2  Regresión y correlación

Ejercicio 2.1 Dada la siguiente tabla de correlación:

\(X\setminus Y\) 1 2 3
\(\left[ -2,2\right)\) 3 6 1
\(\left[ 2,6\right)\) 4 7 3
\(\left[ 6,10\right)\) 5 3 0

Determinar:

  1. Las distribuciones marginales. Media, Moda y Mediana.
  2. Rectas de Regresión.
  3. Coeficiente de correlación lineal. Interpretar el resultado.

Ejercicio 2.2 Una compañía de asistencia sanitaria hace un estudio del número de veces que, durante el último trimestre, han acudido sus asegurados a consultas de especialistas, en función de su edad. En la siguiente tabla se reflejan los resultados obtenidos:

\(\text{Edad}\setminus \text{Cons.}\) 0 1 2 3 4
\(\left[ 30,40\right)\) 6 2 2 0 0
\(\left[ 40,50\right)\) 4 3 6 4 1
\(\left[ 50,60\right)\) 0 2 4 5 3
\(\left[ 60,70\right)\) 0 0 3 4 5
\(\left[ 70,80\right)\) 0 0 0 4 6

Se pide:

  1. Recta de regresión del número de consultas sobre la edad.
  2. Coeficiente de correlación e interpretarlo.
  3. ¿Cuántas consultas se espera que realice una persona de 52 años?¿Es fiable esta predicción?

Ejercicio 2.3 Se determina la pérdida de actividad que experimenta un medicamento desde el momento de su fabricación a lo largo del tiempo, obteniéndose el siguiente resultado:

Tiempo (en años) 1 2 3 4 5
Actividad restante (%) 96 84 70 58 52

Se pide:

  1. Calcular la recta de regresión de la actividad sobre el tiempo transcurrido.
  2. Según el modelo lineal, ¿cuánto tiempo debe pasar para que la actividad del fármaco sea del 80%? ¿Cuándo será nula la actividad?

Llamando \(T\) al tiempo y \(A\) a la actividad del fármaco:

  1. \(\bar t=3\) años, \(\bar a=72\%\), \(s_t^2=2\) años\(^2\), \(s_a^2=264\%^2\), \(s_{ta}=-22.8\) años\(\cdot\%\).
    Recta de regresión de actividad sobre tiempo: \(a=-11.4t+106.2\).
  2. Recta de regresión de tiempo sobre actividad: \(t=-0.086a+9.2182\).
    \(t(80)=2.3091\) años y \(t(0)=9.2182\) años.

Ejercicio 2.4 Las temperaturas medias mensuales (en \(^\circ\)C) y las precipitaciones totales mensuales (en mm) durante el año 2001 en Madrid fueron:

Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic
Temp. \(7.2\) \(8.4\) \(12.2\) \(13.7\) \(16.7\) \(23.3\) \(24.2\) \(25.5\) \(20.4\) \(16.2\) \(8.1\) \(4.2\)
Prec. \(73.6\) \(31.7\) \(72.1\) \(20.7\) \(37.1\) \(3.8\) \(3.3\) \(1.5\) \(23.1\) \(67.0\) \(12.4\) \(18.0\)

¿Existe relación lineal entre las precipitaciones y la temperatura? De acuerdo a esta relación, ¿qué cantidad de precipitaciones se espera que haya un mes con una temperatura media de 15\(^\circ\)C?¿Es fiable esta predicción?

Ejercicio 2.5 Se ha realizado un estudio comparativo de las puntuaciones obtenidas por los alumnos en un test de ingreso en la universidad (\(X\)), y el número de asignaturas aprobadas en el primer curso (\(Y\)). Los resultados obtenidos se expresan en la siguiente tabla:

\(X\setminus Y\) 0 1 2 3 4
\(\left[ 0,10\right)\) 2 2 1 0 0
\(\left[ 10,20\right)\) 1 1 2 2 0
\(\left[ 20,30\right)\) 0 1 3 4 1
\(\left[ 30,40\right)\) 0 0 2 2 6

Se desea calcular:

  1. Recta de regresión de \(X\) sobre \(Y.\)
  2. Coeficiente de correlación e interpretación del mismo.
  3. Si la universidad en cuestión sólo contara con alumnos que al menos logren aprobar dos asignaturas, ¿qué número de preguntas respondidas correctamente exigirá en el test?
  1. \(\bar x=23\) puntos, \(\bar y=2.4\) asignaturas, \(s_x^2=116\) puntos\(^2\), \(s_y^2=1.5733\) asignaturas\(^2\), \(s_x=10.7703\) puntos, \(s_y=1.2453\) asignaturas y \(s_{xy}=9.8\) puntos\(\cdot\)asignaturas.
    Recta de regresión de \(X\) sobre \(Y\): \(x=6.2288y+8.0508\).
  2. \(r=0.73\), lo que quiere decir que hay buena relación lineal entre las puntuaciones y las asignaturas aprobadas y además es creciente (a mayor puntuación en el test, más asignaturas aprobadas).

Ejercicio 2.6 \(\star\) La tabla siguiente representa la distribución bidimensional de frecuencias de una muestra de 80 personas en un estudio sobre la relación entre el nivel de colesterol en sangre (\(X\)) en mg/dl y la tensión arterial máxima (\(Y\)) en mmHg.

\(X\setminus Y\) [110,130) [130,150) [150,170) \(n_x\)
[170,190) 4 12
[190,210) 10 12 4
[210,230) 7 8
[230,250) 1 18
\(n_y\) 30 24

Se pide:

  1. Completar la tabla.
  2. Calcular la recta de regresión del nivel de colesterol sobre la tensión.
  3. Usar el modelo lineal para predecir el colesterol esperado para una persona con una tensión arterial de 160 mmHg.
  4. Según el modelo lineal, ¿cuál es la tensión arterial máxima esperada para una persona cuyo nivel de colesterol es 270 mg/dl.

Usar las siguientes sumas: \(\sum x_in_i=16960\) mg/dl, \(\sum y_jn_j=11160\) mmHg, \(\sum x_i^2n_i=3627200\) (mg/dl)\(^2\), \(\sum y_j^2n_j=1576800\) mmHg\(^2\) y \(\sum x_iy_jn_{ij}=2378800\) mg/dl\(\cdot\)mmHg.

  1. Tabla de frecuencias

    \(X\setminus Y\) [110,130) [130,150) [150,170) \(n_x\)
    [170,190) 8 4 0 12
    [190,210) 10 12 4 26
    [210,230) 7 9 8 24
    [230,250) 1 5 12 18
    \(n_y\) 26 30 24 80

  2. \(\bar x=212\) mg/dl, \(\bar y=139.5\) mmHg, \(s_x^2=396\) (mg/dl)\(^2\), \(s_y^2=249.75\) mmHg\(^2\) y \(s_{xy}=161\) mg/dl\(\cdot\)mmHg. Recta de regresión del nivel de colesterol sobre la tensión arterial: \(x=122.0721+0.6446y\).

  3. \(x(160)=225.2152\) mg/dl.

  4. Recta de regresión de la tensión arterial sobre el colesterol: \(y=0.4066x+53.3081\).
    \(y(270)=163.0808\) mmHg.

Ejercicio 2.7 \(\star\) En un centro dietético se está probando una nueva dieta de adelgazamiento en una muestra de 12 individuos. Para cada uno de ellos se ha medido el número de días que lleva con la dieta y el número de kilos perdidos desde entonces, obteniéndose los siguientes resultados:

\[ \begin{array}{c} (33 , 3.9), (51 , 5.9), (30 , 3.2), (55 , 6.0), (38 , 4.9), (62 , 6.2), \\ (35 , 4.5), (60 , 6.1), (44 , 5.6), (69 , 6.2), (47 , 5.8), (40 , 5.3) \end{array} \]

Se pide:

  1. Dibujar el diagrama de dispersión. Según la nube de puntos, ¿qué tipo de modelo explicaría mejor la relación entre los días de dieta y los kilos perdidos?
  2. Calcular el modelo lineal y el logarítmico de los kilos perdidos con respecto a los días de dieta.
  3. Utilizar el mejor de los modelos anteriores para predecir en número de kilos perdidos tras 40 días de dieta y tras 100 días. ¿Son fiables estas predicciones?

Usar las siguientes sumas (\(X\)=Días de dieta e \(Y\)=Peso perdido): \(\sum x_i=564\) días, \(\sum \log(x_i)=45.8086\) \(\log(\text{días})\), \(\sum y_j=63.6\) kg, \(\sum x_i^2=28234\) días\(^2\), \(\sum \log(x_i)^2=175.6603\) \(\log(\text{días})^2\), \(\sum y_j^2=347.7\) kg\(^2\), \(\sum x_iy_j=3108.5\) días\(\cdot\)kg, \(\sum \log(x_i)y_j=245.4738\) \(\log(\text{días})\cdot\)kg.

Llamando \(X\) a los días de dieta, \(Y\) a los kg perdidos y \(Z=\log X\).

  1. \(\bar x=47\) días, \(\bar y=5.3\) kg, \(s_x^2=143.833\) días\(^2\), \(s_y^2=0.885\) kg\(^2\), \(s_{xy}=9.942\) días\(\cdot\)kg. Modelo lineal: \(y=0.069x+2.051\).
    \(\bar z=3.82\) \(\log(\text{días})\), \(s_z^2=0.07\) \(\log^2(\text{días})\), \(s_{yz}=0.22\) \(\log(\text{días})\cdot\text{kg}\).
    Modelo logarítmico: \(y=3.4\log y-7.67\).
  2. Modelo lineal: \(r^2=0.78\), modelo logarítmico: \(r^2=0.86\).
    Predicciones con el modelo logarítmico: \(y(40)=4.86\) kg y \(y(100)=7.98\) kg. Las predicciones son fiables ya que el coeficiente de determinación es alto, aunque la de 100 días no lo es tanto por estar fuera del rango de valores observados en la muestra.

Ejercicio 2.8 \(\star\) Al realizar un estudio sobre la dosificación de un cierto medicamento, se trataron 6 pacientes con dosis diarias de 2 mg, 7 pacientes con 3 mg y otros 7 pacientes con 4 mg. De los pacientes tratados con 2 mg, 2 curaron al cabo de 5 días, y 4 al cabo de 6 días. De los pacientes tratados con 3 mg diarios, 2 curaron al cabo de 3 días, 4 al cabo de 5 días y 1 al cabo de 6 días. Y de los pacientes tratados con 4 mg diarios, 5 curaron al cabo de 3 días y 2 al cabo de 5 días.

