Examen de Óptica 2020-11-13

Titulación: Grado en Óptica
Fecha: 13 de Noviembre de 2020

Ejercicio 1

En una muestra de familias se ha medido la estatura del padre ($X$), de la madre ($Y$) y de un hijo ($Z$) en centímetros, obteniendo los siguientes resultados:

$$\underline{\begin{array}{ccc}\text{Estatura padre}& \text{Estatura madre}& \text{Estatura hijo}\\ 175& 164& 177\\ 182& 175& 180\\ 190& 165& 193\\ 165& 160& 172\\ 172& 155& 173\\ 183& 172& 188\\ 187& 160& 185\\ 174& 151& 177\\ 168& 165& 168\\ 178& 163& 182\end{array}}$$

Se pide:

1. ¿En qué grupo es más representativa la media, en el de padres o en el de madres?

2. ¿Hay alguna estatura atípica entre los hijos?

3. Según su forma, ¿puede provenir la muestra de madres de una distribución normal?

4. ¿Quién es más alto dentro de su grupo, una madre con una altura de 165 cm o un hijo con una altura de 178 cm?

5. ¿Cómo afectaría a la representatividad de las medias que las alturas se midiesen en metros en vez de en centímetros?

Usar las siguientes sumas para los cálculos:
Estatura padre: $\sum x_i=1774$ cm, $\sum x_i^2=315300$ cm${}^2$, $\sum (x_i-\overline{x}{)}^3=210.48$ cm${}^3$ y $\sum (x_i-\overline{x}{)}^4=67596.27$ cm${}^4$.
Estatura madre: $\sum y_i=1630$ cm, $\sum y_i^2=266150$ cm${}^2$, $\sum (y_i-\overline{y}{)}^3=180$ cm${}^3$ y $\sum (y_i-\overline{y}{)}^4=52324$ cm${}^4$.
Estatura hijo : $\sum z_i=1795$ cm, $\sum z_i^2=322737$ cm${}^2$, $\sum (z_i-\overline{z}{)}^3=1008$ cm${}^3$ y $\sum (z_i-\overline{z}{)}^4=61906.62$ cm${}^4$.

Ejercicio 2

Uno de los parámetros que se suele utilizar para diagnosticar el glaucoma de ángulo abierto es la distancia mínima al borde de la abertura de la membrana de Bruch ($X$) de la retina, pero se sabe que esta medida depende de la edad del paciente ($Y$) en años y del área de la abertura de esta membrana por la que pasa el nervio óptico ($Z$). En un estudio se ha medido en 1000 pacientes estas variables obteniendo los siguientes resultados:

$\sum x_i=346337.03$ $\mu$m, $\sum y_i=47212.1$ años, $\sum z_i=2002.384$ mm${}^2$,
$\sum x_i^2=123828243.48$ $\mu$m${}^2$, $\sum y_i^2=2601264.99$ años${}^2$, $\sum z_i^2=4175.89$ mm${}^4$,
$\sum x_i{y}_j=15855138.59$ $\mu$m$\cdot$años, $\sum x_i{z}_j=686623.65$ $\mu$m$\cdot$mm${}^2$, $\sum y_i{z}_j=94144.37$ años$\cdot$mm${}^2$.

Se pide:

1. Calcular las rectas de regresión de la distancia mínima al borde de la abertura de la membrana de Bruch sobre la edad, y de la distancia mínima al borde de la abertura de la membrana de Bruch sobre el área de la abertura de la membrana.

2. ¿Cuánto aumenta o disminuye la distancia mínima al borde de la abertura de la membrana de Bruch por cada año más del paciente?

3. ¿Qué porcentaje de la variabilidad de la distancia mínima al borde de la abertura de la membrana de Bruch explica cada uno de los modelos lineales anteriores?

4. Utilizando el mejor de los modelos lineales anteriores predecir la distancia mínima al borde de la abertura de la membrana de Bruch de un paciente de 60 años con un área de la abertura de la membrana de 2 mm${}^2$.