Cálculo científico con Julia 🧪
¿Qué es Julia?
Julia es un moderno lenguaje de programación especialmente diseñado para el cálculo científico que destaca principalmente en la construcción de modelos matemáticos.
Cálculo del área de un círculo mediante la suma de perímetros
En este taller veremos como usar Julia para cálcular de manera aproximada el área de un círculo medinte la suma de los perímetros de los círculos inscritos en él.
El área de un círculo de radio $r$ puede descomponerse como la suma de los perímetros de los círculos de radio menor o igual que $r$.
Radio
¿Cuánto mide el perímetro de cada uno de estos círculos
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¿Cuánto vale la suma de estos perímetros?
Pista
En unos ejes cartesianos, representa el perímetro de cada círculocomo un segmento vertical sobre el valor de $x$ correspondiente al radio del círculo.
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Cálculo del área mediante una integral
Podemos llegar al mismo resultado utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo, que establece que la variación del área puede calcularse mediante la integral definida de la tasa de variación del área.
¿Cuál será la variación del area de un círculo de radio r si le añadimos una variación infinitesimal al radio?
Pista
La variación infinitesimal del area es el perímetro del círculo de radio $r$
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¿Qué integral nos permite calcular el área de un círculo de radio 2?
Pista
La variación del área del círculo cuando el radio pasa de valer $a$ a valer $b$ lo da la integral definida del perímetro entre esos límites.
$$A(b)-A(a)=\int_a^b 2\pi r\,dr$$
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!Enhorabuena!
Ahora ya sabes cómo podemos calcular el área de un círculo acumulando infinitas variciones infinitesimales del área, es decir, integrando su derivada. Esto es en el fondo lo que plantea el Teorema Fundamental del cálculo, que conecta el concepto de integral con el de derivada.