4 Variables aleatorias discretas
Ejercicio 4.1 Sea \(X\) una variable aleatoria discreta cuya ley de probabilidad es
| \(X\) | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| \(f(x)\) | 0.15 | 0.35 | 0.10 | 0.25 | 0.15 |
Calcular y representar gráficamente la función de distribución.
Obtener:
- \(P(X<7.5)\).
- \(P(X>8)\).
- \(P(4\leq X\leq 6.5)\).
- \(P(5<X<6)\).
- \[ F(x)= \begin{cases} 0 & \text{si $x<4$,}\\ 0.15 & \text{si $4\leq x<5$,}\\ 0.5 & \text{si $5\leq x<6$,}\\ 0.6 & \text{si $6\leq x<7$,}\\ 0.85 & \text{si $7\leq x<8$,}\\ 1 & \text{si $8\leq x$.} \end{cases} \]
- \(P(X<7.5)=0.85\), \(P(X>8)=0\), \(P(4\leq x\leq 6.5)=0.6\) y \(P(5<X<6)=0\).
Ejercicio 4.2 Sea la variable aleatoria X con la siguiente función de distribución:
\[ F(x)= \begin{cases} 0 & \text{si $x<1$,} \\ 1/5 & \text{si $1\leq x< 4$,} \\ 3/4 & \text{si $4\leq x<6$,} \\ 1 & \text{si $6\leq x$.} \end{cases} \]
Se pide:
Distribución de probabilidad.
Calcular la siguientes probabilidades:
- \(P(X=6)\).
- \(P(X=5)\).
- \(P(2<X<5.5)\).
- \(P(0\leq X<4)\).
Calcular la media.
Calcular la desviación típica.
\(X\) 1 4 6 \(f(x)\) 1/5 11/20 1/4 - \(P(X=6)=1/4\), \(P(X=5)=0\), \(P(2<X<5.5)=11/20\) y \(P(0\leq X<4)=1/5\).
- \(\mu=3.9\).
- \(\sigma=1.6703\).
Ejercicio 4.3 \(\star\) Se realiza un experimento aleatorio consistente en inyectar un virus a tres tipos de ratas y observar si sobreviven o no. Se sabe que la probabilidad de que viva el primer tipo de rata es \(0.5\), la de que viva el segundo es \(0.4\) y la de que viva el tercero \(0.3\). Se pide:
- Construir la variable aleatoria que mida el número de ratas vivas y su función de probabilidad.
- Calcular la función de distribución.
- Calcular \(P(X\leq 1)\), \(P(X\geq 2)\) y \(P(X=1.5)\).
- Calcular la media y la desviación típica. ¿Es representativa la media?
\(X\) 0 1 2 3 \(f(x)\) 0.21 0.44 0.29 0.06 - \[ F(x)= \begin{cases} 0 & \text{si $x<0$,}\\ 0.21 & \text{si $0\leq x<1$,}\\ 0.65 & \text{si $1\leq x<2$,}\\ 0.94 & \text{si $2\leq x<3$,}\\ 1 & \text{si $3\leq x$.} \end{cases} \]
- \(P(X\leq 1)=0.65\), \(P(X\geq 2)=0.35\) y \(P(X=1.5)=0\).
- \(\mu=1.2\) ratas, \(\sigma^2=0.7\) ratas\(^2\) y \(\sigma=0.84\) ratas.
Ejercicio 4.4 Una tómbola asegura que en cada 1000 boletos hay 500 con ``siga intentándolo’’, 100 con un premio de 1€, 60 con un premio de 2€, 30 con un premio de 3€, y 10 con un premio de 10€. Un individuo decide comprar un boleto que cuesta 1€. Se pide:
- Construir una variable aleatoria que mida la ganancia (o pérdida) con la compra de un boleto.
- ¿Cual es la probabilidad de que pierda dinero?
- ¿Qué ganancia espera obtener?
Ejercicio 4.5 La probabilidad de curación de un paciente al ser sometido a un determinado tratamiento es \(0.85\). Calcular la probabilidad de que en un grupo de \(6\) enfermos sometidos a tratamiento:
- se curen la mitad.
- se curen al menos \(4\).
Llamando \(X\) al número de pacientes curados de los 6 sometidos al tratamiento, se tiene que \(X\sim B(6,\,0.85)\).
- \(P(X=3)=0.041\).
- \(P(X\geq 4)=0.9526\).
Ejercicio 4.6 \(\star\) En una mesa de juego, en 1654, Meré propuso a Pascal la siguiente afirmación: ``es más probable obtener al menos un as con cuatro dados, que al menos un doble as en veinticuatro tiradas de dos dados’’.
Demostrar que Meré tenía razón.
