Funciones reales de variable real

El concepto de función

¿Qué es una función?

Definición - Función de una variable. Una función $f$ de un conjunto $A$ en otro $B$ es una relación que asocia cada elemento $a\in A$, con un único elemento de $B$ que se denota $f(a)$, y se llama imagen de $a$ mediante $f$.

Correspondencia de una función

Cuando el conjunto inicial y final es el de los números reales $\mathbb{R}$, entonces se dice que $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ es una función real de variable real.

Formas de representar una función

Por extensión

Representación en forma de tabla

Representación gráfica

Función cudrado

Por Intensión

Representación algebraica explícita

Representación algebraica implícita

Representación algebraica paramétrica

La función Identidad

Definición - Función Identidad. Se llama función identidad, a toda función $Id: A\rightarrow A$ que asocia cada elemento de $A$ con sigo mismo, es decir,

Función identidad

Dominio e imagen de una función

Dominio de una función

Definición - Dominio de una función. El dominio de una función $f$ es el conjunto de valores para los que la función está definida

Ejemplo. Dada la función

Ejemplo de dominio de una función

Para determinar su dominio hay que eliminar los valores en los que no está definida la función. En este caso hay que eliminar los valores que hacen negativo el radicando de la raíz del denominador, es decir, los valores de $x$ tales que $x^2-1<0$, que son los valores que cumplen $-1<x<1$, pero también hay que eliminar del dominio los valores que anulan el denominador, es decir, los valores de $x$ tales que $\sqrt{x^2-1}=0$, que son $x=-1$ y $x=1$. Por tanto, su dominio es

Imagen de una función

Definición - Imagen de una función. La imagen de una función $f$ es el conjunto de valores que la función puede tomar

Ejemplo. Dada la función $f(x)=x^2-2$

Ejemplo de la imagen de una función

Su imagen es

ya que la función cuadrática $x^2$ puede tomar cualquier valor de $0$ a $\infty$ (no toma nunca valores negativos), y al restarle 2, el mínimo valor que puede tomar la función $f$ es $-2$.

Composición e inversa de una función

Composición de funciones

Definición - Composición de funciones. Dadas dos funciones $g:A\rightarrow B$ y $f:B\rightarrow C$, se define la función compuesta $f\circ g$, (leído $g$ compuesto con $f$) como la función

Para calcular la función compuesta $f\circ g(x)$, primero se aplica $g$ sobre $x$ y luego, se aplica $f$ sobre $g(x)$:

Ejemplo. Si $g(x)=\sqrt x$ y $f(x)=\operatorname{sen} x$, entonces

Inversa de una función

Definición - Función inversa. Se llama función inversa de $f:A\rightarrow B$ a la función $f^{-1}:B\rightarrow A$ (cuando exista) que cumple

La función inversa de $f$ deshace o revierte el efecto de $f$. Es decir, si $f:A\rightarrow B$ asocia un elemento $x\in A$ con otro $y\in B$, entonces $f^{-1}$ asocia el elemento $y$ con el $x$.

Función inversa

Ejemplo. La inversa de $f(x)=x^3$ es la función $f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}.$ Sin embargo, la inversa de la función $x^2$ no es $\sqrt{x}$ ya que la raíz tiene dos imágenes, una positiva y otra negativa, y por tanto no sería una función. 1

Crecimiento de una función

Definición - Función creciente y decreciente. Se dice que una función $f$ es creciente en un intervalo $I$, si para todo $x_1,x_2\in I$, con $x_1<x_2$, se cumple $f(x_1)\leq f(x_2)$.

Se dice que una función $f$ es decreciente en un intervalo $I$, si para todo $x_1,x_2\in I$, con $x_1<x_2$, se cumple $f(x_1)\geq f(x_2)$.

Gráficas de funciones creciente y decreciente

Extremos de una función

Definición - Máximo y mínimo relativo. Se dice que una función $f$ tiene un máximo relativo en $x_0$, si existe un $\delta>0$ tal que para todo $x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)$ se cumple $f(x_0)\geq f(x)$.

Se dice que una función $f$ tiene un mínimo relativo en $x_0$, si existe un $\delta>0$ tal que para todo $x\in (x_0-\delta,x_0+\delta)$ se cumple $f(x_0)\leq f(x)$.

Gráfica del máximo y mínimo de una función

Concavidad de una función

Definición - Función cóncava y convexa. Se dice que una función $f$ es cóncava en un intervalo $I$, si para todo $x_1,x_2\in I$, con $x_1<x_2$, se cumple que el segmento que une los puntos $(x_1,f(x_1))$ y $(x_2,f(x_2))$ queda por encima de la gráfica de $f$.

