sobre ellos, mediante un cuestionario u otro procedimiento de observación, una o varias variables de interés (opiniones, hábitos, características sociodemográficas, intención de voto, etc.). En la mayoría de los casos comparte con el [estudio transversal](03-estudios-transversales.qmd) la misma lógica temporal, ya que las variables se registran en un único momento, sobre una muestra tomada de la población general sin condicionar la selección a ninguna exposición o resultado previo. Sin embargo, mientras que en los capítulos anteriores el foco estaba en el tipo de diseño observacional o experimental, en este capítulo el foco se traslada a una cuestión transversal a todos ellos y crítica para la validez de cualquier estudio: **cómo se selecciona la muestra** a partir de la cual se pretende estimar o inferir características de toda la población. ## Definición y características :::{#def-encuestas-encuesta-estadistica} ## Encuesta estadística Una _encuesta estadística_ es un procedimiento de investigación que consiste en seleccionar una muestra de individuos de una población, mediante un método de muestreo determinado, y recoger información sobre ellos (habitualmente a través de un cuestionario) con el fin de estimar características, opiniones o comportamientos de la población de la que proceden. ::: La validez de las conclusiones de una encuesta depende, en gran medida, de que la muestra seleccionada sea representativa de la población objetivo. Esto exige, en primer lugar, disponer de un marco muestral adecuado. :::{#def-encuestas-marco-muestral} ## Marco muestral El _marco muestral_ (en inglés, _sampling frame_) es el listado, registro o procedimiento que permite identificar y acceder a todos los elementos de la población objetivo, de manera que cada uno de ellos pueda ser seleccionado para formar parte de la muestra. ::: Un marco muestral incompleto o desactualizado (por ejemplo, un censo de población antiguo, o un listado telefónico que excluye a quienes solo disponen de móvil) introduce un sesgo de cobertura, ya que ciertos segmentos de la población tienen probabilidad nula o muy baja de ser seleccionados, con independencia de lo riguroso que sea el método de muestreo empleado posteriormente. Cuando se dispone de un marco muestral adecuado, existen varios diseños de **muestreo probabilístico**, en los que cada elemento de la población tiene una probabilidad conocida (y no nula) de ser seleccionado, lo que permite calcular la precisión de las estimaciones y generalizarlas a la población con garantías estadísticas. Los principales son los siguientes. ### Muestreo aleatorio simple (MAS) En el _muestreo aleatorio simple_ cada elemento de la población tiene la misma probabilidad de ser seleccionado, y la selección de cada individuo es independiente de la de los demás. Es el diseño de referencia, el más sencillo de analizar, pero exige disponer de un marco muestral completo y puede resultar poco eficiente cuando la población es muy heterogénea o está muy dispersa geográficamente. ### Muestreo estratificado En el _muestreo estratificado_ la población se divide previamente en subgrupos o **estratos**, internamente lo más homogéneos posible respecto a la variable de interés y heterogéneos entre sí (por ejemplo, comunidades autónomas, tramos de edad o tipo de centro educativo), y dentro de cada estrato se selecciona una muestra aleatoria simple de manera independiente. Cuando el tamaño de la muestra en cada estrato se reparte en proporción al peso de dicho estrato en la población, se habla de **afijación proporcional**. Al garantizar la presencia de todos los estratos en la proporción adecuada, este diseño suele producir estimaciones más precisas que el muestreo aleatorio simple, para un mismo tamaño de muestra, siempre que los estratos sean realmente homogéneos internamente. ### Muestreo por conglomerados En el _muestreo por conglomerados_ (o _por clusters_) la