Ejercicio 4.7 Se sabe que la probabilidad de que aparezca una bacteria en un mm\(^3\) de cierta disolución es de \(0.002\). Si en cada mm\(^3\) a los sumo puede aparecer una bacteria, determinar la probabilidad de que en un cm\(^3\) haya como máximo \(5\) bacterias.
Llamando \(X\) al número de bacterias en 1 cm\(^3\) de disolución, se tiene \(X\sim B(1000,\,0.002)\approx P(2)\).
\(P(X\leq 5)=0.9834\).
Ejercicio 4.8 Diez individuos entran en contacto con un portador de tuberculosis. La probabilidad de que la enfermedad se contagie del portador a un sujeto cualquiera es \(0.10\).
- ¿Qué probabilidad hay de que ninguno se contagie?
- ¿Qué probabilidad hay de que al menos dos se contagien?
- ¿Cuántos se espera que contraigan la enfermedad?
Llamando \(X\) al número de personas contagiadas.
- \(P(X=0)=0.3487\).
- \(P(X\geq 2)=0.2639\).
- \(\mu=1\).
Ejercicio 4.9 \(\star\) Las matrículas de los coches constan de una parte numérica formada por cuatro cifras, y una parte literal. Se pide:
- Hallar la probabilidad de que al pasar 30 coches haya menos de dos cuya parte numérica sea capicúa.
- ¿Cuántos coches deben pasar para que la probabilidad de que alguno tenga la parte numérica capicúa sea mayor que 0.1?
Ejercicio 4.10 La probabilidad de que al administrar una vacuna dé una determinada reacción es \(0.001\). Si se vacunan 2000 personas, ¿Cuál es la probabilidad de que aparezca alguna reacción adversa?
Llamando \(X\) al número de reacciones adversas, \(P(X\geq 1)=0.8648\).
Ejercicio 4.11 \(\star\) El número medio de llamadas por minuto que llegan a una centralita telefónica es igual a 120. Hallar las probabilidades de los sucesos siguientes:
- \(A=\{\text{durante 2 segundos lleguen a la centralita menos de 4 llamadas}\}\).
- \(B=\{\text{durante 3 segundos lleguen a la centralita 3 llamadas como mínimo}\}\).
- Si \(X\) es el número de llamadas en 2 segundos, entonces \(X\sim P(4)\) y \(P(X<4)=0.4335\).
- Si \(Y\) es el número de llamadas en 3 segundos, entonces \(Y\sim P(6)\) y \(P(Y\geq 3)=0.938\).
Ejercicio 4.12 En un laboratorio de análisis de alimentos se sabe, de experiencias anteriores, que la probabilidad de que una muestra de café contenga plomo en cantidades superiores a las permitidas por la legislación vigente es \(0.2\). Si se reciben \(50\) muestras de café, ¿cuál es la probabilidad de rechazar al menos \(5\)? ¿Cuál será el número medio de muestras que rechazaremos?
Ejercicio 4.13 Un proceso de fabricación de un fármaco produce por término medio 6 fármacos defectuosos por hora. ¿Cuál es probabilidad de que en un hora se produzcan menos de 3 fármacos defectuosos? ¿Y la de que en la próxima media hora se produzcan más de un fármaco defectuoso?
Llamando \(X\) al número de fármacos defectuosos en 1 hora, se tiene \(X\sim P(6)\) y \(P(X<3)=0.062\).
Llamando \(Y\) al número de fármacos defectuosos en \(1/2\) hora, se tiene \(Y\sim P(3)\) y \(P(Y>1)=0.8009\).
Ejercicio 4.14 Una mecanógrafa comete, en promedio, una errata cada 2000 caracteres que escribe. Suponiendo que escribe un folio con treinta líneas y setenta caracteres por línea, ¿cuál es la probabilidad de que cometa más de un error en dicho folio?
Llamando \(X\) al número de errores en un folio, se tiene que \(X\sim B(2100,\,1/2000)\approx P(1.05)\), y \(P(X>1)=0.2826\).
Ejercicio 4.15 Un examen de tipo test consta de 10 preguntas con tres respuestas posibles para cada una de ellas. Se obtiene un punto por cada respuesta acertada y se pierde medio punto por cada pregunta fallada. Un alumno sabe tres de las preguntas del test y las contesta correctamente, pero no sabe las otras siete y las contesta al azar. ¿Qué probabilidad tiene de aprobar el examen?
Llamando \(X\) al número de preguntas acertadas de las 7 contestadas al azar, se tiene \(X\sim B(7,\,1/3)\) y \(P(X\geq 4)=0.1733\).
Ejercicio 4.16 \(\star\) Un equipo de fútbol tiene 7 delanteros. Se sabe que por término medio, cada delantero se pierde 5 partidos por lesión en una temporada de 40 partidos. Suponiendo que todos los delanteros tienen la misma probabilidad de lesionarse, se pide:
- ¿Cuál es la probabilidad de que en un partido determinado tenga menos de 5 delanteros en condiciones de jugar?