Se pide:

  1. Construir la tabla de la distribución conjunta de frecuencias.
  2. Obtener las distribuciones de frecuencias marginales y calcular los principales estadísticos para cada variable.
  3. Calcular la covarianza e interpretarla.

Llamando \(X\) a la dosis e \(Y\) al tiempo de curación:

  1. \(\bar x=3.05\) mg, \(\bar y=4.55\) días, \(s_x^2=0.648\) mg\(^2\), \(s_y^2=1.448\) días\(^2\), \(s_x=0.805\) mg, \(s_y=1.203\) días y \(s_{xy}=-0.678\) mg\(\cdot\)días, lo que indica que hay una relación lineal decreciente.

Ejercicio 2.9 \(\star\) Al realizar un estudio sobre la dosificación de un cierto medicamento, se trataron 6 pacientes con dosis diarias de 2 mg, 7 pacientes con 3 mg y otros 7 pacientes con 4 mg. De los pacientes tratados con 2 mg, 2 curaron al cabo de 5 días, y 4 al cabo de 6 días. De los pacientes tratados con 3 mg diarios, 2 curaron al cabo de 3 días, 4 al cabo de 5 días y 1 al cabo de 6 días. Y de los pacientes tratados con 4 mg diarios, 5 curaron al cabo de 3 días y 2 al cabo de 5 días.

Se pide:

  1. Dar el coeficiente de correlación e interpretación.
  2. Determinar el tiempo esperado de curación para una dosis de 5 mg diarios.

Llamando \(X\) a la dosis e \(Y\) al tiempo de curación:

  1. \(\bar x=3.05\) mg, \(\bar y=4.55\) días, \(s_x^2=0.648\) mg\(^2\), \(s_y^2=1.448\) días\(^2\), \(s_x=0.805\) mg, \(s_y=1.203\) días y \(s_{xy}=-0.678\) mg\(\cdot\)días.
    \(r=-0.7\), que quiere decir que hay buena relación lineal entre la dosis y el tiempo de curación, y además es decreciente (a mayor dosis, menor tiempo de curación).
  2. Recta de regresión del tiempo de curación sobre la dosis: \(y=-1.046x+7.741\).
    \(y(5)=2.511\) días.

Ejercicio 2.10 \(\star\) Después de tomar un litro de vino se ha medido la concentración de alcohol en la sangre en distintos instantes, obteniendo:

Tiempo después (minutos) 30 60 90 120 150 180
Concentración (gramos/litro) 1.6 1.7 1.5 1.1 0.7 0.2

Se pide:

  1. Calcular la recta de regresión de la concentración en función del tiempo.
  2. ¿Qué concentración de alcohol habrá a los 100 minutos?
  3. Si la concentración máxima de alcohol en la sangre que permite la ley para poder conducir es 0.8 g/l, ¿cuánto tiempo habrá que esperar después de tomarse un litro de vino para poder conducir sin infringir la ley?

Ejercicio 2.11 Se consideran dos variables aleatorias \(X\) e \(Y\) tales que:

  • La recta de regresión de \(Y\) sobre \(X\) viene dada por la ecuación: \(y-x-2=0\).
  • La recta de regresión de \(X\) sobre \(Y\) viene dada por la ecuación: \(y-4x+22=0\).

Calcular:

  1. Valores de \(\bar x\) e \(\bar y\).
  2. Coeficiente de correlación lineal.
  1. \(\bar x=8\) y \(\bar y=10\).
  2. \(r=0.5\).

Ejercicio 2.12 En el ajuste rectilíneo a una distribución bidimensional se sabe que \(\bar x=2\), \(\bar y=1\), y el coeficiente de correlación lineal es 0 (\(r=0\)).

  1. Si \(x=10\), ¿cuál será el valor interpolado para \(y\)?.
  2. Si \(y=5\), ¿cuál será el valor interpolado para \(x\)?.
  3. Dibuja las rectas de regresión de \(Y\) sobre\(X\), y la de \(X\) sobre \(Y\).
  1. \(y(10)=1\).
  2. \(x(5)=2\).

Ejercicio 2.13 \(\star\) En un estudio para relacionar la longitud de la línea de la vida de la mano izquierda y la duración de la vida de una persona se han obtenido datos de 50 personas con los siguientes resultados (\(X\)=longitud de la línea en cm, \(Y\)=edad al morir en años):

\[ \sum y=3333 \quad \sum y^2=231933 \quad \sum x=459.9 \quad \sum x^2=4308.57 \quad \sum xy=30949. \]

A la vista de estos resultados, ¿cuanto vivirá, por termino medio, una persona con una línea de longitud 7.5 cm? ¿Es fiable esta estimación?

\(\bar x=9.198\) cm, \(\bar y=66.66\) años, \(s_x^2=1.568\) cm\(^2\), \(s_y^2=195.104\) años\(^2\) y \(s_{xy}=6.393\) cm\(\cdot\)años.
Recta de regresión de la edad al morir sobre la longitud de la línea de la vida: \(y=4.077x+29.158\).
\(y(7.5)=59.736\) años.
\(r^2=0.13\), lo que quiere decir que casi no hay relación lineal entre las variables y la predicción anterior no es fiable.

Ejercicio 2.14 \(\star\) En el estudio de regresión lineal con dos variables \(X\) e \(Y\) se sabe que \(\overline{x}=30\), \(\overline{y}=70\) y el coeficiente de correlación lineal es \(0.8\). También se sabe que para \(x=42\) el valor que predice la recta de regresión para \(y\) es 78.

Se pide:

  1. Calcular el valor de \(x\) que se predice cuando \(y=74\).
  2. Explicar razonadamente en cuál de las dos variables es más representativa la media.
  1. Recta de regresión de \(X\) sobre \(Y\): \(x=0.96x-37.2\).
    \(x(74)=33.84\).
  2. \(cv_x=0.0408\sqrt{s_{xy}}>cv_y=0.0146\sqrt{s_{xy}}\) y por tanto es más representativa la media de \(Y\) pues tiene menor dispersión relativa.

Ejercicio 2.15 \(\star\) Se han medido dos variables \(S\) y \(T\) en 10 individuos, obteniéndose los siguientes resultados:

\[ \begin{array}{c} (-1.5 , 2.25), (0.8 , 0.64), (-0.2 , 0.04), (-0.8 , 0.64), (0.4 , 0.16), \\ (0.2 , 0.04), (-2.1 , 4.41), (-0.4 , 0.16), (1.5 , 2.25), (2.1 , 4.41). \end{array} \]

Se pide:

  1. Calcular la covarianza de \(S\) y \(T\).
  2. ¿Se puede afirmar que \(S\) y \(T\) son independientes? Justificar la respuesta.
  3. ¿Qué valor predice la correspondiente recta de regresión para \(t=2\)?
  1. \(\bar s=0\), \(\bar t=1.5\) y \(s_{st}=0\).
  2. No podemos afirmar que \(S\) y \(T\) son independientes, sólo se puede afirmar que no hay relación lineal.
  3. \(s(2)=0\).

Ejercicio 2.16 En un experimento se ha medido el número de bacterias por unidad de volumen en un cultivo, cada hora transcurrida, obteniendo los siguientes resultados:

Horas 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Nº Bacterias 25 28 47 65 86 121 190 290 362

Se pide:

  1. Dibujar el diagrama de dispersión. Según este diagrama, ¿qué tipo de modelo explicaría mejor la relación entre le número de bacterias y las horas transcurridas?
  2. Dibujar el diagrama de dispersión tomando una escala logarítmica para el número de bacterias.
  3. Según el modelo anterior, ¿Cuántas bacterias tendríamos al cabo de 3 horas y media? ¿Y al cabo de 10 horas? ¿Son fiables estas predicciones?
  4. ¿Cuánto tiempo tendría que transcurrir para que en el cultivo hubiese 100 bacterias?

Llamando \(X\) a las horas, \(Y\) a las bacterias y \(Z\) al logaritmo neperiano de las bacterias:

  1. \(\bar x=4\) horas, \(\bar z=4.5149\) log(bacterias), \(s_x^2=6.6667\) horas\(^2\), \(s_z^2=0.8361\) log\(^2\)(bacterias) y \(s_{xz}=2.3466\) horas\(\cdot\)log(bacterias).
    Modelo lineal del logaritmo de las bacterias sobre las horas: \(z=0.3520x+3.1070\).
    Modelo exponencial de las bacterias sobre las horas: \(y=e^{0.3520x+3.1070}\).
    \(y(3.5)=76.6254\) bacterias y \(y(10)=755.0986\) bacterias.
  2. Modelo lineal de las horas sobre el logaritmo de las bacterias: \(x=2.8218z-8.7403\).
    Modelo logarítmico de las horas sobre las bacterias: \(x=2.8218\log y-8.7403\).
    \(x(100)=4.25\) horas.

Ejercicio 2.17 Para evaluar la percepción de los ciudadanos sobre la contaminación atmosférica, se ha realizado un estudio en el que se ha medido en 12 ciudades la concentración media de CO (en mg/m\(^3\) diarios), y la percepción mediana en la calidad el aire (en una muestra de individuos de tamaño fijo), medida en la escala MM=Muy Mala, M=Mala, A=Aceptable, B=Buena y MB=Muy Buena. Los resultados obtenidos fueron:

\[ \begin{array}{c} (12.8 , A), (11.6 , A), (9.8 , B), (10.3 , MB), (15.7 , MM), (18.2 , M), \\ (11.8 , B), (16.7 , M), (14.5 , M), (12.1 , A), (19.4 , MM), (7.9 , MB) \end{array} \]

¿Existe relación entre la percepción de los habitantes de estas ciudades y la concentración de monóxido de carbono en la atmósfera de las mismas?

Ejercicio 2.18 En un estudio sobre la influencia del tabaco en los embarazos se ha medido en una muestra de 20 madres el número medio de cigarrillos diarios que fumaban las madres y el peso del recién nacido, obteniendo los siguientes resultados

Cigarrillos 2 3 10 8 12 6 6 5 4 9 14 3 7 8 2
Peso (kg) 3.1 3.3 2.5 3.3 2.6 3.1 3.0 3.4 3.4 2.7 2.5 3.7 3.1 3 3.6

Se pide:

  1. Construir el modelo de regresión logarítmico del peso sobre el número de cigarrillos.
  2. Según este modelo, ¿cuanto pesará el recién nacido si la madre fumaba 15 cigarrillos diários? Es fiable esta predicción.
  3. ¿Es mejor el modelo lineal a la hora de hacer predicciones?

