Examen de Farmacia 2018-01-19

Grados: Farmacia y Biotecnología
Fecha: 19 de Enero de 2018

Ejercicio 1

Se realizó un estudio en pacientes mayores de 60 años de la relación entre la edad de los pacientes $X$ y el número de veces que han acudido a consulta médica en el último año $Y$ , obteniéndose los siguientes resultados:

$\begin{array}{lrrrrrrrr} Edad & 62 & 65 & 71 & 79 & 83 & 88 & 90 & 95 \\ Consultas & 2 & 3 & 4 & 6 & 6 & 8 & 10 & 14 \end{array}$

Se pide:

Calcular el número de veces que acudirá a consulta médica un paciente de 70 años según el modelo de regresión lineal.
Lo mismo pero empleando el modelo de regresión exponencial.
Razonar cuál de las dos predicciones es más fiable.
Teniendo en cuenta que la ecuación del modelo potencial es $Y = a X^{b}$ , explicar qué transformaciones hay que aplicar a las variables $X$ e $Y$ para convertirlo en un modelo lineal.

Usar las siguientes sumas para los cálculos: $\sum x_{i} = 633$ , $\sum \log (x_{i}) = 34.8835$ , $\sum y_{j} = 53$ , $\sum \log (y_{j}) = 13.7827$ , $\sum x_{i}^{2} = 51109$ , $\sum \log (x_{i})^{2} = 152.28$ , $\sum y_{j}^{2} = 461$ , $\sum \log (y_{j})^{2} = 26.6206$ , $\sum x_{i} y_{j} = 4509$ , $\sum x_{i} \log (y_{j}) = 1144.0108$ , $\sum \log (x_{i}) y_{j} = 235.1289$ , $\sum \log (x_{i}) \log (y_{j}) = 60.7921$ .

Solución

Modelo lineal de Consultas sobre Edad:
$\bar{x} = 79.125$ años, $s_{x}^{2} = 127.8594$ años² .
$\bar{y} = 6.625$ consultas, $s_{y}^{2} = 13.7344$ consultas².
$s_{x y} = 39.4219$ años⋅consultas.
Recta de regresión de Consultas sobre Edad: $y = - 17.771 + 0.3083 x$ .
$y (70) = 3.8116$ consultas.
$\overset{―}{\log (y)} = 1.7228$ log(consultas), $s_{\log (y)}^{2} = 0.3594$ log(consultas)².
$s_{x \log (y)} = 6.6823$ años⋅log(consultas).
Modelo exponencial de consultas sobre Edad: $y = e^{- 2.4124 + 0.0523 x}$ .
$y (70) = 3.4762$ consultas.
Coeficiente de determinación lineal de Consultas sobre Edad $r^{2} = 0.885$ .
Coeficiente de determinación exponencial de Consultas sobre Edad $r^{2} = 0.9716$ .
Por tanto, el modelo exponencial explica un poco mejor el número de consultas médicas con respecto a la edad.
Hay que aplicar la transformación logarítmica tanto a las Consultas como a la Edad: $\log (Y) = \log (a X^{b}) \Rightarrow \log (Y) = \log (a) + \log (X^{b}) = \log (a) + b \log (X) = a^{'} + b \log (X)$ .

Ejercicio 2

Se ha medido la concentración de polen en granos/m $^{3}$ de una determinada planta en el centro de una ciudad a lo largo de un año y se han obtenido los siguientes resultados:

$\begin{array}{cr} Nivel de polen & Nº de días \\ 0 - 300 & 51 \\ 300 - 500 & 60 \\ 500 - 600 & 79 \\ 600 - 800 & 91 \\ 800 - 1000 & 60 \\ 1000 - 1300 & 24 \end{array}$

Si el 75% de los días se considera que los niveles de polen no han sido excesivos. ¿A partir de que nivel de polen se ha considerado un nivel excesivo?
Se ha establecido una alerta naranja cuando el nivel de polen se sitúa entre 575 y 850. ¿En cuántos días del año se produjo dicha alerta naranja?
¿Hay datos atípicos en la muestra?
Sabemos que hay otra planta que tiene un ciclo de polinización muy parecido al de la muestra, con unos niveles de polen que se pueden calcular de la forma $Y = 0.5 X - 100$ . ( $Y$ = niveles de la otra planta y $X$ =niveles de la planta de la muestra) ¿Cuál sería la media de nivel de polen para esta otra planta? ¿Es un valor más o menos representativo que la de los niveles de la planta de la muestra recogida?
¿Se podría considerar que el nivel de polen en general sigue una distribución normal?

Usar las siguientes sumas para los cálculos: $\sum x_{i} = 220400$ granos/m $^{3}$ , $\sum x_{i}^{2} = 159575000$ (granos/m $^{3}$ ) $^{2}$ , $\sum (x_{i} - \bar{x})^{3} = 261917220.867$ (granos/m $^{3}$ ) $^{3}$ y $\sum (x_{i} - \bar{x})^{4} = 4872705679772.61$ (granos/m $^{3}$ ) $^{4}$ .