Se dice que una función $f$ es convexa en un intervalo $I$, si para todo $x_1,x_2\in I$, con $x_1<x_2$, se cumple que el segmento que une los puntos $(x_1,f(x_1))$ y $(x_2,f(x_2))$ queda por debajo de la gráfica de $f$.

Al punto donde cambia la concavidad de una función se le llama punto de inflexión.

Gráfica de una función cóncava y otra convexa

Funciones periódicas

Definición - Función periódica y periodo. Se dice que una función $f$ es periódica si existe un valor $h>0$ tal que

para todo $x\in \textrm{Dom}(f)$.

Al menor valor de $h$ que verifica la igualdad anterior se le llama periodo de $f$, y a la diferencia entre el máximo y el mínimo de la función se le llama amplitud de $f$.

Función inversa

Funciones polinómicas

Definición - Función polinómica. Una función polinómica es una función de la forma

donde $n$ es un entero no negativo que se llama grado del polinomio, y $a_0,\ldots,a_n$ son constantes reales ($a_n\neq 0$) que se llaman coeficientes del polinomio.

Ejemplo.

Gráficas de funciones polinómcias

Propiedades de las funciones polinómicas

  • Su dominio es $\mathbb{R}$.
  • Si el grado es impar, su imagen es $\mathbb{R}$.
  • La función identidad $Id(x)=x$ es un polinomio de grado 1.
  • Las funciones constantes $f(x)=c$ son polinomios de grado 0.
  • Un polinomio de grado $n$ tiene a lo sumo $n$ raíces (puntos donde $f(x)=0$).

Funciones racionales

Definición - Función racional. Una función racional es una función de la forma

donde $p(x)$ y $q(x)$ son funcione polinómicas con $q(x)\neq 0$.

Ejemplo.

Gráficas de funciones racionales

Propiedades de las funciones racionales

  • Su dominio es $\mathbb{R}$ menos las raíces del polinomio del denominador. En estos puntos suele haber asíntotas verticales.
  • La tendencia en $\infty$ y $-\infty$ depende del grado del numerador y del denominador. Si $f(x)=\dfrac{a_0+\cdots +a_nx^n}{b_0+\cdots+b_mx^m}$, entonces
    • Si $n>m$ $\rightarrow$ $f(\pm\infty)=\pm\infty$.
    • Si $n<m$ $\rightarrow$ $f(\pm\infty)=0$.
    • Si $n=m$ $\rightarrow$ $f(\pm\infty)=\dfrac{a_n}{b_m}$.
  • Los polinomios son casos particulares de funciones racionales.
  • Pueden descomponerse en suma de fracciones simples.

Funciones potenciales

Definición - Función potencial. Una función potencial es una función de la forma donde $r$ es un número real.

Ejemplo.

Gráficas de fuciones potenciales

Propiedades de las funciones potenciales

  • Si el exponente es un número racional $n/m$, entonces Estas funciones se llaman irracionales. En este caso,
    • si $m$ es impar el dominio es $\mathbb{R}$,
    • si $m$ es par el dominio es $\mathbb{R}^+$.
  • Todas pasan por el punto $(1,1)$.
  • El crecimiento depende del exponente. Si $x>0$ entonces:
    • Exponente positivo $\Rightarrow$ función creciente.
    • Exponente negativo $\Rightarrow$ función decreciente. Además, si $f(x)=x^r$ y $g(x)=x^s$, entonces:
    • Si $r<s$ $\Rightarrow$ $f(x)>g(x)$ si $0<x<1$ y $f(x)<g(x)$ si $x>1$.
    • Si $r>s$ $\Rightarrow$ $f(x)<g(x)$ si $0<x<1$ y $f(x)>g(x)$ si $x>1$.
  • Los polinomios de la forma $f(x)=x^n$ son un caso particular de funciones potenciales.

Funciones exponenciales

Definición - Función exponencial. Una función exponencial de base $a$ es una función de la forma donde $a$ es un valor real positivo distinto de 1.

Ejemplo.

Gráficas de fuciones exponenciales

Propiedades de las funciones exponenciales

  • Su dominio es $\mathbb{R}$.
  • Su imagen es $\mathbb{R}^+$.
  • Todas pasan por el punto $(0,1)$.
  • El crecimiento depende de la base. Si $f(x)=a^x$ entonces
    • Si $0<a<1$ $\Rightarrow$ función decreciente.
    • Si $a>1$ $\Rightarrow$ función creciente. Además, si $f(x)=a^x$ y $g(x)=b^x$ con $a<b$, entonces
    • Si $x<0$ $\Rightarrow$ $f(x)>g(x)$.
    • Si $x>0$ $\Rightarrow$ $f(x)<g(x)$.
  • Un caso particular sería $a=1$ que es una función constante.