Ejercicio 2.19 \(\star\) La tabla siguiente contiene los datos de las presiones sistólicas de 15 individuos en función de la edad de estos.

\(\text{Edad} (x)\) 20 30 40 50 60
121 131 132 136 134
\(\text{Sistólica} (y)\) 130 125 129 128 142
125 128 131 134 137
  1. ¿Qué porcentaje de la varianza de la presión sistólica se explica, mediante un modelo de regresión lineal, por la varianza de la edad?
  2. ¿Qué edad le correspondería a un individuo que presenta una presión sistólica de 133? ¿Es fiable esta predicción? Razona la respuesta.
  1. \(\bar x=40\) años, \(\bar y=130.867\) mmHg, \(s_x^2=200\) años\(^2\), \(s_y^2=26.295\) mmHg\(^2\) y \(s_{xy}=58.667\) años\(\cdot\)mmHg.
    \(r^2=0.654\), luego el modelo lineal explica el \(65.4\%\) de la varianza de la presión sistólica.
  2. Recta de regresión de la edad sobre la presión sistólica: \(x=2.231y-251.978\).
    \(x(133)=44.745\) años. La predicción es bastante fiable pues el coeficiente de determinación es alto.

Ejercicio 2.20 \(\star\) Se ha realizado un estudio de regresión para ver la relación que existe entre la velocidad de transformación de una determinada sustancia química en una reacción y la temperatura a la que se realiza dicha reacción (manteniendo las cantidades de reactivos constantes). Según una recta de regresión, a 10 ºC le correspondería una velocidad de 5 gr/min, y a 30 ºC le correspondería una velocidad de 15 gr/min. Y según la otra recta, a una velocidad de 8 gr/min le correspondería una temperatura de 17 ºC, y a una velocidad de 16 gr/min le correspondería una temperatura de 31 ºC. Se pide:

  1. Calcular las ecuaciones de las rectas de regresión.
  2. Calcular las medias de ambas variables.
  3. Calcular el coeficiente de determinación. ¿Podemos decir que las predicciones del enunciado son fiables? Justificar la respuesta.

Ejercicio 2.21 \(\star\) En un estudio ambiental de una comunidad autónoma se afirma que el número de hectáreas quemadas en los últimos 6 años está relacionado con la cantidad de precipitación media caída en la comunidad, en litros por metro cuadrado. Los datos que han manejado son:

Año Hectáreas quemadas Precipitación (l/m\(^2\))
2000 1250 420
2001 1400 380
2002 850 460
2003 1650 370
2004 900 410
2005 1700 310
  1. Calcular la recta de regresión del número de hectáreas quemadas en función de la precipitación media anual.
  2. ¿Es el modelo lineal un buen modelo de ajuste para la nube de puntos? Justificar la respuesta.

Ejercicio 2.22 Se desea comprobar si el número de ventas de un fármaco depende del descuento que se aplique sobre él. Para ello se ha medido el número de ventas en farmacias que aplican distintos descuentos obteniendo la siguiente muestra:

Descuento (%) 20 16 15 10 12 11 16 8 18 12 12 10 15 14
Ventas 98 46 40 15 21 19 50 8 71 24 21 16 39 32

Se pide:

  1. Construir los modelos exponencial y logarítmico.
  2. ¿Cuál de ellos expresa mejor la relación entre el descuento y las ventas?
  3. ¿Qué descuento tendremos que aplicar si queremos vender al menos 50 fármacos?

Ejercicio 2.23 \(\star\) Para ver si un aditivo para la gasolina mejora la combustión aumentando la emisión de dióxido de carbono, se ha hecho un estudio en el que se ha medido la cantidad de aditivo añadida a cada litro de gasolina y el porcentaje de CO\(_2\) emitido por un mismo motor, obteniendo la siguiente muestra:

Aditivo (cl/l) 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6
CO\(_2\) (%) 11.2 12.0 12.7 13.3 13.5 13.7 13.8 13.9

Se pide:

  1. Calcular el modelo de regresión lineal y logarítmico del CO\(_2\) sobre el aditivo. ¿Cuál de los dos modelos es mejor?
  2. Según el mejor de los modelos anteriores, ¿cuánto CO\(_2\) se producirá para \(0.5\) cl de aditivo? ¿y para 2 cl? ¿Son fiables estas predicciones?
  3. La normativa sobre emisión de gases exige que el porcentaje mínimo de CO\(_2\) en la combustión debe superar al menos el \(12.5\%\). ¿Cuánto aditivo es necesario para garantizar esto?

Ejercicio 2.24 \(\star\) La siguiente tabla muestra los datos de emisiones de CO\(_2\) y CH\(_4\) (en kg/hab) y el producto interior bruto per cápita (en miles US$) de varios países en el último año:

País \(\text{CO}_2\) \(\text{CH}_4\) PIB
Austria 7.60 0.97 38.40
España 6.73 0.81 30.12
Francia 5.71 0.94 33.19
EEUU 19.40 1.72 45.84
Alemania 9.80 0.83 34.18
Canadá 15.60 3.08 38.43
Italia 7.29 0.58 30.44
Japón 9.44 0.16 33.58
Australia 17.48 6.36 36.26
Reino Unido 8.99 0.76 35.13
País \(\text{CO}_2\) \(\text{CH}_4\) PIB
Bolivia 1.05 3.44 40.13
Niger 0.1 0.12 0.67
Senegal 0.35 0.76 1.69
Pakistán 0.65 0.59 2.59
Filipinas 0.83 0.46 3.38
Perú 0.94 0.75 7.80
Túnez 2.17 0.48 7.47
Nepal 0.13 0.90 1.21
Nicaragua 0.7 0.32 2.62
Mauritania 0.97 0.85 2.01

Utilizando los datos sin agrupar, calcular el modelo de regresión logarítmico que explique las emisiones de CO\(_2\) en función del PIB y utilizarlo para predecir las emisiones de un país con 10 mil US$ de PIB. ¿Es fiable la predicción?

Ejercicio 2.25 \(\star\) En un banco de sangre se mantiene el plasma a 0ºF. Cuando se necesita para una transfusión se calienta en un horno a una temperatura constante de 120ºF. En un experimento se ha medido la temperatura del plasma a distintos instantes desde el comienzo del calentamiento. Los resultados son:

Tiempo (min) 5 8 15 25 30 37 45 60
Temperatura (ºF) 25 50 86 102 110 114 118 120

Se pide:

  1. Dibujar el diagrama de dispersión. ¿Qué modelo expliaría la relación entre la temperatura y el tiempo?
  2. ¿Qué transformación de escala tendríamos que realizar en las variables para tener una nube de puntos con una tendencia lineal? Hacer la representación gráfica.
  3. Construir el modelo de regresión logarítmico de la temperatura sobre el tiempo.
  4. Según el modelo, ¿qué temperatura habrá a los 15 minutos? ¿Es fiable la predicción? Justificar la respuesta.

Usar las siguientes sumas (X=Tiempo e Y=Temperatura): \(\sum x_i=225\) min, \(\sum \log(x_i)=24.5289\) \(\log(\text{min})\), \(\sum y_j=725\) ºF, \(\sum \log(y_j)=35.2051\) \(\log(\text{ºF})\), \(\sum x_i^2=8833\) min\(^2\), \(\sum \log(x_i)^2=80.4703\) \(\log(\text{min})^2\), \(\sum y_j^2=74345\) ºF\(^2\), \(\sum \log(y_j)^2=157.1023\) \(\log(\text{ºF})^2\), \(\sum x_iy_j=24393\) min\(\cdot\)ºF, \(\sum x_i\log(y_j)=1048.0142\) min\(\cdot \log(\text{ºF})\), \(\sum \log(x_i)y_j=2431.7096\) \(\log(\text{min})\)ºF, \(\sum \log(x_i)\log(y_j)=111.1165\) \(\log(\text{min})\log(\text{ºF})\).

  1. Un modelo logarítmico.
  2. Aplicar una transformación logarítmica al tiempo, \(z=\log(x)\).
  3. \(\bar z=28.125\) \(\log(\text{min})\), \(s_z^2=0.6577\) \(\log^2(\text{min})\), \(\bar y=90.625\) ºF, \(s_y^2=1080.2344\) ºF\(^2\) y \(s_{zy}=26.0969\) \(\log(\text{min})\)ºF.
    Modelo logarítmico de la temperatura sobre el tiempo: \(y=-31.0325+39.6781\log(x)\).
  4. \(y(15)=76.4176\) ºF. \(r^2=0.9586\), que está muy cerca de 1, por lo que la predicción es fiable.

Ejercicio 2.26 \(\star\) La concentración de un fármaco en sangre, \(C\) en mg/dl, es función del tiempo, \(t\) en horas, y viene dada por la siguiente tabla:

Tiempo (horas) 2 3 4 5 6 7 8
Concentración de fármaco en sangre 25 36 48 64 86 114 168

Se pide:

  1. Construir el modelo de regresión lineal de la concentración del fármaco sobre el tiempo.
  2. Construir el modelo de regresión exponencial de la concentración del fármaco sobre el tiempo.
  3. Usar el mejor de los dos modelos anteriores para predecir la concentración de fármaco en sangre que habrá a las \(4.8\) horas. ¿Es fiable la predicción?

Usar las siguientes sumas (\(C\)=Concentración del fármaco y \(T\)=tiempo): \(\sum t_i=35\) h, \(\sum \log(t_i)=10.6046\) \(\log(\text{h})\), \(\sum c_j=541\) mg/dl, \(\sum \log(c_j)= 29.147\) \(\log(\text{mg/dl})\), \(\sum t_i^2=203\) h\(^2\), \(\sum \log(t_i)^2=17.5206\) \(\log(\text{h})^2\), \(\sum c_j^2=56937\) (mg/dl)\(^2\), \(\sum \log(c_j)^2=124.0131\) \(\log(\text{mg/dl})^2\), \(\sum t_ic_j=3328\) h\(\cdot\)mg/dl, \(\sum t_i\log(c_j)=154.3387\) h\(\cdot\log(\text{mg/dl})\), \(\sum \log(t_i)c_j=951.6961\) \(\log(\text{h})\cdot\)mg/dl, \(\sum \log(t_i)\log(c_j)=46.08046\) \(\log(\text{h})\cdot\log(\text{mg/dl})\).