- ¿Cuál es la probabilidad de que a lo largo de la temporada haya más de un partido en que tenga menos de 5 delanteros en condiciones de jugar?
Ejercicio 4.17 Para reforestar un bosque se compran árboles a un vivero en el que el 4% de los árboles suele morir debido a una enfermedad. Si la repoblación se efectúa por parcelas en las que se ponen 10 árboles, se pide:
- Calcular la probabilidad de que no muera ningún árbol en una parcela.
- Calcular la probabilidad de no mueran más de 2 árboles en una parcela.
- Si en total se reforestan 3000 parcelas, ¿cuál es la probabilidad de que haya alguna en la que mueran más de dos árboles?
Ejercicio 4.18 \(\star\) En un estudio sobre un determinado tipo de parásito que ataca el riñón de las ratas, se sabe que el número medio de parásitos en cada riñón es 3. Se pide:
- Calcular la probabilidad de que una rata tenga más de 8 parásitos.
(Nota: se supone que una rata normal tiene dos riñones). - Si se tienen 10 ratas, ¿cuál es la probabilidad de que haya al menos 9 con parásitos?
- Si \(X\) es el número de parásitos en una rata, \(X\sim P(6)\) y \(P(X>8)=0.1528\).
- Si \(Y\) es el número de ratas con parásitos en un grupo de 10 ratas, entonces \(Y\sim B(10,\,0.9975)\) y \(P(Y\geq 9)=0.9997\).
Ejercicio 4.19 \(\star\) Se ha comprobado experimentalmente que una de cada 20 billones de células expuestas a un determinado tipo de radiación muta volviéndose cancerígena. Sabiendo que el cuerpo humano tiene aproximadamente 1 billón de células por kilogramo de tejido, calcular la probabilidad de que una persona de 60 kg expuesta a dicha radiación desarrolle cáncer. Si la radiación ha afectado a 3 personas de 60 kg, ¿cuál es la probabilidad de que desarrolle el cáncer más de una?
Llamando \(X\) al número de mutaciones, \(P(X>0)=0.9502\).
Llamando \(Y\) al número de personas que desarrollan el cáncer, \(P(Y\geq 1)=0.9999\).
Ejercicio 4.20 \(\star\) En un servicio de urgencias de cierto hospital se sabe que, en media, llegan 2 pacientes a la hora. Calcular:
- Si los turnos en urgencias son de 8 horas, ¿cuál será la probabilidad de que en un turno lleguen más de 5 pacientes?
- Si el servicio de urgencias tiene capacidad para atender adecuadamente como mucho a 4 pacientes a la hora, ¿cuál es la probabilidad de que a lo largo de un turno de 8 horas el servicio de urgencias se vea desbordado en alguna de las horas del turno?
- Llamando \(X\) al número de pacientes en un turno, se tiene que \(X\sim P(16)\) y \(P(X>5)=0.9986\).
- Llamando \(Y\) al número de horas en el que el servicio se vea desbordado porque lleguen más de 4 pacientes, se tiene que \(Y\sim B(8,\,0.0527)\) y \(P(Y\geq 1)=0.3515\).
Ejercicio 4.21 En un Parque Nacional se contabilizan 15 linces. Si sabemos, por estudios previos, que mueren en promedio 1 de cada 10 individuos a lo largo de un año (ya sea por accidentes, caza de furtivos o por causas naturales):
- ¿Cuál es la probabilidad de que en el Parque Nacional se contabilicen más de 2 muertes de linces en un año?
- Suponiendo un periodo de 12 años, ¿cuál es la probabilidad de que en el Parque Nacional haya algún año en el que mueran 2 linces?
Ejercicio 4.22 \(\star\) El síndrome de Turner es una anomalía genética que se caracteriza porque las mujeres tienen sólo un cromosoma \(X\). Afecta aproximadamente a 1 de cada 2000 mujeres. Además, aproximadamente 1 de cada 10 mujeres con síndrome de Turner, como consecuencia, también sufren un estrechamiento anormal de la aorta. Se pide:
- En un grupo de 4000 mujeres, ¿cuál es la probabilidad de que haya más de 3 afectadas por el síndrome de Turner? ¿Y de que haya alguna con estrechamiento de aorta como consecuencia de padecer el síndrome de Turner?
- En un grupo de 20 chicas afectadas por el síndrome de Turner, ¿cuál es la probabilidad de que menos de 3 sufran un estrechamiento anormal de la aorta?