Funciones logarítmicas

Funciones logarítmicas

Definición - Función logarítmica. Dada una función exponencial $f(x)=a^x$, se define la función logarítmica de base $a$ como la función inversa de $f$, y se denota

donde $a$ es un valor real positivo distinto de 1.

Ejemplo.

Gráficas de fuciones logarítmicas

Propiedades de las funciones logarítmicas

  • Por ser la inversa de la función exponencial, sus gráficas son simétricas respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes. Por tanto:
    • Su dominio es la imagen de la función exponencial, es decir $\mathbb{R}^+$.
    • Su imagen es el dominio de la función exponencial, es decir $\mathbb{R}$.
  • Todas pasan por el punto $(1,0)$.
  • El crecimiento depende de la base. Si $f(x)=\log_a x$ entonces
    • Si $0<a<1$ $\Rightarrow$ función decreciente.
    • Si $a>1$ $\Rightarrow$ función creciente. Además, si $f(x)=\log_a x$ y $g(x)=\log_b x$ con $a<b$, entonces
    • Si $0<x<1$ $\Rightarrow$ $f(x)<g(x)$.
    • Si $x>1$ $\Rightarrow$ $f(x)>g(x)$
  • No tiene sentido para $a=1$ por que sería una función constante.

Funciones trigonométricas

Surgen en geometría al medir las relaciones entre los catetos de un triángulo rectángulo, que dependen del ángulo del cateto contiguo y la hipotenusa de dicho triángulo. No obstante, esta no es la única definición posible, sino que también pueden definirse a partir de la función exponencial compleja.

  • Seno
  • Coseno
  • Tangente
  • Arcoseno
  • Arcocoseno
  • Arcotangente

Seno de un ángulo

Definición - Seno de un ángulo. Sea $\alpha$ cualquiera de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, se define el seno de $\alpha$, y se nota $\operatorname{sen} \alpha$, como el cociente entre el cateto opuesto y la hipotenusa.

Definición del seno en un triángulo rectángulo

La definición se extiende fácilmente a ángulos de circunferencia con vértice en el origen y uno de sus lados el eje $OX$, como el cociente entre la ordenada de cualquier punto del otro lado y su distancia al vértice.

Definición del seno en la circunferencia

Función seno

Definición - Función seno. Se define la función seno,

como la función que asocia a cada ángulo $x$ (habitualmente medido en radianes) su seno.

Gráfica de la función seno

Propiedades de la función seno

  • Su dominio es $\mathbb{R}$.
  • Su imagen es el intervalo $[-1,1]$.
  • Es periódica, con periodo $2\pi$ y amplitud $2$

  • Algunos valores para recordar: $\operatorname{sen} 0=0$, $\operatorname{sen} \pi/6= 1/2$, $\operatorname{sen} \pi/4=\sqrt{2}/2$, $\operatorname{sen} \pi/3= \sqrt{3}/2$, $\operatorname{sen} \pi/2 =1$, $\operatorname{sen} \pi = 0$, $\operatorname{sen} 3\pi/2=-1$, $\operatorname{sen} 2\pi=0$.
  • Es una función impar: $\operatorname{sen}(-x)=-\operatorname{sen} x$.

Coseno de un ángulo

Definición - Coseno de un ángulo. Sea $\alpha$ cualquiera de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, se define el coseno de $\alpha$, y se nota $\cos \alpha$, como el cociente entre el cateto contiguo y la hipotenusa.

Definición del coseno en un triángulo rectángulo

La definición se extiende fácilmente a ángulos de circunferencia con vértice en el origen y uno de sus lados el eje $OX$, como el cociente entre la abscisa de cualquier punto del otro lado y su distancia al vértice.

Definición del coseno en la circunferencia

Función coseno

Definición - Función coseno. Se define la función coseno,

como la función que asocia a cada ángulo $x$ (habitualmente medido en radianes) su coseno.

Gráfica de la función coseno

Propiedades de la función coseno

  • Su dominio es $\mathbb{R}$.
  • Su imagen es el intervalo $[-1,1]$.
  • Es periódica, con periodo $2\pi$ y amplitud $2$

  • Algunos valores para recordar: $\cos 0=1$, $\cos \pi/6= \sqrt{3}/2$, $\cos \pi/4=\sqrt{2}/2$, $\cos \pi/3= \sqrt{2}/2$, $\cos \pi/2 =0$, $\cos \pi = -1$, $\cos 3\pi/2=0$, $\cos 2\pi=1$.
  • Es una función par: $\cos(-x)=\cos x$.

