Examen de Óptica 2018-10-24

Titulación: Grado en Óptica
Fecha: 24 de Octubre de 2018

Ejercicio 1

En un estudio sobre la presbicia se tomó una muestra de pacientes y se midió la edad y la distancia mínima a la que eran capaces de leer una frase en cm. Los datos se muestran en la siguiente tabla.

$$\overline{)\begin{array}{lrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr}\text{Edad}& 7& 12& 15& 15& 18& 21& 25& 28& 32& 35& 43& 46& 48& 51& 54& 57& 60& 66& 72& 92\\ \text{Distancia}& 13& 14& 12& 14& 13& 14& 13& 14& 16& 13& 18& 19& 22& 22& 26& 25& 27& 28& 29& 36\end{array}}$$

Utilizar las siguientes sumas para los cálculos ($X$= Edad e $Y$= Distancia mínima de enfoque):

Menores de 40
$\sum x_i=208$ años, $\sum x_i^2=5066$ años², $\sum (x_i-\overline{x}{)}^3=993.84$ años³, $\sum (x_i-\overline{x}{)}^4=103981.55$ años⁴,
$\sum y_j=136$ cm, $\sum y_j^2=1860$ cm², $\sum (y_j-\overline{y}{)}^3=9.12$ cm³, $\sum (y_j-\overline{y}{)}^4=40.35$ cm⁴,
$\sum x_i{y}_j=2861$ años$\cdot$cm.
Mayores de 40
$\sum x_i=589$ años, $\sum x_i^2=36639$ años², $\sum (x_i-\overline{x}{)}^3=30793.08$ años³, $\sum (x_i-\overline{x}{)}^4=1342559.42$ años⁴,
$\sum y_j=252$ cm, $\sum y_j^2=6604$ cm², $\sum (y_j-\overline{y}{)}^3=665.76$ cm³, $\sum (y_j-\overline{y}{)}^4=18260.51$ cm⁴,
$\sum x_i{y}_j=15523$ años$\cdot$cm.

Se pide:

1. Dibujar el diagrama de caja y bigotes de la distancia mínima de enfoque. ¿Existen datos atípicos?
2. ¿En qué distribución de la distancia mínima de enfoque es más representativa la media, en la de menores o en la de mayores de 40 años?
3. ¿Qué distribución de la distancia mínima de enfoque es más asimétrica, la de los menores o la de los mayores de 40 años?
4. ¿Qué distancia mínima de enfoque es relativamente menor, una distancia de 12 cm en los menores de 40 años, o una distancia de 30 cm en los mayores de 40 años?
5. Dibujar el diagrama de dispersión de la edad y la distancia mínima de enfoque. Según del diagrama, ¿existe relación lineal entre la distancia mínima de enfoque y la edad?
6. ¿En qué grupo existe una relación lineal más fuerte entre la distancia mínima de enfoque y la edad, en los menores o en los mayores de 40 años?
7. Según la recta de regresión, ¿cuánto aumenta la distancia mínima de enfoque por cada año que pasa en el grupo de los mayores de 40 años?
8. A qué edad se espera tener una distancia mínima de enfoque de 32 cm en el grupo de los mayores de 40 años? ¿Es fiable esta predicción?

Solución

No hay datos atípicos.

2. Menores de 40: $\overline{y}=13.6$ cm, $s_y^2=1.04$ cm², $s_y=1.0198$ cm y $c{v}_y=0.075$.
   Mayores de 40: $\overline{y}=25.2$ cm, $s_y^2=25.36$ cm², $s_y=5.0359$ cm y $c{v}_y=0.1998$.
   Así pues, la media es más representativa en los menores de 40 años ya que su coeficiente de variación es menor.
3. Menores de 40: $g_1=0.86$
   Mayores de 40: $g_1=0.52$
   Por tanto, la distribución de los menores de 40 es más asimétrica ya que el coeficiente de asimetría está más lejos de 0.
4. Menores de 40: $z(12)=-1.57$.
   Mayores de 40: $z(30)=0.95$.
   Así pues, una distancia de 12 cm en menores de 40 es relativamente menor.

Se observan claramente dos tendencias, una para los menores de 40 y la otra para los mayores. En el caso de los menores no parece haber una relación fuerte entre la distancia mínima de enfoque y la edad, mientras que en el caso de los mayores si parece que la hay y además es lineal.

6. Menores de 40: $\overline{x}=20.8$ años, $s^2=73.96$, $s_{xy}=3.22$ y $r^2=0.13$.
   Mayores de 40: $\overline{x}=58.9$ años, $s^2=194.69$, $s_{xy}=68.02$ y $r^2=0.94$.
   Por tanto, la relación lineal es más fuerte en los mayores de 40 ya que el coeficiente de determinación es mayor.
7. Recta de regresión de $Y$ sobre $X$ en los mayores de 40: $y=4.6218+0.3494x$.
   Así pues, por cada año que pasa la distancia mínima de enfoque aumenta $0.3494$ cm.
8. Recta de regresión de $X$ sobre $Y$ en los mayores de 40: $x=-8.6909+2.6822y$.
   $X(32)=77.14$ años. Según el coeficiente de determinación la predicción es muy fiable, aunque el tamaño muestral no es muy grande y eso resta un poco de fiabilidad.