Titulación: Grado en Óptica
Fecha: 18 de Diciembre de 2017

Ejercicio 1

En un examen de estadística al que se han presentado 66 alumnos se ha contado el número de exámenes finalizados cada media hora, obteniendo el siguiente polígono:

polígono de frecuencias acumuladas del tiempo de finalización de un examen

Se pide:

  1. Construir la tabla de frecuencias del tiempo de finalización del examen.
  2. ¿Cuánto tiempo tiene que pasar para que hayan finalizado el examen la mitad de los alumnos?
  3. ¿Qué porcentaje de alumnos habrá terminado a los 100 minutos de examen?
  4. ¿Cuál es el tiempo de duración del examen que mejor representa a los estudiantes de la muestra? ¿Es un valor representativo?
  5. Según su simetría y apuntamiento, ¿se puede afirmar que la distribución del tiempo de duración del examen es normal?
  6. Se sabe que en otro examen diferente el tiempo medio de finalización es de 100 minutos y la desviación típica es 20 minutos. Un alumno tardó 110 minutos en el examen de Estadística y 122 minutos en este otro examen. ¿Qué examen finalizó antes en términos relativos?

Utilizar las siguientes sumas para los cálculos: $\sum x_i=5670$ min, $\sum x_i^2=580050$ min², $\sum (x_i-\bar x)^3=-2155537.1901$ min³ y $\sum (x_i-\bar x)^4=311877385.4245$ min⁴.

Ejercicio 2

En un estudio sobre la presbicia se tomó una muestra de pacientes y se midió la edad y la distancia mínima a la que eran capaces de leer una frase en cm. Los resultados se muestran en la siguiente tabla:

Se pide:

  1. Calcular la recta de regresión de la distancia mínima de enfoque con respecto a la edad. ¿Cuánto aumenta la distancia mínima de enfoque por cada año que pasa?
  2. Calcular el modelo de regresión logartímico de la distancia mínima de enfoque con respecto a la edad.
  3. Utilizar el mejor modelo de regresión de los dos anteriores para predecir la distancia mínima de enfoque a los 65 años. ¿Es fiable esta predicción?
  4. Si la prebicia se diagnostica cuando la distancia mínima de enfoque es de 35 cm, ¿a qué edad aparecerá la presbicia?

Utilizar las siguientes sumas para los cálculos ($X=$Edad e $Y=$Distancia):
$\sum x_i=537$, $\sum \log(x_i)=44.7858$, $\sum y_j=369$, $\sum \log(y_j)=40.2703$, $\sum x_i^2=27033$, $\sum \log(x_i)^2=168.9328$, $\sum y_j^2=12815$, $\sum \log(y_j)^2=136.9234$, $\sum x_iy_j=18561$, $\sum x_i\log(y_j)=1872.0711$, $\sum \log(x_i)y_j=1425.5363$, $\sum \log(x_i)\log(y_j)=152.0296$.