Titulación: 1º de Grado en Farmacia
Fecha: 7 de Noviembre de 2016

Ejercicio 1

La relación entre la cantidad de dos sustancias $x$ e $y$ (en mg) en una reacción química viene dada por la ecuación \[ \log(\sqrt{x^2+y^2}) = y. \]

  1. Calcular la ecuación de las rectas tangente y normal a la gráfica de $y$ como función de $x$ en el punto $(1,0)$.
  2. En el mismo punto, calcular la variación aproximada que experimenta $y$ para una variación de $x$ de 2 mg.

Ejercicio 2

La temperatura en cualquier punto de un espacio tridimensional viene dada por la función \[ T(x,y,z)= \frac{e^{xy}}{z} \]

Si nos encontramos en el punto $(1,1,1)$,

  1. ¿cuál será la dirección en que la temperatura decrecerá lo más rápidamente posible? ¿Cuál será la tasa de variación de la temperatura en esa dirección? Interpretarla.
  2. Calcular e interpretar la derivada direccional en la dirección en que $y$ aumenta el doble de $x$ y $z$ aumenta la mitad que $x$.

Ejercicio 3

El crecimiento alométrico explica la relación entre el tamaño de diversas partes de un organismo. Si $x(t)$ e $y(t)$ son los tamaños de dos órganos de un cuerpo de edad $t$, la relación viene dada por la ecuación \[ \frac{1}{y}\frac{dy}{dt} = k \frac{1}{x}\frac{dx}{dt}, \] donde $k$ es una constante positiva. Se pide:

  1. Dar la ecuación diferencial que exprese $y$ en función de $x$ (es decir, tomando como variable independiente $x$ y como variable dependiente $y$) y resolverla para $y$.
  2. Suponiendo que $y$ es la masa de una célula y $x$ su volumen, con $k=0.0794$, calcular $y$ como función de $x$, sabiendo que a la edad en la que el volumen es 1000 $\mu$m$^3$, la masa es 1 ng.

Ejercicio 4

Estudiar los extremos relativos y puntos de silla de la función $f(x,y)=e^y(y^2-x^2)$.