población se divide en grupos naturales o preexistentes (conglomerados), como colegios, manzanas de una ciudad o centros de salud, y en lugar de seleccionar individuos se seleccionan aleatoriamente algunos conglomerados completos, incluyendo a todos sus miembros en la muestra (o, en su versión bietápica, seleccionando después una submuestra dentro de cada conglomerado elegido). Resulta especialmente útil cuando no existe un marco muestral de individuos pero sí de conglomerados, y reduce mucho el coste logístico al concentrar el trabajo de campo en unas pocas zonas. A cambio, suele perder precisión respecto al muestreo aleatorio simple, ya que los individuos de un mismo conglomerado tienden a parecerse entre sí. ### Muestreo sistemático En el _muestreo sistemático_ se ordena el marco muestral (por ejemplo, un listado de $N$ individuos), se calcula un intervalo de selección $k = N/n$ (siendo $n$ el tamaño de muestra deseado), se elige aleatoriamente un punto de partida entre $1$ y $k$, y a partir de él se selecciona cada $k$-ésimo elemento de la lista. Es fácil de aplicar y, cuando el listado no sigue ningún patrón periódico relacionado con la variable de interés, suele proporcionar resultados muy similares a los del muestreo aleatorio simple. Además de estos diseños probabilísticos, existen métodos de **muestreo no probabilístico**, como el muestreo por conveniencia (se selecciona a los individuos más accesibles) o el muestreo en bola de nieve (los participantes reclutan a su vez a otros participantes). Estos métodos son más rápidos y baratos, pero al no conocerse la probabilidad de selección de cada individuo no permiten calcular la precisión de las estimaciones ni generalizar los resultados a la población con garantías estadísticas, por lo que su uso queda habitualmente restringido a estudios exploratorios o poblaciones muy difíciles de acceder. ## Ventajas e inconvenientes - **Muestreo aleatorio simple**: es el más sencillo de diseñar y analizar, pero exige un marco muestral completo de individuos y puede resultar poco eficiente (mayor error para el mismo tamaño de muestra) cuando la población es heterogénea. - **Muestreo estratificado**: mejora la precisión frente al muestreo aleatorio simple cuando existen variables (estratos) fuertemente relacionadas con la variable de interés, y garantiza representación de todos los grupos relevantes; a cambio, requiere conocer de antemano el valor de la variable de estratificación para toda la población, lo que no siempre es posible. - **Muestreo por conglomerados**: es el más económico y logísticamente viable cuando la población está muy dispersa o no existe un marco muestral de individuos, pero suele ser el menos preciso, ya que los elementos de un mismo conglomerado tienden a ser parecidos entre sí (baja variabilidad interna, alta variabilidad entre conglomerados). - **Muestreo sistemático**: es muy fácil de implementar sobre un listado ordenado y suele comportarse como el muestreo aleatorio simple, pero puede introducir sesgos graves si el listado presenta algún patrón periódico que coincida con el intervalo de selección $k$. - **Muestreo no probabilístico**: es el más rápido y barato, y en ocasiones la única opción viable (por ejemplo, para poblaciones ocultas o de difícil acceso), pero no permite cuantificar el error de muestreo ni generalizar los resultados a la población con garantías estadísticas. ## Medidas propias de este diseño Además de las medidas descriptivas habituales (proporciones, medias, etc.), calculadas ahora ponderando por el diseño muestral empleado, dos cantidades son especialmente características del diseño de encuestas: el error de muestreo de una estimación y el tamaño muestral necesario para lograr una precisión determinada. ### Error de muestreo :::{#def-encuestas-error-muestreo} ## Error de muestreo Dada una muestra aleatoria simple de tamaño $n$ en la que se ha observado una