2 Probabilidad y odds
Todos los índices epidemiológicos que se estudian en este manual son, en el fondo, probabilidades o cocientes de probabilidades. Por eso, antes de definirlos, conviene repasar el concepto de probabilidad, sus propiedades y su interpretación, así como una forma alternativa de medir la incertidumbre: el odds.
2.1 El concepto de probabilidad
A lo largo de la historia ha habido diferentes intentos de definir matemáticamente el concepto de probabilidad. Quizá la más conocida, y la primera que se enseña en las escuelas, es la definición clásica de Laplace.
Definición 2.1 (Probabilidad: definición clásica de Laplace) Dado un experimento aleatorio con espacio muestral \(\Omega\) en el que todos los casos posibles son equiprobables, la probabilidad de un suceso \(E\) es
\[P(E)=\frac{|E|}{|\Omega|}=\frac{\mbox{Casos favorables a $E$}}{\mbox{Casos posibles}}\]
Ejemplo 2.1 Al tirar un dado equilibrado, la probabilidad de sacar un número par \(E=\{2, 4, 6\}\) es
\[P(E) = \frac{3}{6} = 0.5.\]
Sin embargo, esta definición tiene serios inconvenientes ya que, para poder usarla, todos los casos posibles del experimento deben tener la misma probabilidad de ocurrir (equiprobabilidad), y esto no suele ocurrir en la vida real (por ejemplo, no todos los grupos sanguíneos tienen la misma probabilidad de ocurrir).
Por este motivo, en el ámbito de las Ciencias de la Salud es mucho más común utilizar la definición de probabilidad basada en el cálculo de frecuencias.
Definición 2.2 (Probabilidad: definición frecuentista) La probabilidad de un suceso \(E\) se aproxima mediante su frecuencia relativa en una muestra de tamaño \(n\),
\[P(E)\approx f_E = \frac{n_E}{n}=\frac{\mbox{Frecuencia absoluta del suceso}}{\mbox{Tamaño muestral}}\]
Ejemplo 2.2 Se ha aplicado un tratamiento a 100 personas y se han curado 75. Entonces, la probabilidad de curación del tratamiento es
\[P(E) = \frac{75}{100} = 0.75 \Rightarrow 75\%.\]
La definición frecuentista no permite calcular el valor exacto de la probabilidad de un suceso, sino tan solo una aproximación, que será mejor cuanto mayor sea el tamaño de la muestra.
2.1.1 Algunas propiedades de la probabilidad
- Una probabilidad es un número real entre 0 y 1:
\[0\leq P(E)\leq 1.\]
- La suma de las probabilidades de todos los casos posibles es 1:
\[P(\Omega) = P(e_1) + P(e_2) + \cdots + P(e_n) = 1.\]
- La probabilidad de que ocurra lo contrario de un suceso es 1 menos la probabilidad del suceso:
\[P(\overline E) = 1 - P(E).\]
De este modo, cuanto más probable es que ocurra un suceso, menos probable es que ocurra su contrario, y viceversa.
2.1.2 Interpretación de una probabilidad
La probabilidad mide la verosimilitud de un suceso. De manera informal, se puede decir que la probabilidad mide la creencia o la confianza que tenemos en la ocurrencia de un suceso.
- \(P(E) = 0 \Rightarrow\) Mínima verosimilitud (el suceso no ocurre nunca).
- \(P(E) = 0.5 \Rightarrow\) Verosimilitud media (máxima incertidumbre).
- \(P(E) = 1 \Rightarrow\) Máxima verosimilitud (el suceso ocurre siempre).
Aunque el concepto de probabilidad es el más extendido en las aplicaciones que requieren cuantificar la incertidumbre sobre la ocurrencia de un suceso, existen otras formas de cuantificar esa incertidumbre, como por ejemplo el odds.
2.2 El concepto de odds
Definición 2.3 (Odds) El odds de un suceso \(E\) es el cociente entre el número de casos en los que ocurre \(E\) y el número de casos en los que no ocurre,
\[O(E)=\frac{\mbox{N.º casos con $E$}}{\mbox{N.º casos sin $E$}}=\frac{P(E)}{P(\overline E)}\]
Ejemplo 2.3 Se ha aplicado un tratamiento a 100 personas y se han curado 75. Entonces, el odds de curación del tratamiento es
\[O(E) = \frac{75}{25} = 3,\]
es decir, por cada persona que no se cura hay 3 que se curan.
A diferencia de una probabilidad, un odds puede ser mayor que 1. De hecho, no tiene cota superior.
2.2.1 Interpretación de un odds
Los odds también permiten cuantificar la verosimilitud de un suceso…, pero en una escala diferente, ya que se trata de una razón de probabilidades.
- \(O(E) = 0 \Rightarrow\) Mínima verosimilitud.
- \(O(E) = 1 \Rightarrow\) Verosimilitud media (máxima incertidumbre).
- \(O(E) = \infty \Rightarrow\) Máxima verosimilitud.
2.2.2 Conversión de odds en probabilidades
Como el odds es una función de la probabilidad, es posible convertir un odds en una probabilidad aplicando la siguiente fórmula:
\[\frac{O(E)}{1 + O(E)} = \frac{\dfrac{P(E)}{P(\overline E)}}{1 + \dfrac{P(E)}{P(\overline E)}} = \frac{\dfrac{P(E)}{P(\overline E)}}{\dfrac{P(\overline E) + P(E)}{P(\overline E)}} = P(E).\]
Ejemplo 2.4 Se ha aplicado un tratamiento a 100 personas y se han curado 75, de manera que
\[O(E) = \frac{75}{25} = 3 \Rightarrow P(E) = \frac{3}{1+3}=0.75.\]
Y, del mismo modo, se puede pasar de una probabilidad a un odds mediante la fórmula
\[O(E) = \frac{P(E)}{1-P(E)}.\]