Tangente de un ángulo

Definición - Tangente de un ángulo. Sea $\alpha$ cualquiera de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, se define la tangente de $\alpha$, y se nota $\operatorname{tg} \alpha$, como el cociente entre el cateto opuesto y el cateto contiguo.

Definición de la tangente en un triángulo rectángulo

La definición se extiende fácilmente a ángulos de circunferencia con vértice en el origen y uno de sus lados el eje $OX$, como el cociente entre la ordenada y la abscisa de cualquier punto del otro lado.

Definición de la tangente en la circunferencia

Función tangente

Definición - Función tangente. Se define la función tangente,

como la función que asocia a cada ángulo $x$ (habitualmente medido en radianes) su tangente.

Gráfica de la función tangente

Propiedades de la función tangente

  • Su dominio es $\mathbb{R}$ menos las raíces del coseno, es decir $\mathbb{R}-{2k\pi/2: k\in \mathbb{Z}}$.
  • Su imagen es $\mathbb{R}$.
  • Es periódica, con periodo $2\pi$

  • Algunos valores para recordar: $\operatorname{tg} 0=0$, $\operatorname{tg} \pi/6= 1/\sqrt{3}$, $\operatorname{tg} \pi/4=1$, $\operatorname{tg} \pi/3= \sqrt{3}$, $\operatorname{tg} \pi =0$, $\operatorname{tg} 2\pi=0$.

Función arcoseno

Definición - Función arcoseno. Se define la función arcoseno,

como la función inversa de la función seno.

Gráfica de la función arcoseno

Propiedades de la función arcoseno

  • Por ser la inversa de la función seno, sus gráficas son simétricas respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes. Por tanto:
    • Su dominio es la imagen de la función seno, es decir $[-1,1]$.
    • Su imagen es el dominio restringido de la función seno, es decir $[-\pi/2,\pi/2]$.2
  • Es creciente en todo el dominio.

Función arcocoseno

Definición - Función arcocoseno. Se define la función arcocoseno,

como la función inversa de la función coseno.

Gráfica de la función arcocoseno

Propiedades de la función arcoseno

  • Por ser la inversa de la función coseno, sus gráficas son simétricas respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes. Por tanto:
    • Su dominio es la imagen de la función coseno, es decir $[-1,1]$.
    • Su imagen es el dominio restringido de la función coseno, es decir $[0,\pi]$. 3
  • Es decreciente en todo el dominio.

Función arcotangente

Definición - Función arcotangente. Se define la función arcotangente,

como la función inversa de la función tangente.

Gráfica de la función arcotangente

Propiedades de la función arcotangente

  • Por ser la inversa de la función tangente, sus gráficas son simétricas respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes. Por tanto:
    • Su dominio es la imagen de la función tangente, es decir $\mathbb{R}$.
    • Su imagen es el dominio restringido de la función tangente, es decir $(-\pi/2,\pi/2)$. 4
  • Es creciente en todo el dominio.

Algunas relaciones trigonométricas

  • $\operatorname{sen}^2 x+\cos^2 x=1$
  • $\operatorname{sen}(x+y)=\operatorname{sen} x \cos y+\cos x \operatorname{sen} y$
  • $\cos(x+y)=\cos x \cos y-\operatorname{sen} x \operatorname{sen} y$
  • $\operatorname{tg} (x+y)= \dfrac{\operatorname{tg} x+\operatorname{tg} y}{1-\operatorname{tg} x \operatorname{tg} y}$
  • $\operatorname{sen} x + \operatorname{sen} y = 2 \operatorname{sen} \dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}$
  • $\cos x + \cos y = 2 \cos \dfrac{x+y}{2}\cos\dfrac{x-y}{2}$
  • $\cos x - \cos y = -2 \operatorname{sen} \dfrac{x+y}{2}\operatorname{sen}\dfrac{x-y}{2}$

Notas

  1. Para que exista la inversa de la función cuadrática es necesario restringir el dominio a los reales positivos para que sea inyectiva.. En tal caso, la inversa es $+\sqrt{x}$. 

  2. Para que exista la inversa de la función seno, es necesario restringir su dominio a $[-\pi/2,\pi/2]$ para que sea inyectiva. 

  3. Para que exista la inversa de la función coseno, es necesario restringir su dominio a $[0,\pi]$ para que sea inyectiva. 

  4. Para que exista la inversa de la función tangente, es necesario restringir su dominio a $(\pi/2,\pi/2)$ para que sea inyectiva.