- Si \(X\) es el número de mujeres afectadas por el síndrome de Turner en el grupo de 4000 mujeres, entonces \(X\sim B(4000,\,1/2000)\approx P(2)\) y \(P(X>3)=0.1429\).
Si \(Y\) es el número de mujeres con estrechamiento de la aorta en el grupo de 4000 mujeres, entonces \(Y\sim B(4000,\,1/20000)\approx P(0.2)\) y \(P(Y>0)=0.1813\). - Si \(Z\) es el número de mujeres con estrechamiento de la aorta en el grupo de 20 mujeres con el síndrome de Turner, entonces \(Z\sim B(20,\,1/10)\) y \(P(Z<3)=0.6769\).
Ejercicio 4.23 Por estudios previos se sabe que, en una comarca, hay dos tipos de larvas que parasitan, de forma completamente independiente, los chopos, y que producen su muerte. Si la larva de tipo \(A\) está parasitando un 15% de los chopos, y la \(B\) un 30%, y en una zona concreta de la comarca hay 10 chopos:
- ¿Qué probabilidad hay que de estén siendo parasitados por \(A\) más de dos?
- ¿Qué probabilidad hay de que estén libres de \(B\) más de 8?
- ¿Qué probabilidad hay de que más de 1 tenga los dos tipos de larva?
- ¿Qué probabilidad hay de que más de 3 tengan algún tipo de larva?
- \(X_A\) es el número de chopos parasitados por larvas del tipo \(A\), entonces \(X_A\sim B(10,\,0.15)\) y \(P(X_A>2)=0.1798\).
- Si \(X_{\overline{B}}\) es el número de chopos no parasitados por larvas del tipo \(B\), entonces \(X_{\overline{B}}\sim B(10,\,0.7)\) y \(P(X_{\overline{B}}>8)=0.1493\).
- Si llamamos \(X_{A\cap B}\) al número de chopos parasitados por larvas de ambos tipos, entonces \(X_{A\cap B}\sim B(10,\,0.045)\) y \(P(X_{A\cap B}>1)=0.0717\).
- Si llamamos \(X_{A\cup B}\) al número de chopos parasitados por algún tipo de larva, entonces \(X_{A\cup B}\sim B(10,\,0.405)\) y \(P(X_{A\cup B}>3)=0.6302\).
Ejercicio 4.24 \(\star\) En un Parque Regional se contabilizan 10 parejas de buitre leonado. Si sabemos que el 70% de las parejas de esta especie logran que alguna de sus crías sobreviva:
- ¿Cuál es la probabilidad de que 8 parejas de buitre leonado del Parque logren que alguna de sus crías sobreviva?
- ¿Cuál es la probabilidad de que alguna pareja logre que alguna de sus crías sobreviva?
- Si sabemos que en dicho Parque Regional nidifican, en promedio, 8 parejas al año, ¿cuál es la probabilidad de que en un año concreto nidifiquen más de 6?
Ejercicio 4.25 Al lanzar 100 veces una moneda, ¿cuál es la probabilidad de obtener entre 40 y 60 caras?
Ejercicio 4.26 El trastorno de pánico aparece en 1 de cada 75 personas. ¿Cuál es la probabilidad de que en un grupo de 100 personas aparezca alguna con trastorno de pánico? ¿Cuál es el número esperado de personas con trastorno de pánico en ese grupo?
Llamando \(X\) al número de personas que sufren trastorno del pánico en el grupo de 100 personas, se tiene que \(X\sim B(100,\,1/75)\) y \(P(X\geq 1)=0.7379\).
Ejercicio 4.27 Se sabe que 2 de cada 1000 pacientes son alérgicos a un fármaco \(A\), y que 6 de cada 1000 lo son a un fármaco \(B\). Además, el 30% de los alérgicos a \(B\), también lo son a \(A\). Si se aplican los dos fármacos a 500 personas,
- ¿Cuál es la probabilidad de que no haya ninguna con alergia a \(A\)?
- ¿Cuál es la probabilidad de que haya al menos 2 con alergia a \(B\)?
- ¿Cuál es la probabilidad de que haya menos de 2 con las dos alergias?
- ¿Cuál es la probabilidad de que haya alguna con alergia?
- Llamando \(X_A\) al número de personas alérgicas al fármaco \(A\) en el grupo de 500 personas, se tiene que \(X_A\sim B(500,\,0.002)\approx P(1)\) y \(P(X_A=0)=0.3678\).
- Llamando \(X_B\) al número de personas alérgicas al fármaco \(B\) en el grupo de 500 personas, se tiene que \(X_B\sim B(500,\,0.006)\approx P(3)\) y \(P(X_B\geq 2)=0.8009\).
- Llamando \(X_{A\cap B}\) al número de personas alérgicas a ambos fármacos \(A\cap B\) en el grupo de 500 personas, se tiene que \(X_A\sim B(500,\,0.0018)\approx P(0.9)\) y \(P(X_{A\cap B}<2)=0.7725\).