En el primer apartado de este problema debemos trabajar con el modelo exponencial de la concentración en función del tiempo, por lo que vamos a tener que calcular la recta de regresión de \(z=\ln C\) en función de \(t\). Además, en el segundo apartado debemos trabajar con el modelo lineal de \(t\) en función de \(C\). Por lo tanto, la tabla con los sumatorios precisos es:

\(t_i\) \(c_i\) \(t_i^2\) \(c_i^2\) \(t_i \cdot c_i\) \(z_i=\ln_i\) \(z_i^2\) \(t_i \cdot z_i\)
2 25 4 625 50 3.219 10.362 6.438
3 36 9 1296 108 3.584 12.845 10.752
4 48 16 2304 192 3.871 14.985 15.484
5 64 25 4096 320 4.159 17.297 20.795
6 86 36 7396 516 4.454 19.838 26.724
7 114 49 12996 798 4.736 22.430 33.152
8 168 64 28224 1344 5.124 26.255 40.992
\(\sum= 35\) 541 203 56937 3328 29.147 124.012 154.337

  1. Para el modelo exponencial de la concentración en función del tiempo tenemos en cuenta que:

    \[ C = a \cdot e^{bt} \Leftrightarrow \ln C = \ln \left( {a \cdot e^{bt} } \right) = \ln a + bt \]

    Por lo tanto, si \(z=\ln C\), entonces:

    \[ z=\ln a +bt \]

    Y el modelo exponencial se transforma en un modelo lineal de \(z\) en función de \(t\).

    Por otra parte, sabemos que la recta de regresión de \(z\) en función de \(t\) viene dada por:

    \[ z-\bar z = \frac{s_{tz}}{s_t^2}(t-\bar t) \]

    Y teniendo en cuenta los sumatorios obtenidos:

    \[ \begin{aligned} \bar t &= \frac{\sum t_i}{n} = \frac{35}{7} = 5,\\ \bar z &= \frac{\sum z_i}{n} = \frac{29.147}{7} = 4.164,\\ s_t ^2 &= \frac{\sum t_i^2}{n}-\bar t^2 = \frac{203}{7}-5^2 = 4,\\ s_z ^2 &= \frac{\sum z_i^2}{n}-\bar z^2 = \frac{124.012}{7}-4.164^2 = 0.38,\\ s_{tz} &= \frac{\sum t_i z_i}{n}-\bar t \cdot \bar z = \frac{154.337}{7}-5 \cdot 4.164 = 1.228. \end{aligned} \]

    Donde la media de \(t\) viene dada en horas, su varianza en horas al cuadrado, la media de \(z\) no tiene unidades (\(z\) es un logaritmo neperiano), tampoco las tiene su varianza, y la covarianza tiene las unidades de \(t\), es decir horas.

    Con todo ello, la ecuación de la recta de regresión de \(z\) en función \(t\) vale:

    \[ z-4.164 = \frac{1.228}{4}(t-5)\Leftrightarrow z=2.629+0.307\cdot t \]

    Por lo tanto, teniendo en cuenta que:

    \[ z=\ln a +b \cdot t=2.629+0.307 \cdot t \]

    obtenemos fácilmente que \(b= 0.307\), y para \(a\) despejamos tomando exponenciales:

    \[ \ln a= 2.629\Leftrightarrow a=e^{2.629} =13.860. \]

    Con todo ello, cuando \(t_0=4.8\) horas, el valor obtenido para \(C_0\) (en mg/dl) vale:

    \[ C(4.8)=13.860 e^{0.307 \cdot 4.8}=60.498 \text{ mg/dl}. \]

    Para ver si es fiable o no la predicción, calculamos el coeficiente de determinación (o el coeficiente de correlación):

    \[ r^2 = \frac{{s_{tz} ^2 }}{{s_t ^2 s_z ^2 }} = \frac{{1.228^2 }}{{4 \cdot 0.377}} = 0.999, \]

    luego, mediante el modelo exponencial estamos explicando un \(99.9\%\) de la variabilidad de la nube de puntos, y el modelo exponencial es muy bueno. Por lo tanto, si el modelo es muy bueno y además la predicción la realizamos en \(t_0=4.8\), que está dentro del rango en el que hemos calculado el modelo, sin duda la predicción también será muy fiable.

  2. Para este nuevo apartado debemos predecir el tiempo que debe transcurrir para que la concentración sea de 100 mg/dl mediante un modelo lineal. Por lo tanto necesitamos la recta de regresión del tiempo en función de la concentración:

    \[ t-\bar t = \frac{s_{tC}}{s_C^2}(C-\bar C) \]

    Mediante los sumatorios obtenidos en la tabla del comienzo, calculamos:

    \[ \begin{aligned} \bar C &= \frac{\sum C_i}{n} = \frac{541}{7} = 77.286,\\ s_C ^2 &= \frac{\sum z_i ^2}{n}-\bar z^2 = \frac{56937}{7}-77.286^2 = 2160.731,\\ s_{tC} &= \frac{\sum t_i C_i}{n}-\bar t \cdot \bar C = \frac{3328}{7}-5 \cdot 77.286 = 90.000. \end{aligned} \]

    Donde la media de \(C\) viene dada en mg/dl, su varianza en (mg/dl)\(^2\), y la covarianza en horas\(\cdot\)(mg/dl).

    Sustituyendo todo en la ecuación de la recta obtenemos:

    \[ t-5 = \frac{90.000}{2160.731}(C-77.286)\Leftrightarrow t=0.0417 \cdot C+ 1.781 \]

    Por lo tanto, si \(C_0= 100\) entonces \(t_0=5.951\) horas. Para ver si la predicción es adecuada, de nuevo calculamos el coeficiente de determinación:

    \[ r^2 = \frac{s_{tC}^2}{s_t^2 s_C^2} = \frac{90.000^2}{4 \cdot 2160.731} = 0.937. \]

    Lo cual nos confirma que el modelo lineal, aunque peor que el exponencial, sigue siendo un muy buen modelo. Si a eso unimos que estamos realizando la predicción dentro del rango de concentraciones en las que lo hemos calculado, concluimos que sí que será fiable.

Ejercicio 2.27 La actividad de una sustancia radiactiva en función del tiempo (en número de desintegraciones por segundo) viene dada por la siguiente tabla:

\(t\text{ (horas)}\) 0 10 20 30 40 50 60 70
\(A\text{ ($10^7$ desintegraciones/s)}\) 25.9 8.16 2.57 0.81 0.25 0.08 0.03 0.01

  1. Representar los datos de la actividad en función del tiempo. A la vista de la representación, ¿qué modelo de regresión explicaría mejor la relación entre la actividad y el tiempo transcurrido?

  2. Representar los datos de la actividad en función del tiempo en papel semilogarítmico (con escala logarítmica en el eje de ordenadas).

  3. Calcular la ecuación de la recta de regresión del logarítmo neperiaro de la actividad en función del tiempo.

  4. Teniendo en cuenta que, en teoría, la actividad de una sustancia radiactiva en función del tiempo viene dada por la ecuación:

    \[ A(t) = A_0 e^{ - \lambda t} \]

    donde \(A_0\) es la actividad inicial y \(\lambda\) es la llamada constante de desintegración, propia de cada sustancia radiactiva, utilizar la pendiente de la ecuación de la recta obtenida en el apartado anterior para calcular la constante de desintegración radiactiva de la sustancia con la que se han generado los datos.

Llamando \(X\) al tiempo e \(Y\) al logaritmo de la actividad

  1. \(\bar x=35\), \(\bar y=-0.7421\), \(s_x^2=525\), \(s_y^2=6.6664\) y \(s_{xy}=-59.1434\).
    Recta de regresión de \(Y\) sobre \(X\): \(y=-0.1127x+3.2008\).
  2. \(\lambda=0.1127\).

Ejercicio 2.28 Para oscilaciones de pequeña amplitud, el periodo \(T\) de oscilación de un péndulo simple viene dado por:

\[ T = 2\pi \sqrt {\frac{L}{g}} \]

donde \(L\) es la longitud del péndulo y \(g\) la aceleración de la gravedad. Para comprobar que dicha ley es cierta, se mide \(T\) para varias longitudes del péndulo, obteniéndose la siguiente tabla:

\(L\text{ (cm)}\) 52.5 68.0 99.0 116.0 146.0
\(T\text{ (seg)}\) 1.449 1.639 1.999 2.153 2.408

Se pide:

  1. Representar los datos del periodo de oscilación frente a la longitud del péndulo. ¿Sería adecuado un modelo lineal para ajustar la nube de puntos?
  2. Representar los datos del periodo de oscilación frente a la longitud en papel logarítmico (con escala logarítmica tanto en el eje de abcisas como en el de ordenadas). ¿Qué modelo de regresión sería adecuado para ajustar la nube de puntos obtenida?
  3. Tomar logaritmos neperianos tanto del periodo de oscilación como de la longitud y representar en una gráfica los logaritmos obtenidos. ¿Qué modelo de regresión sería adecuado para ajustar la nube de puntos obtenida?
  4. Calcular la ecuación de la recta de regresión que mejor ajusta la nube de puntos del apartado anterior.
  5. Teniendo en cuenta el valor del término independiente de la recta obtenida en el apartado anterior, calcular el valor de \(g\).

Llamando \(X\) al logaritmo del la longitud e \(Y\) al logaritmo del periodo:

  1. \(\bar x=4.5025\) \(\log\)cm, \(\bar y=0.6407\) \(\log\)s, \(s_x^2=0.1353\) \(\log^2\)cm, \(s_y^2=0.0339\) \(\log^2\)s, \(s_{xy}=0.0677\) \(\log\)cm\(\log\)s.
    Recta de regresión de \(Y\) sobre \(X\): \(y=0.5006x-1.6132\).
  2. \(g=994,4145\) cm/s\(^2\).

Ejercicio 2.29 En análisis colorimétrico, es frecuente utilizar la fracción de luz que absorbe una determinada sustancia disuelta como una medida de la concentración con la que dicha sustancia está presente en la disolución, siempre y cuando se utilice luz monocromática y la misma longitud recorrida por la luz en cada una de las mediciones. Si llamamos \(I_0\) a la intensidad de luz incidente, \(I\) a la intensidad de luz transmitida y \(C\) a la concentración de la sustancia analizada, en un experimento de análisis colorimétrico realizado con Mn y una longitud de onda de 525 nm, se han obtenido los siguientes datos, donde la concentración de Mn viene dada en mg por cada 100 ml de disolución:

\(C\) 1.00 2.00 3.00 4.00
\(I/I_0\) 0.418 0.149 0.058 0.026

Se pide:

  1. Representar los datos considerando \(I/I_0\) en función de función de \(C\). A la vista de la nube de puntos, ¿qué modelo de regresión sería el más adecuado para expresar la relación entre las variables?
  2. Representar los datos pero en papel semilogarítmico.
  3. Calcular la ecuación de la recta de regresión del logaritmo neperiano de \(I/I_0\) frente a \(C\).

