Examen de Farmacia 2017-01-10

Grados: Farmacia, Biotecnología Fecha: 10 de enero de 2017

Ejercicio 1

La siguiente tabla recoge la distribución de frecuencias del tiempo de espera en un servicio de urgencias de una muestra de pacientes.

$$ \begin{array}{cr} \hline \mbox{Tiempo} & \mbox{Pacientes} \newline (0,10] & 22 \newline (10,20] & 43 \newline (20,30] & 33 \newline (30,40] & 12 \newline (40,50] & 6 \newline (50,60] & 4 \newline \hline \end{array} $$

Se pide:

  1. Dibujar el polígono de frecuencias relativas acumuladas del tiempo de espera.
  2. Calcular la mediana el tiempo de espera e interpretarla.
  3. ¿Qué porcentaje de pacientes han tenido que esperar más de 38 minutos?

plot of chunk poligono_frecuencias_relativas_tiempo_espera_urgencias

  1. $Me=18.89$ min.
  2. El 10% de los pacientes han tenido que esperar más de 18 minutos.

En dos poblaciones de mujeres A y B se ha tomado una muestra y se ha medido el número de embarazos de cada mujer durante su vida fértil obteniéndo los siguientes resultados:

$$ \begin{array}{ccccccccccccccccc} \hline A & 2 & 3 & 4 & 4 & 3 & 2 & 6 & 1 & 5 & 3 & 4 & 4 & 3 & 2 & 5 & 0 \newline B & 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 2 & 0 & 3 & 0 & 1 & 0 & 2 & 5 & 1 & 1 & 1 \newline \hline \end{array} $$

Se pide:

  1. Construir los diagramas de caja de ambas muestras y compararlos.
  2. ¿En qué muestra es más representativa la media? Justificar la respuesta.
  3. Calcular el coeficiente de asimetría de ambas distribuciones. ¿Qué distribución es más asimétrica?
  4. ¿Qué número de embarazos es relativamente mayor, 5 embarazos en la población A o 3 en la B?

Utilizar las siguientes sumas para los cálculos:
$\sum a_i=51$, $\sum a_i^2=199$, $\sum (a_i-\bar a)^3=-11.6016$, $\sum (a_i-\bar a)^4=217.9954$,
$\sum b_i=20$, $\sum b_i^2=52$, $\sum (b_i-\bar b)^3=49.5$, $\sum (b_i-\bar b)^4=220.3125$.

plot of chunk fertility_boxplot

  1. $\bar a=3.1875$ embarazos, $s_a^2=2.2773$ embarazos², $s_a=1.5091$ embarazos, $cv_a=0.4734$.
    $\bar b=1.25$ embarazos, $s_b^2=1.6875$ embarazos², $s_b=1.299$ embarazos, $cv_b=1.0392$.
    Como el coeficiente de variación de $A$ es menor que el coeficiente de variación de $B$, la media de la población $A$ es más representativa que la media de la población $B$.
  2. $g_{1,a}=-0.211$ y $g_{1,b}=1.4113$, de modo que la distribución de $B$ es más asimétrica que la distribución de $A$.
  3. $z_a(5)=1.2011$ y $z_b(3)=1.3472$, de modo que 3 embarazos en la población $B$ es relativamente mayor que 5 embarazos en la población $A$.

Ejercicio 3

En un estudio se ha medido la reducción en el nivel de colesterol de un grupo de personas hipertensas tras un programa de ejercicios. Los resultados aparecen en la siguiente tabla.

  1. ¿Qué modelo de regresión explica mejor la reducción de colesterol en función de los minutos de ejercicio, el lineal o el exponencial? Justificar la respuesta.
  2. Según el modelo de regresión lineal, ¿cuánto disminuirá el colesterol por cada minuto más de ejercicio?
  3. Según el modelo logarítmico, ¿cuántos minutos de ejercicio se necesitan para reducir el colesterol 100 mg/dl? ¿Es fiable la predicción? Justificar la respuesta.

Utilizar las siguientes sumas para los cálculos ($X$=Minutos de ejercicio e $Y$=Reducción de colesterol):
$\sum x_i=2148$, $\sum \log(x_i)=53.0559$, $\sum y_j=199$, $\sum \log(y_j)=27.1766$,
$\sum x_i^2=507082$, $\sum \log(x_i)^2=282.9578$, $\sum y_j^2=5779$, $\sum \log(y_j)^2=80.035$,
$\sum x_iy_j=50750$, $\sum x_i\log(y_j)=6359.0468$, $\sum \log(x_i)y_j=1097.978$, $\sum \log(x_i)\log(y_j)=147.0682$.