- Llamando \(X_{A\cup B}\) al número de personas alérgicas a alguno de los fármacos \(A\cup B\) en el grupo de 500 personas, se tiene que \(X_A\sim B(500,\,0.0062)\approx P(3.1)\) y \(P(X_{A\cup B}\geq 1)=0.9550\).
Ejercicio 4.28 En una clase hay 40 alumnos de los cuales el 35% son fumadores. Si se toma una muestra aleatoria con reemplazamiento de 4 alumnos, ¿cuál es la probabilidad de que haya al menos 1 fumador? ¿Cuál sería dicha probabilidad si la muestra se hubiese tomado sin reemplazamiento?
Si \(X\) es el número de fumadores en una muestra aleatoria con reemplazamiento de tamaño \(4\), entonces \(X\sim B(4,\,0.35)\) y \(P(X\geq 1)=0.8215\).
Si la muestra es sin reemplazamiento \(P(X\geq 1)= 0.8364\).
Ejercicio 4.29 \(\star\) Se sabe que por término medio 2 de cada 10000 niños que nacen son albinos.
- Si en una región nacen cada año 22000 niños ¿cuál es la probabilidad de que un año nazcan al menos 4 albinos?
- ¿Cuál es la probabilidad de que en esa región, en un periodo de 10 años no nazca ningún niño albino?
- Llamando \(X\) al número de niños albinos que nacen en un año, se tiene que \(X\sim B(22000,\,2/10000)\approx P(4.4)\) y \(P(X\geq 4)=0.6406\).
- Llamando \(Y\) al número de niños albinos que nacen en 10 años, se tiene que \(Y\sim B(220000,\,2/10000)\approx P(44)\) y \(P(Y=0)=0\).
Ejercicio 4.30 \(\star\) Suponiendo una facultad en la que hay un 60% de chicas y un 40% de chicos:
- Si un año van 6 alumnos a hacer prácticas en un hospital, ¿qué probabilidad hay de que vayan más chicos que chicas?
- En un período de 5 años, ¿cuál es la probabilidad de que más de 1 año no haya ido ningún chico?
Si consideramos un total de \(n=6\) alumnos, con un \(60\%\) de chicas y un \(40\%\) de chicos, la variable \(X\) que es el número de alumnos chicos que van a hacer las prácticas de un total de 6, sigue una distribución binomial de 6 intentos y probabilidad de éxito igual a \(0.4\): \(X\sim B(6\,,\,0.4)\). Como nos piden la probabilidad de que haya más chicos que chicas, eso se consigue si el número de chicos es 4 o más. Por lo tanto, nos piden la probabilidad de que \(X\) sea mayor o igual que 4:
\[ P(X \ge 4) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) \]
Calculando estas probabilidades con la función de probabilidad de la variable binomial, tenemos
\[ \begin{aligned} P(X = 4) &= \binom{6}{4}\cdot 0.4^4 \cdot (1-0.4)^{6-4} = 12\cdot 0.4^4\cdot 0.6^2 = 0.1382,\\ P(X = 5) &= \binom{6}{5}\cdot 0.4^5 \cdot (1-0.4)^{6-5} = 6\cdot 0.4^5 \cdot 0.6 = 0.0369,\\ P(X = 6) &= \binom{6}{6}\cdot 0.4^6 \cdot (1-0.4)^{6-6} = 1\cdot 0.4^6 \cdot 0.6^0 = 0.0041 \end{aligned} \]
Y sumando los tres resultados obtenidos:
\[ P(X \ge 4) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6)= 0.1382+0.0369+0.0041=0.1792. \]
Si consideramos, en un total de 5 años, la probabilidad de que más de un año no haya ido ningún chico, la variable a tener en cuenta \(Y\) será el número de años en el total de 5 sin ningún chico, y de nuevo esta variable sigue una distribución binomial, esta vez con 5 intentos, cuyo éxito viene dado por la probabilidad de que en un año concreto no haya ningún chico: \(Y \sim B(5\,,\,p)\), donde \(p=P(X=0)\).
\[ p = P(X = 0) = \binom{6}{0}\cdot 0.4^0 \cdot (1-0.4)^{6-0} = 1\cdot 0.4^0\cdot 0.6^6 = 0.0467. \]
Por lo tanto, \(Y \sim B(5\,,\,0.0467)\).