Llamando \(C\) a la concentración e \(Z\) al logaritmo neperiano de \(I/I_0\).

  1. \(\bar c=2.5\) mg/100ml, \(\bar z=-2.3183\), \(s_c^2=1.25\) (mg/100ml)\(^2\), \(s_z^2=1.0788\) y \(s_{cz}=-1.1595\).
    Recta de regresión de \(Z\) sobre \(C\): \(z=-0.9276c+0.0007\).

Ejercicio 2.30 Se han recogido por medio de unos cuestionarios los niveles de estrés y energía de 14 mujeres durante un año. A partir de las respuestas del cuestionario se han asignado puntuaciones a cada una de ellas de manera que a mayor puntuación mayor grado de estrés y energía. Los datos recogidos son:

Edad 21 31 19 21 30 20 22 23 45 24 26 19 25 21
Estrés 25 19 20 19 24 6 29 25 49 0 10 25 13 23
Energía 25 20 45 60 50 50 10 60 40 60 50 60 85 50

Se pide:

  1. Dibujar un diagrama de dispersión que refleje la relación entre el estrés y la energía.
  2. ¿Existe relación lineal entre el estrés y la energía? ¿Y entre el estrés y la edad? Justificar la respuesta.
  3. ¿Qué efecto tendría sobre el coeficiente de correlación lineal de la edad y el estrés la eliminación del individuo de 45 años? Justificar la respuesta.
  4. Calcular el coeficiente de correlación de Spearman entre estrés y energía e interpretarlo. ¿Coinciden las conclusiones con las que se deducen del coeficiente de correlación lineal?

Llamando \(X\) a la edad, \(Y\) al estrés y \(Z\) a la energía:

  1. \(r^2_{yz}=0.14\), lo que indica que casi no hay relación entre el estrés y la energía y \(r^2_{xy}=0.31\) lo que indica que hay una ligera relación entre el estrés y la edad.
  2. El coeficiente de correlación lineal disminuye hasta valer casi 0, lo que indica que la relación lineal entre el estrés y la edad del apartado anterior se debe a este dato atípico, así que, realmente no hay relación entre estrés y edad.
  3. \(r_s=-0.41\) lo que indica que hay una ligera relación decreciente entre energía y estrés.

Ejercicio 2.31 Para comprobar el efecto de la herencia genética sobre la inteligencia se desarrolló un estudio en el que se midió el coeficiente intelectual de varias parejas de gemelos, obteniendo los siguientes resultados:

\[ (128, 132)\ (116, 112)\ (86, 98)\ (65, 81)\ (104,96)\ (111,111)\ (101, 105)\ (72,75) \]

Calcular el coeficiente de determinación lineal e interpretarlo. ¿Tiene sentido calcular el coeficiente de correlación?

Llamando \(X\) al coeficiente intelectual del primer hermano e \(Y\) al del segundo: \(\bar x=97.875\), \(\bar y=101.25\), \(s_x^2=418.3594\), \(s_y^2=288.4375\), \(s_{xy}=326.5313\) y \(r^2=0.8836\), lo que indica que existe bastante relación lineal entre el coeficiente intelectual de los gemelos. No tiene sentido el coeficiente de correlación lineal porque es indiferente el orden en que tomemos a los gemelos.

Ejercicio 2.32 En un estudio sobre la búsqueda visual se realiza un prueba que consiste en presentarle a un sujeto una matriz de \(n\) símbolos y pedirle que pulse rápidamente un botón si entre los símbolos se encuentra uno concreto, u otro botón diferente si no aparece dicho símbolo. El tiempo de respuesta de cada participante (en centésimas de segundo) y el número de símbolos de cada matriz aparecen en la siguiente tabla:

Matrices con \(n\) 4 5 6 7 8 9 10 11 12
el símbolo \(T\) 22 24 23 31 33 45 42 46 50
Matrices sin \(n\) 4 5 6 7 8 9 10 11
el símbolo \(T\) 25 24 32 35 43 49 52 56

Se pide:

  1. Construir la recta de regresión del tiempo de respuesta sobre el número de símbolos para las matrices con el símbolo y también para las matrices sin el símbolo.
  2. ¿En qué matrices, las que tienen el símbolo o las que no, explica mejor el tiempo de respuesta el número de símbolos? Justificar la respuesta.
  3. Según los modelos anteriores, ¿cuánto tiempo tardará en responder una persona elegida al azar en una matriz de 20 símbolos que contenga al símbolo? ¿Y si no lo contuviese?

Llamando \(X\) al número de símbolos e \(Y\) al tiempo de respuesta:

  1. Matrices con el símbolo: \(\bar x=8\) símbolos, \(\bar y=35.1111\) seg, \(s_x^2=6.6667\) símbolos\(^2\), \(s_y^2=104.4321\) seg\(^2\), \(s_{xy}=25.4446\) símbolos\(\cdot\)seg.
    Recta de regresión del tiempo sobre el número de símbolos: \(y=3.8333x+4.4444\). Matrices sin el símbolo: \(\bar x=7.5\) símbolos, \(\bar y=39.5\) seg, \(s_x^2=5.25\) símbolos\(^2\), \(s_y^2=132.25\) seg\(^2\), \(s_{xy}=26\) símbolos\(\cdot\)seg.
    Recta de regresión del tiempo sobre el número de símbolos: \(y=4.9525x+2.3571\).
  2. \(r^2=0.9292\) en las matrices con el símbolo y \(r^2=0.9736\) en las matrices sin el símbolo, así que el número de símbolos explica un poco mejor el tiempo de respuesta en las matrices sin el símbolo.
  3. \(y(20)=81.11\) seg si la matriz contiene el símbolo y \(y(20)=101.4\) seg si la matriz no contiene el símbolo.

Ejercicio 2.33 Se ha realizado un estudio para averiguar la relación entre la edad y la fuerza física. Para ello se ha medido la edad de 16 participantes y el máximo peso (en kg) que eran capaces de levantar. Los resultados obtenidos fueron:

Se pide:

  1. Calcular el coeficiente de determinación lineal de la muestra completa.
  2. Calcular el coeficiente de determinación lineal de la muestra de personas menores de 25 años.
  3. Calcular el coeficiente de determinación lineal de la muestra de personas mayores de 25 años.
  4. ¿Para qué grupo de edades es más fuerte la relación lineal entre la fuerza física y la edad?

Usar las siguientes sumas (\(X\)=Edad e \(Y\)=Peso máximo levantado).

  • Muestra total: \(\sum x_i=431\) años, \(\sum y_j=769\) kg, \(\sum x_i^2=13173\) años\(^2\), \(\sum y_j^2=39675\) kg\(^2\) y \(\sum x_iy_j=21792\) años\(\cdot\)kg.
  • Muestra menores de 25 años: \(\sum x_i=123\) años, \(\sum y_j=294\) kg, \(\sum x_i^2=2339\) años\(^2\), \(\sum y_j^2=14418\) kg\(^2\) and \(\sum x_iy_j=5766\) años\(\cdot\)kg.
  • Muestra mayores de 25 años: \(\sum x_i=308\) años, \(\sum y_j=475\) kg, \(\sum x_i^2=10834\) años\(^2\), \(\sum y_j^2=25257\) kg\(^2\) y \(\sum x_iy_j=16026\) años\(\cdot\)kg.

Llamando \(X\) a la edad e \(Y\) al peso levantado.

  1. \(\bar x=26.9375\) años, \(s_x^2=97.6836\) años\(^2\), \(\bar{y}=48.0625\) kg, \(s_y^2=169.6836\) kg\(^2\), \(s_{xy}=67.3164\) años\(\cdot\)kg y \(r^2=0.2734\).
  2. \(\bar x=15.5714\) años, \(\bar y=42\) kg, \(s_x^2=25.3878\) años\(^2\), \(s_y^2=295.7143\) kg\(^2\), \(s_{xy}=85.7143\) años\(\cdot\)kg y \(r^2=0.9786\).
  3. \(\bar x=35.2222\) años, \(\bar y=52.7778\) kg, \(s_x^2=32.6173\) años\(^2\), \(s_y^2=20.8395\) kg\(^2\), \(s_{xy}=-25.5062\) años\(\cdot\)kg y \(r^2=0.9571\).
  4. La relación lineal entre la edad y la fuerza física es un poco más fuerte en los menores de 25 años.

Ejercicio 2.34 Para evaluar la capacidad de aprendizaje en la realización de una tarea, se ha medido el tiempo que tarda en realizarse una tarea en sucesivas repeticiones de la misma. Los resultados obtenidos son:

Repetición 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tiempo (min) 80 65 56 50 48 43 41 38 37 35

Se pide:

  1. Dibujar el diagrama de dispersión.
  2. En vista del diagrama de dispersión, construir el modelo de regresión más adecuado del tiempo en función de las repeticiones.
  3. ¿Qué porcentaje de la variabilidad del tiempo explican las repeticiones?
  4. ¿Cuanto tiempo tardará por término medio en la 5 repetición de la tarea?

Llamando \(X\) a las repeticiones, \(Y\) al tiempo y \(Z\) al logaritmo neperiano del tiempo, se tien:

  1. \(\bar x=5.5\) repeticiones, \(\bar z= 3.8644\) ln(min), \(s_x^2=8.25\) repeticiones\(^2\), \(s_z^2=0.0637\) ln\(^2\)(min) y \(s_{xz}=-0.7014\) repeticiones\(\cdot\)ln(min).
    Recta de regresión del logaritmo del tiempo sobre las repeticiones: \(z=-0.085x+4.3320\).
    Modelo exponencial del tiempo sobre las repeticiones: \(y=e^{-0.085x+4.3320}\).
  2. \(R^2=0.9364\), es decir, un \(93.64\%\).
  3. \(y(5)=49.74\) min.

Ejercicio 2.35 En un estudio se ha preguntado a un grupo de personas sobre su ideología política \(X\) (izquierda, centro o derecha) y su opinión sobre la subida o bajada de impuestos \(Y\), obteniendo la siguiente tabla de frecuencias:

\(X\backslash Y\) Bajada Mantenimiento Subida
Izquierda 2 6 8
Centro 3 4 3
Derecha 6 5 3

¿Se puede concluir que existe relación entre la ideología y la opinión sobre la subida o bajada de impuestos? Justificar la respuesta.

