Teoría de conjuntos

Dado el conjunto universo de los números de un dado $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6\}$ y los subconjuntos correspondientes a sacar par en el lanzamiento de un dado $A=\{2,4,6\}$ y sacar menos de 5 en el lanzamiento de un dado $B=\{1,2,3,4\}$, calcular e interpretar los siguientes conjuntos:

a. $A\cup B$
b. $A\cap B$
c. $\bar{A}$ y $\bar{B}$
d. $A-B$ y $B-A$
e. $A\mathrm{△}B$
f. $\overline{(A\cup B)}$
g. $\overline{(A\cap B)}$
h. $A\cup \bar{B}$
i. $\overline{\stackrel{―}{A}\cap B}$

¿Qué conjuntos de números en el lanzamiento de un dado serían disjuntos con $A$? ¿Y con $A\cup B$?

Demostrar gráficamente las leyes de Morgan $\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap \bar{B}$ y $\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup \bar{B}$.

Construir por extensión el conjunto potencia del conjunto de los grupos sanguíneos $S=\{0,A,B,AB\}$. ¿Cuántos elementos contiene?

Construir el producto cartesiano del conjunto d los grupos sanguíneos $S=\{0,A,B,AB\}$ y el conjunto de los factores Rh $R=\{\text{Rh}+,\text{Rh}-\}$.

¿Cuáles de las siguientes relaciones son relaciones de equivalencia?

a. $R_1=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x=y\}$ a. $R_2=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x\le y\}$ a. $R_3=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x^2+y^2=1\}$ c. $R_4=\{(x,y)\in {\mathbb{R}}^2:x^2+y^2\le 1\}$

Dar ejemplos de funciones $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ que cumplan lo siguiente:

a. $f$ es inyectiva pero no sobreyectiva. b. $f$ es sobreyectiva pero no inyectiva. c. $f$ no es inyectiva ni sobreyectiva. d. $f$ es biyectiva y distinta de la función identidad.

Dadas las siguientes funciones de $\mathbb{R}$ en $\mathbb{R}$, estudiar cuáles son inyectivas y cuáles sobreyectivas:

a. $f(x)=x^2$ b. $g(x)=x^3$ d. $h(x)=x^3-x^2-2x$ c. $i(x)=|x|$

Dados dos conjuntos finitos $A$ y $B$, demostrar que $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$ y que $|A\times B|=|A|\times |B|$.

Dada una función $f:A\to B$, demostrar que si $f$ es inyectiva, entonces $|A|\le |B|$, y si $f$ es sobreyectiva, entonces $|A|\ge |B|$. ¿Cómo es $|A|$ en comparación con $|B|$ cuando $f$ es biyectiva?

Dados dos conjuntos finitos $A$ y $B$ con $|A|=n$ y $|B|=m$. ¿Cuántas funciones distintas se pueden construir de $A$ a $B$. ¿Y cuántas funciones inyectivas suponiendo que $n<m$?

Tomando el conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$ como conjunto universo, dar un ejemplo de un subconjunto infinito cuyo complemento también sea infinito.

Demostrar que el conjunto de los números primos tiene el mismo cardinal que el conjunto de los números naturales.

Demostrar que cada conjunto infinito $A$ contiene un subconjunto propio $B⊊A$ tal que $B$ y $A$ son equipotentes.

Demostrar que el conjunto de los números racionales es numerable.

Demostrar que el producto cartesiano de dos conjuntos numerables es numerable.

Demostrar que el conjunto de todos los polinomios con coeficientes enteros $P=\{a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\cdots =\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_i{x}^i:a_i\in \mathbb{Z}\}$ es numerable.

¿Cuáles de los siguientes conjuntos son numerables?

a. $A=\{3k:k\in \mathbb{Z}\}$ a. $B=\{x\in \mathbb{Q}:-10<x<10\}$ a. $C=\{x\in \mathbb{R}:0\le x\le 1\}$ a. $D=\{(x,y):x\in \mathbb{Z},y\in \mathbb{Q}\}$ a. $E=\{1/n:n\in \mathbb{N}\}$

¿Es el conjunto de todas las secuencias infinitas de ADN numerable?