proporción muestral $\hat p$ de individuos que presentan una determinada característica, el _error de muestreo_ (o margen de error) de $\hat p$ para un nivel de confianza $1-\alpha$ se define como $$e = z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}$$ donde $z_{\alpha/2}$ es el valor crítico de la distribución normal estándar que deja una probabilidad $\alpha/2$ a su derecha. ::: :::{.callout-important} El error de muestreo es siempre un número no negativo, $$e \geq 0,$$ y disminuye a medida que aumenta el tamaño de muestra $n$, concretamente en proporción a $1/\sqrt{n}$: para reducir el error a la mitad es necesario cuadruplicar el tamaño de muestra. ::: :::{.callout-note title=Interpretación} - El error de muestreo cuantifica cuánto puede diferir, con la confianza especificada, la proporción muestral $\hat p$ de la verdadera proporción poblacional $p$, exclusivamente por el hecho de trabajar con una muestra y no con toda la población. - El intervalo $(\hat p - e,\ \hat p + e)$ es precisamente el intervalo de confianza al nivel $1-\alpha$ para la proporción poblacional $p$. - El error de muestreo no recoge otras fuentes de error ajenas al azar, como el sesgo de no respuesta, el sesgo de cobertura del marco muestral o los errores de medición del cuestionario, que pueden ser tanto o más importantes que el propio error de muestreo. ::: ### Tamaño muestral necesario En la práctica, la pregunta habitual no es "¿qué error tiene mi muestra?" sino la inversa: "¿qué tamaño de muestra necesito para que el error no supere un determinado valor?". Despejando $n$ de la fórmula del error de muestreo se obtiene la siguiente expresión. :::{#def-encuestas-tamano-muestral} ## Tamaño muestral necesario Para estimar una proporción poblacional $p$ con un error de muestreo máximo $e$ y un nivel de confianza $1-\alpha$, el tamaño de muestra necesario, suponiendo muestreo aleatorio simple sobre una población de tamaño muy superior a la muestra, es $$n = \frac{z_{\alpha/2}^2\, p(1-p)}{e^2}$$ donde $p$ es un valor aproximado (de un estudio previo o piloto) de la proporción que se quiere estimar; si no se dispone de tal valor, se toma $p=0.5$, ya que es el valor que maximiza $p(1-p)$ y por tanto produce el tamaño de muestra más conservador (el mayor posible). ::: :::{.callout-important} Cuando la población tiene un tamaño finito y conocido $N$ que no es muy superior al tamaño de muestra calculado, puede aplicarse el _factor de corrección para poblaciones finitas_, $$n_{ajustado} = \frac{n}{1+\dfrac{n-1}{N}},$$ que reduce ligeramente el tamaño de muestra necesario. En la práctica, cuando $N$ es grande frente a $n$ (por ejemplo, encuestas sobre la población de un país o una ciudad grande), esta corrección apenas tiene efecto y suele omitirse. ::: :::{.callout-note title=Interpretación} - El tamaño muestral necesario aumenta con el nivel de confianza exigido (mayor $z_{\alpha/2}$) y disminuye rápidamente al relajar la precisión exigida (mayor $e$), ya que $n$ depende del cuadrado de $e$ en el denominador. - El tamaño muestral necesario es máximo cuando $p=0.5$ y disminuye a medida que $p$ se aleja de $0.5$ hacia $0$ o hacia $1$, ya que fenómenos muy raros o muy comunes son, en cierto sentido, más fáciles de acotar con precisión. - Esta fórmula corresponde al muestreo aleatorio simple; en diseños estratificados, por conglomerados o sistemáticos, el tamaño necesario puede ser menor o mayor, en función de si el diseño mejora o empeora la precisión respecto al muestreo aleatorio simple. ::: :::{#exm-encuestas-tamano-muestral} Se quiere diseñar una encuesta para estimar la proporción de la población de una ciudad que está a favor de un determinado proyecto urbanístico, con un error de muestreo máximo de $e=0.03$ (tres puntos porcentuales) y un nivel de confianza del $95\%$ ($\alpha=0.05$, por lo que $z_{\alpha/2}=1.96$). Al no disponer de información previa sobre la proporción real, se toma el valor más conservador, $p=0.5$. El tamaño de muestra necesario es $$n = \frac{z_{\alpha/2}^2\, p(1-p)}{e^2} = \frac{1.96^2 \times 0.5 \times 0.5}{0.03^2} = \frac{0.9604}{0.0009} \approx 1067.1.