\(\chi^2=4.4\) y \(C=0.49\) lo que indica que existe bastante relación entre las variables.

Ejercicio 2.36 Un estudio sobre 100 personas concluye que 26 personas son fumadores y bebedores habituales, 12 son bebedores pero no fumadores, 18 son fumadores pero no bebedores y 44 no beben ni fuman habitualmente. Según estos datos, ¿podemos decir que existe relación entre el tabaco y la bebida? Justificar la respuesta.

\(\chi^2=14.83\) y \(C=0.36\) lo que indica que hay una relación moderada entre los hábitos de fumar y beber.

Ejercicio 2.37 En un estudio en el que participaron las 8 universidades de una región se ha valorado la excelencia docente e investigadora, estableciendo los siguientes rankings (de mejor a peor):

Ranking docencia 3 4 8 5 2 1 6 7
Ranking investigación 6 5 4 3 7 8 1 2

¿Se puede decir que existe relación entre la excelencia docente e investigadora? Justificar la respuesta.

\(r_s=-0.83\), lo que indica una fuerte relación inversa entre la excelencia docente y la excelencia investigadora.

Ejercicio 2.38 \(\star\) En un grupo de pacientes se analiza el efecto de una sustancia dopante en el tiempo de respuesta a un determinado estímulo. Para ello, se suministra en sucesivas dosis, de 0 a 70 mg, la misma cantidad de dopante a todos los miembros del grupo, y se anota el tiempo medio de respuesta al estímulo, expresado en centésimas de segundo.

\(X \text{ (mg)}\) 0 10 20 30 40 50 60 70
\(Y\ (10^{-2}\text{s})\) 28 46 62 81 100 132 195 302
  1. Representar la nube de puntos. A la vista de la representación, ¿crees que el modelo lineal es el que mejor explica el tipo de relación entre las variables?
  2. Calcular la recta de regresión del tiempo en función de la cantidad de dopante, y utilizarla para predecir el tiempo de reacción medio para una cantidad de dopante de 25 mg.
  3. Hacer la misma predicción del apartado anterior con el modelo exponencial. ¿Qué predicción es mejor?
  4. Si para el estímulo estudiado los tiempos de reacción superiores a un segundo se consideran peligrosos para la salud, ¿a partir de qué nivel debería regularse, e incluso prohibirse, la administración de la sustancia dopante?

  1. El diagrama de dispersión de \(Y\) sobre \(X\) es el siguiente

    A la vista del diagrama se puede decir que el modelo lineal no es el que mejor se ajustaría a la nube de puntos, sino posiblemente el exponencial.

  2. La recta de regresión de \(Y\) sobre \(X\), tiene ecuación

    \[ y=\bar y+\frac{s_{xy}}{s_{x}^2}(x-\bar x). \]

    Calculamos primero los estadísticos que necesitamos en la ecuación:

    \[ \begin{aligned} \bar x & = \frac{\sum x_{i}}{n}=\frac{0+10+\cdots+70}{8}=\frac{280}{8}=35, \\ s_{x}^2 & = \frac{\sum x_{i}^2}{n}-\bar x^2 = \frac{0^2+10^2+\cdots+70^2}{8}-35^2=\frac{14000}{8}-35^2=7261.6875, \\ s_{x} & = \sqrt{7261.6875}=22.91, \\ \bar y & = \frac{\sum y_{j}}{n}=\frac{28+46+\cdots+302}{8}= \frac{946}{8}=118.25, \\ s_{y}^2 & = \frac{\sum y_{j}^2}{n}-\bar y^2 = \frac{28^2+16^2+\cdots+302^2}{8}-118.25^2=\frac{169958}{8}-13983.0625=7261.6875, \\ s_{y} & = \sqrt{7261.6875}=85.22, \\ s_{xy} & = \frac{\sum x_{i}y_{j}}{N}-\bar x\bar y = \frac{0\cdot 28+10\cdot 46+\cdots +70\cdot 302}{8}-35\cdot 118.25 =\\ & = \frac{47570}{8}-4138.75=1807.5. \\ \end{aligned} \]

    Sustituyendo en la ecuación anterior estos estadísticos calculados obtenemos la recta de regresión de \(Y\) sobre \(X\).

    \[ y=118.25+\frac{1807.5}{525}(x-35)=3.44x-2.25. \]

    Según esta recta, el tiempo de reacción medio para una cantidad dopante de 25 mg sería

    \[ y(25)=3.44\cdot 25-2.25=83.82 \textrm{ centésimas de segundo}. \]

  3. Para ver la cantidad dopante que le corresponde 1 segundo de tiempo de reacción, necesitamos utilizar la recta de regresión de \(X\) sobre \(Y\). La ecuación de esta recta es

    \[ x=\bar x+\frac{s_{xy}}{s_{y}^2}(y-\bar y)= 35+\frac{1807.5}{7261.6875}(y-118.25)=0.25y+5.57. \]

    Y ana vez que tenemos la recta de regresión, para estimar la dosis correspondiente a 1 segundo, hacemos la predicción para \(y=100\) centésimas de segundo (ya que las unidades de \(X\) son centésimas de segundo \(10^{-2}\) s). Sustituyendo en la ecuación anterior tenemos

    \[ x(100)=0.25\cdot 100+5.57=30.46 \textrm{ mg}. \]

    Como la relación entre \(X\) e \(Y\) es creciente (\(s_{xy}>0\)), a partir de \(30.46\) mg el tiempo de reacción sería superior a un segundo, y por tanto, peligroso para la salud.

Ejercicio 2.39 \(\star\) La artrosis reumatoide es una enfermedad reumática que aparece con frecuencia en las personas mayores. Uno de los índices más utilizados para ver el grado de actividad de la enfermedad es el RADAI (Rheumatoid Arthritis Disease Activity Index), que mide el grado de actividad en una escala de 0 (mínima actividad) a 3 (máxima actividad). Para ver de qué manera influye la edad en el grado de actividad de la enfermedad se ha seleccionado un grupo de personas mayores y se ha medido el índice RADAI en ellos, obteniendo la siguiente tabla de frecuencias:

RADAI\(\backslash\)Edad 40-50 50-60 60-70 70-80
0-1 8 6 2 1
1-2 4 7 5 2
2-3 0 2 6 7

Se pide:

  1. Estudiar si existe relación lineal entre la edad y el RADAI.
  2. Calcular la recta de regresión del RADAI sobre la edad. Según la recta, ¿cuánto aumentaría el grado de actividad de la enfermedad por cada año que pasa?
  3. Si se considera que los pacientes don un RADAI de 2 o superior necesitan ayuda en sus actividades diarias, ¿a qué edad se empezaría a necesitar esta ayuda?

Llamemos \(X\) a la variable que mide la edad e \(Y\) a la que mide el RADAI.

  1. Para ver si existe relación lineal entre \(X\) e \(Y\), podemos calcular el coeficiente de correlación lineal, pero para ello necesitamos la media y desviación típica de cada variable y la covarianza. Antes de calcular estos estadísticos, obtenemos las distribuciones marginales de cada variable a partir de la tabla:

    \(Y\backslash X\) 40-50 50-60 60-70 70-80 \(n_y\)
    0-1 8 6 2 1 17
    1-2 4 7 5 2 18
    2-3 0 2 6 7 15
    \(n_x\) 12 15 13 10 50

    A partir de aquí calculamos los estadísticos anteriores:

    \[ \begin{aligned} \overline{x} &= \frac{\sum_{i}^{}x_{i}n_{i}}{n} = \frac{45\cdot 12+55\cdot 15+65\cdot 13+75\cdot 10}{50} = \frac{2960}{50} = 59.2, \\ \overline{y} &= \frac{\sum_{j}^{}y_{j}n_{j}}{n} = \frac{0.5\cdot 17+1.5\cdot 18+2.5\cdot 15}{50} = \frac{73}{50} = 1.46, \\ s_{x}^{2} &= \frac{\sum_{i}^{}x_{i}^2n_{i}}{n}-\overline{x}^2 = \frac{45^2\cdot 12+55^2\cdot 15+65^2\cdot 13+75\cdot 10}{50}-59.2^2 = \\ &= \frac{180850}{50}-3504.64 = 112.36, \\ s_{x} &= \sqrt{112.36} = 10.6, \\ s_{y}^{2} &= \frac{\sum_{j}^{}y_{j}^2n_{j}}{n}-\overline{y}^2 = \frac{0.5^2\cdot 17+1.5^2\cdot 18+2.5^2\cdot 15}{50}-1.46^2 =\\ &= \frac{138.5}{50}-2.1316 = 0.6384, \\ s_{y} &= \sqrt{0.6384} = 0.8, \\ s_{xy} &= \frac{\sum_{ij}^{}x_{i}y_{j}n_{ij}}{n}-\overline{x}\overline{y} = \frac{45\cdot 0.5\cdot 8+55\cdot 1.5\cdot 4+ \cdots +75\cdot 2.5\cdot 7}{50}-59.2\cdot 1.46 =\\ &= \frac{4570}{50}-86.432 = 4.968. \end{aligned} \]

    Con estos datos, el coeficiente de correlación lineal es

    \[ r=\frac{s_{xy}}{s_xs_y}=\frac{4.968}{10.6\cdot 0.8}=0.59, \]

    que indica que existe relación lineal aunque no demasiado fuerte, sino más bien moderada.

  2. La recta de regresión de \(Y\) sobre \(X\) es

    \[ y=\overline{y}+\frac{s_{xy}}{s_{x}^{2}}(x-\overline{x})=1.46+\frac{4.968}{112.36}(x-59.2)= 0.0442x-1.1575. \]

    El aumento del grado de actividad del RADAI por cada año que pasa nos lo da el coeficiente de regresión de \(Y\) sobre \(X\), que es la pendiente de la recta de regresión que hemos calculado, es decir, 0.0442 por cada año.