Además, nos piden la probabilidad de más de una año en el total de 5; es decir:
\[ P(Y>1)=1-P(Y\leq 1) = 1-P(Y=0)-P(Y=1). \]
Aplicando, de nuevo, la fórmula de la función de probabilidad de la binomial, obtenemos:
\[ \begin{aligned} P(Y = 0) &= \binom{5}{0}\cdot 0.0467^0 \cdot (1 - 0.0467)^{5-0} = 1\cdot 0.0467^0\cdot 0.9533^5 = 0.7873,\\ P(Y = 1) &= \binom{5}{1}\cdot 0.0467^1 \cdot (1 - 0.0467)^{5-1} = 5\cdot 0.0467^1\cdot 0.9533^4 = 0.1928. \end{aligned} \]
Teniendo lo anterior en cuenta, la probabilidad que nos piden vale:
\[ P(Y>1)=1-P(Y=0)-P(Y=1)=1-0.7873-0.1928=0.0199. \]
Ejercicio 4.31 \(\star\) La probabilidad de que en un grupo de 5 individuos mayores de 70 años todos padezcan arterioesclerosis cerebral es de \(12,5\) por mil.
- ¿Cuál es la probabilidad de padecer la enfermedad entre los mayores de 70 años?
- En un grupo de 1000 personas, ¿cuál es la probabilidad de que padezcan la enfermedad más de 450?
Ejercicio 4.32 \(\star\) ¿Cuánto habría que restar a cada pregunta errada en un examen de tipo test de 5 preguntas con cuatro opciones y sólo una correcta, para que un individuo que responda al azar tenga una puntuación esperada de 0?
Si llamamos \(X\) al número de preguntas acertadas, está claro que \(X\) sigue una distribución binomial \(B(5,\,1/4)\) ya que el examen tiene 4 preguntas, y la probabilidad de acertar cualquiera de ellas al azar es \(1/4\) ya que hay cuatro opciones y sólo una es la correcta.
Ejercicio 4.33 Se sabe que el \(6.8\)% las personas presentan a lo largo de su adolescencia un trastorno de hiperactividad, de los cuales tres cuartas partes son mujeres. Si en la población hay el mismo número de hombres y mujeres, se pide:
- Calcular la probabilidad de que en una muestra de tres hombres, haya alguno que haya tenido hiperactividad en su adolescencia.
- Calcular la probabilidad de que en una muestra de 2 hombres y 2 mujeres, haya alguno que haya tenido hiperactividad en su adolescencia.
- Si llamamos \(X\) al número de hombres que han tenido hiperactividad en su adolescencia en una muestra de 3 hombres, se tiene que \(X\sim B(3,\,0.034)\) y \(P(X\geq 1)=0.0986\).
- Si llamamos \(X_H\) al número de hombres que han tenido hiperactividad en su adolescencia en una muestra de 2 hombres y \(X_M\) al número de mujeres que han tenido hiperactividad en su adolescencia en una muestra de 2 mujeres, entonces \(X_H\sim B(2,\,0.034)\) y \(X_M(2,\,0.102)\). Entonces \(P(X_H\geq 1\cup X_M\geq 1)=0.2475\).
Ejercicio 4.34 \(\star\) A un hospital llegan pacientes por la mañana a efectuarse extracciones de sangre. Se ha medido la frecuencia de llegada de los mismos en intervalos de 15 minutos. La distribución de probabilidad (medida de forma frecuentista) se muestra en la siguiente tabla:
| \(X\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| \(P(x)\) | 0.1 | 0.2 | 0.25 | 0.15 | 0.15 | 0.1 | 0.05 |
Se pide:
- Calcular la probabilidad de que en un intervalo de 15 minutos lleguen 2 o más personas, y probabilidad de que lleguen menos de 8 personas.
- ¿Cuál es el número medio esperado de personas que llegarán a sacarse sangre cada 15 minutos?
- Suponiendo que el número de personas que llegan a sacarse sangre en 15 minutos sigue una distribución de Poisson de media la calculada en el apartado anterior, ¿cuál es la probabilidad de que llegue alguna en 15 minutos? ¿Y de que llegue alguna en 5 minutos?