  1. Modelo de regresión lineal de la reducción del colesterol sobre el tiempo de ejercicio:
    $\bar x=214.8$ min, $s_x^2=4569.16$ min².
    $\bar y=19.9$ mg/dl, $s_y^2=181.89$ (mg/dl)².
    $s_{xy}=800.48$ min⋅mg/dl.
    $r^2 = 0.771$.
    Modelo de regresión exponencial de la reducción de colesterol sobre el tiempo de ejercicio: $\overline{\log(y)}=2.7177$ log(mg/dl), $s_{\log(y)}^2=0.6178$ log(mg/dl)².
    $s_{x\log(y)}=52.1504$ min⋅log(mg/dl).
    $r^2 = 0.9635$.
    Por tanto, el modelo de regresión exponencial es mejor ya que su coeficiente de determinación es mayor.
  2. Recta de regresión de la reducción del colesterol sobre el tiempo de ejercicio: $y=-17.7312 + 0.1752x$.
    Por cada minuto más de ejercicio la reducción del colesterol aumenta 0.1752 mg/dl.
  3. Modelo de regresión logarítmico del tiempo de ejercicio sobre la reducción del colesterol: $x=-14.6075 + 84.4135\log(y)$.
    $x(100)=374.131$.
    A pesar de que el coeficiente de determinación está muy cerca de 1, la estimación no es muy fiable porque 100 mg/dl está bastante lejos del rango de valores de la muestra.

Ejercicio 4

En el servicio de emergencias de un municipio se sabe que por término medio se producen 6 avisos cada día. Sabiendo que el servicio está organizado en 3 turnos diários de 8 horas, se pide:

  1. Calcular la probabilidad de que en un turno se produzcan más de 3 avisos.
  2. Calcular la probabilidad de que en alguno de los tres turnos de un día no se produzca ningún aviso.

  1. Llamando $X$ al número de avisos en un turno de 8 horas, $X\sim P(2)$ y $P(X>3)=0.1429$.
  2. Llamando $Y$ al número de turnos sin avisos, $Y\sim B(3,0.1353)$ y $P(Y>0)=0.3535$.

Ejercicio 5

Para detectar una enfermedad con una prevalencia del 10% se dispone de un test diagnóstico con una sensibilidad del 95% y una especificidad del 85%. Se pide:

  1. Calcular los valores predictivos positivo y negativo del test e interpretarlos. ¿Se trata de un test más útil para detectar la enfermedad o para descartarla?
  2. ¿Cuál debería la especificidad del test para que el valor predictivo positivo fuera del 80%?

  1. $VPP=P(D|+)=0.413$ y $VPN=P(\overline D|-)=0.9935$.
  2. La especificidad debería ser $97.37%$.

Ejercicio 6

Se ha medido la presión arterial sistólica a 8000 individuos de una población se ha observado que 2254 tiene más de 130 mmHg y 3126 tienen entre 110 y 130 mmHg. Suponiendo que la presión arterial sistólica sigue una distribución de probabilidad normal, se pide:

  1. Calcular la media y la desviación típica.
  2. Si se consideran hipertensas las personas con una presión arterial superior a 140 mmHg, ¿cuántas personas hipertensas hay en la población?
  3. Si una analítica sanguínea marca como anormales el 5% de los individuos con menor presión arterial y el 5% con mayor presión arterial, ¿entre qué presiones arteriales debe estar la presión de un individuo para que la analítica lo considere normal?

  1. Llamando $X$ a la presión arterial, $X\sim N(118.723, 19.5221)$.
  2. $P(X>140)=0.1379$ y por tanto existen $1103.0473$ personas con hipertensión.
  3. La presión es normal en el intervalo $(86.612, 150.8341)$.

Ejercicio 7

En una asignatura se hacen dos exámenes parciales a lo largo del curso. El primer parcial lo aprobaron el 60% de los alumnos y el segundo parcial lo aprobaron el 68%. Del grupo de alumnos que aprobaron el primer parcial, el 80% de ellos aprobaron el segundo. Si se elige un alumno al azar, calcular:

  1. Probabilidad de que no haya aprobado ningún parcial.
  2. Probabilidad de que haya aprobado el primer parcial si no ha aprobado el segundo.

Llamando $E_1$ al evento consistente en aprobar el primer examen y $E_2$ al evento consistente en aprobar el segundo examen:

  1. $P(\overline E_1\cap \overline E_2)=0.2$.
  2. $P(E_1|\overline E_2)=0.375$.
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