  3. Para predecir a qué edad se empezaría a necesitar ayuda, necesitamos calcular la recta de regresión de \(X\) sobre \(Y\), que tiene ecuación

    \[ x=\overline{x}+\frac{s_{xy}}{s_{y}^{2}}(y-\overline{y})=5.92+\frac{4.968}{0.6384}(y-1.46)= 7.782y+47.83. \]

    Sustituyendo \(y\) por 2 en esta ecuación tenemos

    \[ x(2)=7.782\cdot 2+47.83=63.4 \textrm{ años}. \]

Ejercicio 2.40 \(\star\) En un equipo de baloncesto se ha introducido un programa de estiramientos para ver si se consigue reducir el número de lesiones. Durante toda una temporada cada jugador realizó ejercicios de estiramiento durante un número fijo de minutos en cada entrenamiento. Al finalizar la temporada se midió el número de lesiones y se obtuvieron los resultados de la siguiente tabla:

Minutos de estiramiento 0 30 10 15 5 25 35 40
Lesiones 4 1 2 2 3 1 0 1

Se pide:

  1. Calcular la recta de regresión del número de lesiones con respecto al tiempo de estiramiento.
  2. ¿Cual es la disminución de lesiones esperada por cada minuto de estiramiento?
  3. ¿Cuántos minutos de estiramiento debe realizar un jugador para no tener ninguna lesión? ¿Es fiable esta predicción?

Usar las siguientes sumas (\(X\)=Número de minutos de estiramiento, e \(Y\)=Número de lesiones): \(\sum x_i = 160\) minutos, \(\sum y_j=14\) lesiones, \(\sum x_i^2= 4700\) minutos\(^2\), \(\sum y_j^2=36\) lesiones\(^2\) y \(\sum x_iy_j=160\) minutos\(\cdot\)lesiones.

Llamemos \(X\) a la variable que mide el tiempo de estiramiento, e \(Y\) a la que mide el número de lesiones en cada jugador.

  1. La recta de regresión de \(Y\) sobre \(X\), tiene ecuación

    \[ y=\overline{y}+\frac{s_{xy}}{s_{x}^2}(x-\overline{x}). \]

    Calculamos primero los estadísticos que necesitamos en la ecuación:

    \[ \begin{aligned} \overline{x} & = \frac{\sum x_{i}}{N}=\frac{0+30+\cdots+40}{8}=\frac{160}{8}=20, \\ s_{x}^2 & = \frac{\sum x_{i}^2}{N}-\overline{x}^2 = \frac{0^2+30^2+\cdots+40^2}{8}-20^2=\frac{4700}{8}-20^2=187.5, \\ s_{x} & = \sqrt{187.5}=13.69, \\ \overline{y} & = \frac{\sum y_{j}}{N}=\frac{4+1+\cdots+1}{8}= \frac{14}{8}=1.75, \\ s_{y}^2 & = \frac{\sum y_{j}^2}{N}-\overline{y}^2 = \frac{4^2+1^2+\cdots+1^2}{8}-1.75^2=\frac{36}{8}-1.75^2=1.4375, \\ s_{y} & = \sqrt{1.4375}=1.2, \\ s_{xy} & = \frac{\sum x_{i}y_{j}}{N}-\overline{x}\overline{y} = \frac{0\cdot 4+30\cdot 1+\cdots +40\cdot 1}{8} -20\cdot 1.75 =\\ & = \frac{160}{8}-20\cdot 1.75=-15. \\ \end{aligned} \]

    Sustituyendo en la ecuación anterior estos estadísticos calculados obtenemos la recta de regresión de \(Y\) sobre \(X\).

    \[ y=1.75-\frac{15}{187.5}(x-20)=-0.08x+3.35. \]

    El incremento que experimenta la variable \(Y\) por cada unidad que se incrementa la variable \(X\) según la recta de regresión, es su pendiente o coeficiente de regresión de \(Y\) sobre \(X\), que en este caso es \(-0.08\). Así, pues, por cada minuto más de estiramiento se espera tener \(0.08\) lesiones menos.

  2. Para predecir el número de minutos que debería estirar un jugador que quiere tener 0 lesiones, debemos calcular antes la recta de regresión de tiempo de estiramiento sobre número de lesiones. La ecuación de esta recta es

    \[ x=\overline{x}+\frac{s_{xy}}{s_{y}^2}(y-\overline{y})= 20-\frac{15}{1.4375}(y-1.75)=-10.43y+38.26. \]

    Una vez que tenemos la recta de regresión, para estimar el valor de \(X\) para \(y=0\), basta con sustituir \(y\) por \(0\) en esta ecuación y obtenemos \[ x(0)=-10.43\cdot 0+38.26=38.26. \]

    Por último, para ver si esta estimación es fiable, calculamos el coeficiente de correlación lineal

    \[ r=\frac{s_{xy}}{s_{x}s_{y}}=\frac{-15}{13.69\cdot 1.2}=-0.91. \]

    Como el coeficiente de correlación lineal está próximo a -1, el modelo lineal es un buen modelo y por tanto sus predicciones serán fiables.

Ejercicio 2.41 \(\star\) Un profesor está interesado en analizar la relación existente entre la nota que esperan obtener los alumnos en los exámenes de su asignatura con la que de verdad obtienen una vez corregidos dichos exámenes. La tabla muestra la nota esperada y la obtenida para 10 alumnos diferentes:

Alumno Nota esperada Nota obtenida
1 3.0 5.1
2 6.0 4.8
3 7.0 6.0
4 8.0 4.2
5 3.0 5.2
6 9.0 7.5
7 2.0 3.6
8 5.0 3.0
9 8.0 6.5
10 2.0 0.8
  1. Calcular la recta de regresión de la nota obtenida en función de la nota esperada.
  2. Calcular el coeficiente de correlación lineal e interpretarlo.
  3. ¿Cuál es la nota que esperaba obtener un alumno que en realidad saca un 4.0?

Llamemos \(X\) a la nota esperada e \(Y\) a la nota real obtenida.

  1. La ecuación de la recta de regresión de \(Y\) sobre \(X\) es

    \[ y=\bar y+\frac{s_{xy}}{s_{x}^2}(x-\bar x). \]

    Calculamos primero los estadísticos que necesitamos en la ecuación:

    \[ \begin{aligned} \bar x &= \frac{\sum x_{i}}{n}=\frac{53}{10}=5.3, \\ s_{x}^2 &= \frac{\sum x_{i}^2}{n}-\bar x^2 = \frac{345}{10}-5.3^2=6.41, \\ s_{x} &=\sqrt{6.41}=2.5318,\\ \bar y &= \frac{\sum y_{j}}{n}=\frac{46.7}{10}=4.67, \\ s_{y}^2 &= \frac{\sum y_{j}^2}{n}-\bar y^2 = \frac{250.83}{10}-4.67^2=3.2741, \\ s_{y}&=\sqrt{3.2741}=1.8094,\\ s_{xy} &= \frac{\sum x_{i}y_{j}}{n}-\bar x\bar y = \frac{278.6}{10}-5.3\cdot 4.67 =3.109. \\ \end{aligned} \]

    Sustituyendo en la ecuación anterior estos estadísticos calculados obtenemos la recta de regresión de \(Y\) sobre \(X\).

    \[ y=4.67+\frac{3.109}{6.41}(x-5.3)=0.485\,x+2.0994. \]

  2. El coeficiente de correlación lineal es

    \[ r=\frac{s_{xy}}{s_{x}s_{y}}=\frac{3.109}{2.5318\cdot 1.8094}=0.6786, \]

    y según este valor, podemos decir que existe una dependencia creciente moderada.

  3. Para predecir la nota esperada por un alumno que saca un 4, necesitamos la recta de regresión de \(X\) sobre \(Y\). La ecuación de esta recta es

    \[ x=\bar x+\frac{s_{xy}}{s_{y}^2}(y-\bar y)= 5.3+\frac{3.109}{3.2741}(y-4.67)=0.9496\,y+0.8655. \]

    Sustituyendo \(y\) por 4 en esta ecuación obtenemos la predicción deseada

    \[ x(4)=0.9496\cdot 4+0.8655=4.6639. \]

Ejercicio 2.42 \(\star\) Los investigadores están estudiando la correlación entre obesidad y la respuesta individual al dolor. La obesidad se mide como porcentaje sobre el peso ideal (\(x\)). La respuesta al dolor se mide utilizando el umbral de reflejo de flexión nociceptiva (\(y\)), que es una medida de sensación de punzada. Se obtuvieron los siguientes resultados:

\(x\) 89 90 75 30 51 75 62 45 90 20
\(y\) 10 12 4 4.5 5.5 7 9 8 15 3
  1. Dibujar el diagrama de dispersión. Según la nube de puntos, ¿qué modelo explicaría mejor la relación entre el umbral de reflejo y el porcentaje sobre el peso ideal?
  2. Según el modelo de regresión más adecuado, ¿qué respuesta al dolor se espera que tenga una persona con una obesidad del 50%? ¿Es esta predicción fiable?
  3. Según el modelo de regresión más adecuado, ¿cuál es la obesidad esperada de una persona con un umbral reflejo de flexión nociceptiva de 10? ¿Es esta predicción fiable?

Usar las siguientes sumas (\(X\)=Obesidad e \(Y\)=Respuesta al dolor): \(\sum x_i=629\), \(\sum \log(x_i)=40.4121\), \(\sum y_j=92.2\), \(\sum \log(y_j)=21.339\), \(\sum x_i^2=45445\), \(\sum \log(x_i)^2=165.6795\), \(\sum y_j^2=960.14\), \(\sum \log(y_j)^2=47.6231\), \(\sum x_iy_j=6537.7\), \(\sum x_i\log(y_j)=1443.1275\), \(\sum \log(x_i)y_j=387.5728\), \(\sum \log(x_i)\log(y_j)=88.3696\).

  1. \(\bar{x}=62.9\), \(s_x^2=588.09\), \(\bar{y}=9.22\), \(s_y^2=11.0056\) and \(s_{xy}=82.0356\).
    Recta de regresión de la respuesta al dolor sobre la obesidad: \(y=1.3232+0.1255x\). \(r^2=0.8422\).
    \(\overline{\log(x)}=4.0412\), \(s_{\log(x)}^2=0.2366\) and \(s_{\log(x)y}=1.4973\). Modelo logarítmico de la respuesta al dolor sobre la obesidad: \(y=-16.3578+6.3293\log(x)\). \(r^2=0.8611\).
    \(y(50)=8.4023\).
  2. Modelo exponencial de la obesidad sobre la respuesta al dolor: \(x=e^{2.7868+0.1361y}\).
    \(x(10)=63.2648\).