Teniendo en cuenta que nos dan la distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta \(X\) que expresa el número de pacientes que llegan en 15 minutos, nos están pidiendo \(P(X\geq 2)\) y \(P(X<8)\). Estas probabilidades son:
\[ \begin{aligned} P(X\geq 2) & =1-P(X<2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-0.2-0.3=0.7,\\ P(X<8)& =1-P(X\geq 8)=1. \end{aligned} \]
El número esperado es la media de la variable aleatoria:
\[ \mu =\sum xf(x)=0\cdot 0.1+1\cdot 0.2+2\cdot 0.25+3\cdot 0.15+4\cdot 0.15+5\cdot 0.1+6\cdot 0.05=2.55 \text{ personas}. \]
Suponiendo que \(X\) sigue una distribución de Poisson con \(\lambda =2.55\), \(X\sim P(2.55),\) la probabilidad de que llegue alguna persona en 15 minutos vendrá dada por:
\[ P(X\geq 1)=1-P(X=0)=1-e^{-2.55}\dfrac{2.55^{0}}{0!}=0.9219. \]
Para la segunda pregunta, teniendo en cuenta que el número medio de personas que llegan cada 15 minutos es \(2.55\), en 5 minutos llegarán en media \(2.55/3 = 0.85\) personas, y, por tanto, tenemos una nueva variable aleatoria \(Y\), que seguirá una distribución de Poisson con \(\lambda ^{\prime }=0.85.\)
\[ P(Y\geq 1)=1-P(Y=0)=1-e^{-0.85}\dfrac{0.85^{0}}{0!}=0.5726. \]
Ejercicio 4.35 \(\star\) En las siguientes tablas, indicar razonadamente, en los caso que sea posible, los valores de \(h\) que deben ponerse en cada tabla para que se tenga una distribución de probabilidad:
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| -2 | 0.3 |
| 5 | \(h\) |
| 8 | 0.1 |
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| 1 | -0.2 |
| 3 | 0.7 |
| 4 | \(h\) |
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| 2 | \(h\) |
| 3 | 0.5 |
| 4 | 0.6 |
En las tablas que constituyan una distribución de probabilidad:
- Representar gráficamente la función de distribución.
- Calcular media y desviación típica.
- Calcular la mediana.
- Si a los valores de \(x\) se multiplican por una constante \(k<0\), ¿cómo se ve afectada la media? ¿Y la desviación típica?
La segunda tabla no puede ser una distribución de probabilidad pues \(f(1)=-0.2\) y la función de probabilidad no puede tomar valores negativos. Por otro lado, la tercera tabla tampoco puede ser una distribución de probabilidad ya que la suma de todas las probabilidades debe ser 1, y para ello debería ser \(h=-0.1\), lo cual no es posible al no poder tomar valores negativos. Así pues la única tabla que puede ser una distribución de probabilidad es la primera, y como la suma de todas las probabilidades tiene que ser 1, \(0.3+h+0.1=1\), se deduce que \(h=0.6\). Trabajaremos pues, con la distribución
| \(x\) | \(f(x)\) |
|---|---|
| -2 | 0.3 |
| 5 | 0.6 |
| 8 | 0.1 |
La función de distribución se define como \(F(x_0)=P(X\leq x_0)\), y por tanto, mide probabilidades acumuladas. Acumulando las probabilidades de la tabla anterior tenemos
\(x\) \(f(x)\) \(F(x)\) -2 0.3 0.3 5 0.6 0.9 8 0.1 1 O lo que es lo mismo, expresado como una función a trozos
\[ F(x)= \left\{ \begin{array}{ll} 0, & \text{si $x<-2$;} \\ 0.3, & \text{si $-2\leq x<5$;} \\ 0.9, & \text{si $5\leq x<8$;} \\ 1, & \text{si $x\geq 8$.} \\ \end{array} \right. \]
La gráfica de esta función es la siguiente
Calculamos los estadísticos que nos piden
\[ \begin{aligned} \mu &= \sum x_if(x_i)=-2\cdot0.3+5\cdot 0.6+8\cdot 0.1=3.2,\\ \sigma^2 &= \sum x_i^2f(x_i)-\mu^2=(-2)^2\cdot 0.3+5^2\cdot 0.6+8^2\cdot 0.1-3.2^2=22.6-10.24=12.36,\\ \sigma &= \sqrt{12.36}=3.516. \end{aligned} \]
La mediana es el valor que deja acumulada una probabilidad \(0.5\), es decir, \(F(med)=0.5\), y mirando en la función de distribución, el valor donde se consigue acumular esta probabilidad es el 5.
Sea \(Y=kX\) donde \(k<0\). Por las propiedades de las transformaciones lineales de variables aleatorias, tenemos que \(\mu_y=k\mu_x\), y por tanto la media quedará también multiplicada por la constante \(k\). Para la desviación típica tenemos que \(\sigma_y=|k|\sigma_x\) y la desviación típica quedará multiplicada por el valor absoluto de \(k\).
Ejercicio 4.36 \(\star\) En una empresa el número de días al año que los empleados están de baja es, por término medio, 5. Suponiendo que un año tiene 240 días laborables y que cada mes tiene 20, se pide:
- Calcular el porcentaje de empleados que no faltarían más de 5 días al año.
- Calcular la probabilidad de que un empleado falte algún día en un mes.
- ¿Cual es la probabilidad de que en un año haya más de 2 meses en los que haya faltado alguna vez?