Solución

$P_{75} = 784.0417$ granos/m³.
$F (575) = 0.4664$ y $F (860) = 0.8192$ , por lo que la frecuencia del número de días con alerta es $0.3528$ que corresponde a $128.77$ días.
$Q_{1} = 434.1849$ granos/m³, $Q_{3} = 784.0417$ granos/m³ y $R I = 349.8568$ granos/m³. Vallas: $v_{1} = - 90.6001$ granos/m³ y $v_{2} = 1308.8269$ granos/m³.
Como todos los valores caen dentro de las vallas no hay datos atípicos.
$\bar{x} = 603.8356$ granos/m³, $s_{x}^{2} = 72574.3291$ (granos/m³)², $s_{x} = 269.3962$ granos/m³ y $c v_{x} = 0.4461$
$\bar{y} = 201.9178$ granos/m³, $s_{y} = 134.6981$ granos/m³ y $c v_{y} = 0.6671$ .
La media de $X$ es más representativa que la media de $Y$ ya que $c v_{x} < c v_{y}$ .
$g_{1} = 0.0367$ y $g_{2} = - 0.4654$ . Como ambos están entre -2 y 2, se puede asumir que el nivel de polen se distribuye normalmente.

Ejercicio 3

Los niveles de polen de gramíneas registrados en Madrid durante el año 2017 se distribuyeron de forma normal y tuvieron una media de 90. Si en 42 días del año 2017 se superó los 120 granos de polen/m $^{3}$ de aire, se pide:

Calcular la desviación típica del nivel de polen de gramíneas en 2017.
Nota: Si no se sabe calcular tomar una desviación típica de 20 granos/m $^{3}$ para los demás apartados.
¿Durante cuantos días no se llegaron a 50 granos de polen/m $^{3}$ de aire?
Si el 20% de los días hubo un nivel excesivamente alto de polen y hubo que avisar a la población, ¿a partir de qué nivel de polen se produjeron estos avisos?

Solución

Sea $X$ el nivel de polen en Madrid en 2017. $X \sim N (90, σ)$ .

$σ = 25$ granos/m³.
$P (X \leq 50) = 0.0548$ que corresponde a $20.0017$ días.
$P_{80} = 111.0405$ granos/m³.

Ejercicio 4

Se han ensayado dos tipos de medicamentos para reducir los niveles de colesterol y se ha observado que el medicamento $A$ es efectivo en el 75% de los casos y el medicamento B es efectivo en el $85$ de los casos. Sin embargo, hay un 5% de casos en los que ninguno de los medicamentos es efectivo.

¿En qué porcentaje de casos sería efectivo exclusivamente el medicamento $A$ ?
Si en un paciente se ha comprobado que el medicamento $A$ es efectivo, ¿qué probabilidad hay de que también lo sea el medicamento $B$ ?
Si en un paciente se ha comprobado que el medicamento $B$ no es efectivo, ¿qué probabilidad hay de que el medicamento $A$ si lo sea?
¿Es independiente la efectividad de estos medicamentos?

Solución

$P (A \cap \overset{―}{B}) = 0.1$ , es decir, un $10$ .
$P (B | A) = 0.8667$ .
$P (A | \overset{―}{B}) = 0.6667$ .
$P (B | A) \neq P (B)$ , de manera que los sucesos son dependientes.

Ejercicio 5

El número medio de nacimientos que se producen en una semana en un hospital es 14. Se pide:

Calcular la probabilidad de que un día se produzcan más de 2 nacimientos.
Calcular la probabilidad de que una semana haya más de un día en que no se produzcan nacimientos.

Solución

Sea $X$ el número de nacimientos en un día. $X \sim P (2)$ y $P (X > 2) = 0.3233 .$
Sea $Y$ el número de días sin nacimientos en una semana. $Y \sim B (7, 0.1353)$ y $P (Y > 1) = 0.2427$ .

Ejercicio 6

Se está trabajando en el diseño de un test para detectar una enfermedad y para ensayarlo se dispone de una muestra de 250 individuos de los cuales 50 presentan la enfermedad y 200 son individuos sanos. Si se pretende que el test tenga un valor predictivo positivo de $0.7$ y un valor predictivo negativo de $0.9$ , al realizar los ensayos sobre la muestra:

¿Cuántos de los individuos sanos deberían dar positivo en el test?
¿Cuántos de los individuos enfermos deberían dar negativo en el test?
¿Qué probabilidad hay de que un individuo que ha dado dos veces positivo en el test sufra la enfermedad?

Solución

Sea $E$ el suceso correspondiente a tener la enfermedad.

$P (+ | \overset{―}{E}) = 0.0625 \Rightarrow 12.5$ personas.
$P (- | E) = 0.4165 \Rightarrow 20.825$ personas.
$P (E | + \cap +) = 0.9561$ .

Examen

Última actualización el Sep 15, 2020