Ejercicio 2.43 \(\star\) Se realiza un estudio para establecer una ecuación mediante la cual se pueda utilizar la concentración de estrona en saliva para predecir la concentración del esteroide en plasma libre. Se extrajeron los siguientes datos de 10 varones sanos:

Estrona 1.4 7.5 8.5 9.0 9.0 11 13 14 14.5 16
Esteroide 30.0 25.0 31.5 27.5 39.5 38.0 43.0 49.0 55.0 48.5
  1. Comprobar la idoneidad del modelo lineal de regresión. Si el modelo es apropiado, hallar la recta de regresión de la concentración de estrona en función de la concentración de esteroide.
  2. Si un individuo presenta una concentración de estrona en saliva de 10, ¿qué concentración de esteroide en plasma libre predeciría el modelo de regresión lineal?
  3. Para los dos primeros individuos, calcular los es que se comenten al utilizar el modelo de regresión lineal para predecir la concentración de estrona. Razonar a que se deben estos es.

Ejercicio 2.44 \(\star\) En una análisis de niños sanos se deseaba establecer si existía relación lineal entre la edad (en años) del niño y el ángulo de Clarke (en grados), obteniéndose en una muestra de 7 niños los valores que aparecen a continuación:

Edad 3 4 5 6 7 8 9
Ángulo de Clarke 24 26 30 31 34 32 33
  1. Calcular la ecuación de la recta de regresión del Ángulo de Clarke en función de la edad.
  2. ¿Qué tanto por ciento de la variabilidad de la nube de puntos explicamos con el modelo lineal? ¿Se puede considerar un modelo bueno?
  3. Calcular el coeficiente de correlación de Spearman e interpretarlo. ¿Está en consonancia con el coeficiente de correlación lineal?

Ejercicio 2.45 \(\star\) Se quiere estudiar la relación entre las concentraciones de dos sustancias \(X\) e \(Y\) en la sangre. Para ello se han medido las concentraciones de estas sustancias en siete individuos, ambas en microgramos por decilitro de sangre, obteniendo los siguientes resultados

\(X\) 2.1 4.9 9.8 11.7 5.9 8.4 9.2
\(Y\) 1.3 1.5 1.7 1.8 1.5 1.7 1.7

Se pide:

  1. ¿Existe relación lineal entre \(Y\) y \(X\)?
  2. ¿Existe relación potencial entre \(Y\) y \(X\)?
  3. Utilizar el mejor de los modelos anteriores para predecir la concentración de \(Y\) para \(x=8\) \(\mu\)gr/dl. ¿Es fiable la predicción? Justificar la respuesta.

Para el modelo lineal se tiene

  1. Para ver si existe relación lineal entre \(Y\) y \(X\) se calcula el coeficiente de determinación lineal:

    \[ \begin{aligned} \bar x &= \frac{\sum x_i}{n} = \frac{2.1+\cdots+9.2}{7} = \frac{52}{7} = 7.4286 \text{ $\mu$gr/dl},\\ s_x^2 &= \frac{\sum x_i^2}{n}-\bar x^2 = \frac{2.1^2+\cdots+9.2^2}{7} -7.4286^2= \frac{451.36}{7}-55.1841 = 9.2963 \text{ $(\mu$gr/dl)$^2$},\\ \bar y &= \frac{\sum y_j}{n} = \frac{1.3+\cdots+1.7}{7} = \frac{11.2}{7} = 1.6 \text{ $\mu$gr/dl},\\ s_y^2 &= \frac{\sum y_j^2}{n}-\bar y^2 = \frac{1.3^2+\cdots+1.7^2}{7} -1.6^2= \frac{18.1}{7}-2.56 = 0.0257 \text{ $(\mu$gr/dl)$^2$},\\ s_{xy} &= \frac{\sum x_iy_j}{n}-\bar x\bar y = \frac{2.1\cdot1.3+\cdots+9.2\cdot1.7}{7}-7.4286\cdot1.6 = \frac{86.57}{7}-11.8858 = 0.4814 \text{ $(\mu$gr/dl)$^2$},\\ r^2 &= \frac{s_{xy}^2}{s_x^2 s_y^2} = \frac{0.4814^2}{9.2963\cdot 0.0257} = 0.9696. \end{aligned} \]

    Como el coeficiente de determinación lineal está muy próximo a 1, podemos concluir que existe una relación lineal muy fuerte entre \(X\) e \(Y\).

  2. Del mismo modo, para ver si existe relación potencial entre \(Y\) y \(X\) se calcula el coeficiente de determinación potencial. Teniendo en cuenta que la ecuación del modelo potencial \(y=ax^b\) se puede convertir en lineal aplicando el logarítmo tanto a \(X\) como a \(Y\), \(\ln y = \ln a + b\ln x\), el coeficiente de determinación potencial entre \(X\) y \(Y\) es el mismo que el coeficiente de determinación lineal entre \(\ln(X)\) y \(\ln(Y)\). Así pues, para calcularlo primero construimos las variables \(U=\ln(X)\) y \(V=\ln(Y)\):

    \(U = \ln X\) 0.7419 1.5892 2.2824 2.4596 1.7750 2.1282 2.2192
    \(V = \ln Y\) 0.2624 0.4055 0.5306 0.5878 0.4055 0.5306 0.5306

    Y el coeficiente de determinación potencial vale:

    \[ \begin{aligned} \bar u &= \frac{\sum u_i}{n} = \frac{0.7419+\cdots+2.2192}{7} = \frac{13.1955}{7} = 1.8851 \text{ $\ln(\mu$gr/dl)},\\ s_u^2 &= \frac{\sum u_i^2}{n}-\bar u^2 = \frac{0.7419^2+\cdots+2.2192^2}{7} -1.8851^2= \frac{26.9397}{7}-3.5536 = 0.295 \text{ $\ln^2(\mu$gr/dl)},\\ \bar v &= \frac{\sum v_j}{n} = \frac{0.2624+\cdots+0.5306}{7} = \frac{3.253}{7} = 0.4647 \text{ $\ln(\mu$gr/dl)},\\ s_v^2 &= \frac{\sum v_j^2}{n}-\bar v^2 = \frac{0.2624^2+\cdots+0.5306^2}{7} -0.4647^2= \frac{1.5878}{7}-0.2159 = 0.0109 \text{ $\ln^2(\mu$gr/dl)},\\ s_{uv} &= \frac{\sum u_iv_j}{n}-\bar u\bar v = \frac{0.7419\cdot0.2624+\cdots+2.2192\cdot0.5306}{7}-1.8851\cdot0.4647 =\\ &= \frac{6.5224}{7}-0.876 = 0.0557 \text{ $\ln^2(\mu$gr/dl)},\\ r^2 &= \frac{s_{uv}^2}{s_u^2 s_v^2} = \frac{0.0557^2}{0.295\cdot 0.0109} = 0.9688. \end{aligned} \]

    Así pues, el modelo potencial también es muy buen modelo para explicar la relación entre \(Y\) y \(X\) aunque es un poco mejor el lineal.

  3. Como el modelo lineal es un poco mejor que el potencial, hay que hacer la predicción con el modelo lineal. Para ello se calcula la recta de regresión de \(Y\) sobre \(X\), que tiene ecuación

    \[ y = \bar y +\frac{s_{xy}}{s_x^2}(x-\bar x) = 1.6 + \frac{0.4814}{9.2963}(x-7.4286) = 0.0518x+1.2153. \]

    Finalmente, la concentración de \(Y\) para \(x=8\) \(\mu\)gr/dl será

    \[ y = 0.0518\cdot 8+1.2153 = 1.6296 \text{ $\mu$gr/dl}. \]

Ejercicio 2.46 Dar ejemplos de:

  1. Dos variables no relacionadas.
  2. Dos variables relacionadas de manera creciente.
  3. Dos variables relacionadas de manera decreciente.

Ejercicio 2.47 \(\star\) Se ha modificado un gen de una especie de rata para facilitar la metabolización del colesterol en sangre. Para comprobar la efectividad de la modificación genética se tomaron dos grupos de 20 ratas, unas con el gen modificado y las otras no, y se sometieron a una misma dieta con distintas concentraciones de aceite de palma durante un mes, obteniendo los siguientes resultados:

Cantidad de aceite de palma en gr (igual en las dos muestras)
\(\sum x_i=640.6467\), \(\sum x_i^2=23508.6387\).
Colesterol en sangre en mg/dl de ratas no modificadas genéticamente
\(\sum y_j=2945.8545\), \(\sum y_j^2=439517.5975\), \(\sum x_iy_j=98156.0658\).
Colesterol en sangre en mg/dl de ratas modificadas genéticamente
\(\sum y_j=2126.5899\), \(\sum y_j^2=226824.5373\), \(\sum x_iy_j=69517.3648\).

Se pide:

  1. ¿En qué grupo se ajusta mejor la recta de regresión del nivel de colesterol sobre la cantidad de aceite de palma?
  2. Según el modelo de regresión lineal, ¿qué cantidad de colesterol se espera que tenga una rata modificada genéticamente que toma 25 gr de aceite de palma en la dieta? ¿Y una no modificada?
  3. ¿Qué cantidad máxima de aceite de palma hay que suministrar a una rata no modificada genéticamente para que su colesterol no pase de 150 mg/dl? ¿Es fiable la predicción?
  1. Cantidad de aceite de palma: \(\bar x=32.0323\) gr, \(s^2_x=149.3614\) gr\(^2\).
    Ratas no modificadas genéticamente: \(\bar y=147.2927\) mg/dl, \(s^2_y=280.7332\) (mg/dl)\(^2\), \(s_{xy}=189.6733\) gr\(\cdot\)mg/dl y \(r^2=0.858\).
    Ratas modificadas genéticamente: \(\bar y=106.3295\) mg/dl, \(s^2_y=35.265\) (mg/dl)\(^2\), \(s_{xy}=69.8861\) gr\(\cdot\)mg/dl y \(r^2=0.9273\).
    Por tanto, la recta de regresión se ajusta mejor en las ratas modificadas genéticamente ya que el coeficiente de determinación es mayor.
  2. Recta de regresión de \(Y\) sobre \(X\) en Ratas no modificadas genéticamente: \(y=106.615+1.2699x\). Predicción: \(y(25)=138.3624\) mg/dl.
    Recta de regresión de \(Y\) sobre \(X\) en ratas modificadas genéticamente: \(y=91.3416+0.4679x\). Predicción: \(y(25)=103.0391\) mg/dl.
  3. Recta de regresión de \(X\) sobre \(Y\) en ratas no modificadas genéticamente: \(x=-67.4838+0.6756y\). Predicción: \(x(150)=33.8615\) gr. La predicción es muy fiable ya que el coeficiente de determinación está próximo a 1.