$$ Redondeando hacia arriba, se necesitaría una muestra de $n=1068$ individuos para garantizar, con una confianza del $95\%$, que la proporción estimada no se aleje de la verdadera proporción poblacional en más de tres puntos porcentuales. ::: ## Realización con R ### Cálculo del tamaño muestral necesario En primer lugar se reproduce en R el cálculo manual del @exm-encuestas-tamano-muestral, obteniendo el valor crítico $z_{\alpha/2}$ con `qnorm()` y aplicando directamente la fórmula del tamaño muestral: ```{r tamano-muestral} calcular_n <- function(e, confianza = 0.95, p = 0.5) { alpha <- 1 - confianza z <- qnorm(1 - alpha / 2) n <- (z^2 * p * (1 - p)) / e^2 ceiling(n) } n_necesario <- calcular_n(e = 0.03, confianza = 0.95, p = 0.5) n_necesario ``` El resultado, `r n_necesario` individuos, coincide con el obtenido a mano. A continuación se representa cómo varía el tamaño de muestra necesario en función del error de muestreo admitido, para un nivel de confianza del 95%: ```{r grafico-tamano-muestral, fig.cap="Tamaño de muestra necesario en función del error de muestreo admitido (confianza del 95%, p = 0.5)."} errores <- tibble( e = seq(0.01, 0.10, by = 0.005) ) |> mutate(n = map_dbl(e, ~ calcular_n(.x, confianza = 0.95, p = 0.5))) ggplot(errores, aes(x = e, y = n)) + geom_line(color = "steelblue", linewidth = 1) + geom_point(color = "steelblue") + scale_x_continuous(labels = scales::percent_format()) + scale_y_continuous(labels = scales::comma_format()) + labs( x = "Error de muestreo admitido", y = "Tamaño de muestra necesario", title = "Relación entre precisión exigida y tamaño de muestra" ) + theme_minimal() ``` Como cabía esperar, el tamaño de muestra necesario crece muy rápidamente a medida que se exige un error de muestreo menor, debido a la relación cuadrática entre ambas cantidades. ### Comparación entre muestreo aleatorio simple y muestreo estratificado Para comparar la precisión del muestreo aleatorio simple (MAS) frente al muestreo estratificado, se simula una "población" de $N=4000$ personas repartidas en 4 regiones, con una opinión binaria (a favor / en contra de una medida) cuya prevalencia varía sustancialmente de una región a otra, de forma que la región constituye un buen criterio de estratificación: ```{r poblacion-simulada} set.seed(2026) N <- 4000 poblacion <- tibble( id = 1:N, region = sample( c("Norte", "Sur", "Este", "Oeste"), size = N, replace = TRUE, prob = c(0.30, 0.25, 0.25, 0.20) ) ) # La probabilidad de estar a favor depende fuertemente de la región prob_favor <- c(Norte = 0.75, Sur = 0.30, Este = 0.55, Oeste = 0.40) poblacion <- poblacion |> mutate( p_favor = prob_favor[region], opinion = rbinom(N, size = 1, prob = p_favor), opinion = factor(opinion, levels = c(0, 1), labels = c("En contra", "A favor")) ) poblacion ``` La proporción real de personas a favor en el conjunto de la población (el parámetro que se desea estimar) es: ```{r proporcion-poblacional} p_poblacional <- mean(poblacion$opinion == "A favor") p_poblacional ``` A partir de esta población se extrae, en primer lugar, una muestra aleatoria simple de $n=`r n_necesario`$ individuos: ```{r muestra-mas} muestra_mas <- poblacion |> slice_sample(n = n_necesario) p_mas <- mean(muestra_mas$opinion == "A favor") p_mas ``` A continuación se extrae una muestra estratificada por región, con afijación proporcional, del mismo tamaño total aproximado: se calcula la proporción que representa cada región en la población y se selecciona ese mismo porcentaje dentro de cada estrato: ```{r muestra-estratificada} prop_muestral <- n_necesario / N muestra_estratificada <- poblacion |> group_by(region) |> slice_sample(prop = prop_muestral) |> ungroup() nrow(muestra_estratificada) p_estratificado <- mean(muestra_estratificada$opinion == "A favor") p_estratificado ``` Se comprueba que la muestra estratificada respeta, aproximadamente, el peso de cada región en la población: ```{r comprobacion-estratos} muestra_estratificada |> count(region) |> mutate(proporcion_muestra = n / sum(n)) poblacion |> count(region) |> mutate(proporcion_poblacion = n / sum(n)) ``` Por último, se comparan gráficamente las tres proporciones: la real de la población y las estimadas por cada uno de los dos métodos de muestreo. ```{r grafico-comparacion, fig.cap="Proporción de personas a favor de la medida: valor poblacional real frente a las estimaciones por muestreo aleatorio simple y por muestreo estratificado."} comparacion <- tibble( metodo = c("Población", "MAS", "Estratificado"), proporcion = c(p_poblacional, p_mas, p_estratificado) ) |> mutate(metodo = factor(metodo, levels = c("Población", "MAS", "Estratificado"))) ggplot(comparacion, aes(x = metodo, y = proporcion, fill = metodo)) + geom_col(width = 0.6) + geom_hline(yintercept = p_poblacional, linetype = "dashed", color = "gray30") + scale_y_continuous(labels = scales::percent_format()) + scale_fill_brewer(palette = "Set2") + labs( x = NULL, y = "Proporción a favor", title = "Estimación de la proporción según el diseño de muestreo" ) + theme_minimal() + theme(legend.position = "none") ``` En esta simulación, la proporción real de personas a favor en la población es del `r scales::percent(p_poblacional, accuracy = 0.1)`, mientras que la muestra aleatoria simple estima un `r scales::percent(p_mas, accuracy = 0.1)` y la muestra estratificada un `r scales::percent(p_estratificado, accuracy = 0.1)`. Dado que la región está fuertemente relacionada con la opinión (los estratos son internamente bastante homogéneos) y que la afijación proporcional garantiza que cada región esté representada en su peso exacto, cabe esperar que, en promedio y a lo largo de repeticiones del muestreo, la estimación estratificada se aproxime más a la proporción poblacional que la del muestreo aleatorio simple, cuya composición por regiones puede variar de una muestra a otra por puro azar. Este es precisamente el motivo por el que, siempre que se disponga de una variable de estratificación adecuada, el muestreo estratificado suele preferirse al muestreo aleatorio simple en las encuestas reales. ## Cuándo utilizar este diseño El diseño de muestreo no es un tipo de estudio alternativo a los descritos en los capítulos anteriores, sino una dimensión transversal a todos ellos: tanto un [estudio descriptivo](02-estudios-descriptivos.qmd) como un [estudio transversal](03-estudios-transversales.qmd), un [estudio de cohortes](04-estudios-cohortes.qmd) o un ensayo [experimental](07-estudios-experimentales.qmd) necesitan seleccionar en algún momento una muestra de la población, y la calidad de ese muestreo condiciona directamente la validez de las conclusiones que se extraigan. Conviene prestar especial atención al diseño muestral, y en particular optar por el muestreo estratificado o por conglomerados frente al muestreo aleatorio simple, cuando la población es muy heterogénea, cuando existen variables conocidas fuertemente relacionadas con el fenómeno de interés, o cuando el coste de acceder a los individuos varía mucho según su localización o su pertenencia a un determinado grupo. Un cálculo previo del tamaño muestral necesario, en función de la precisión exigida y de los recursos disponibles, es también un paso imprescindible en la planificación de cualquier estudio, se trate de una encuesta de opinión, un estudio epidemiológico o un ensayo clínico. En definitiva, ningún análisis estadístico posterior, por sofisticado que sea, puede compensar una muestra mal seleccionada: la calidad del diseño muestral es, junto con el propio diseño del estudio, uno de los pilares sobre los que se sostiene la validez de cualquier investigación estadística.