Sea \(X\) la variable que mide el número de días de baja al año de cada empleado. Entonces \(X\sim B(240\,,\,5/240)\), pero como \(n=240>30\) y \(p=5/240<0.1\), podemos aproximarla como una distribución Poisson \(P(5)\). La probabilidad de que un empleado no falte más de 5 días al año es
\[ \begin{aligned} P(X\leq 5)&= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)= \\ &= e^{-5}\frac{5^0}{0!}+ e^{-5}\frac{5^1}{1!}+e^{-5}\frac{5^2}{2!}+e^{-5}\frac{5^3}{3!} +e^{-5}\frac{5^4}{4!}+e^{-5}\frac{5^5}{5!}= \\ &= 0.0067+0.0337+0.0842+0.1404+0.1755+0.1755=0.616, \end{aligned} \]
es decir, un \(61.6\%\).
Sea \(Y\) la variable que mide el número de días de baja al mes de cada empleado. Entonces \(Y\sim B(20,\,5/240)\), y la probabilidad de que algún empleado falte algún día en un mes es
\[ \begin{aligned} P(Y\geq1)&=1-P(Y<1)=1-P(Y=0)= 1-\binom{20}{0}\left(\frac{5}{240}\right)^0\left(1-\frac{5}{240}\right)^{20}= \\ &=1-\left(\frac{235}{240}\right)^{20}=0.3437. \end{aligned} \]
Sea ahora \(Z\) la variable que mide el número de meses al año en que un empleado falta alguna vez. Entonces, como la probabilidad de que un empleado falte alguna vez en un mes, según el apartado anterior es \(0.3437\), tenemos que \(Z\sim B(12\,,\,0.3437)\). Así pues, la probabilidad que nos piden es
\[ \begin{aligned} P(Z>2)&=1-P(Z\leq 2)=1-P(Z=0)-P(Z=1)-P(Z=2)=\\ &= 1-\binom{12}{0}0.3437^0 0.6563^{12}-\binom{12}{1}0.3437^1 0.6563^{11}- \binom{12}{2}0.3437^2 0.6563^{10}=\\ &=1-0,0064-0,0401-0,1156=0.8379. \end{aligned} \]
Ejercicio 4.37 \(\star\) Sabiendo que la prevalencia de la isquemia cardíaca es del 1%, y que la aplicación de un test diagnóstico para detectar la isquemia cardíaca tiene una sensibilidad del 90%, y una especificidad del 95%. Calcular:
- Los valores predictivos, tanto el positivo como el negativo.
- La probabilidad de diagnóstico acertado.
- Si tenemos un grupo de 10 enfermos de isquemia cardíaca, ¿cuál es la probabilidad de que diagnostiquemos la enfermedad a menos de 8?
Ejercicio 4.38 \(\star\) Un test diagnóstico para una enfermedad devuelve un 1% de resultados positivos, y sus valores predictivos positivo y negativo valen, respectivamente, \(0.95\) y \(0.98\). Se pide:
- ¿Cuál es la prevalencia de la enfermedad?
- ¿Cuánto valen la sensibilidad y la especificidad del test?
- Si aplicamos el test a 12 individuos enfermos, ¿qué probabilidad hay de que se equivoque en alguno de ellos?
- Si aplicamos el test a 12 individuos, ¿que probabilidad hay de que acierte en todos?
- \(P(E)=0.0293\).
- Sensibilidad \(P(+|E)=0.3242\) y especificidad \(P(-|\bar E)=0.9995\).
- Llamando \(X\) al número de diagnósticos erróneos en 12 individuos enfermos, \(P(X\geq 1)=1\).
- Llamando \(Y\) al número de diagnósticos acertados en 12 individuos, \(P(X=12)=0.7818\).
Ejercicio 4.39 \(\star\) La probabilidad de que en un grupo de 5 individuos mayores de 70 años todos padezcan arterioesclerosis cerebral es de \(12.5\) por mil.
- ¿Cuál es la probabilidad de padecer la enfermedad entre los mayores de 70 años?
- En un grupo de 1000 personas, ¿cuál es la probabilidad de que padezcan la enfermedad más de 450?
Ejercicio 4.40 \(\star\) Si sabemos, por estudios previos, que las cepas que provocarán la gripe del siguiente otoño-invierno afectarán a un 20% de la población:
- ¿Cuál es la probabilidad de que en una población de 10000 habitantes queden infectados menos de 1900?
- Suponiendo que se vacunan los 10000 habitantes y sabiendo, por estudios previos, que la vacuna inmuniza al 98% de los vacunados, ¿Cuál es la probabilidad de que queden sin inmunizar menos de 180?
- De nuevo, suponiendo que se han vacunado los 10000 habitantes y teniendo en cuenta que, por estudios previos, la vacuna produce reacciones alérgicas en uno de cada 5000 casos, ¿cuál es la probabilidad de que se produzca alguna reacción alérgica en dicha población?