Grados: Farmacia y Biotecnología
Fecha: 27 de Octubre de 2014

Ejercicio 1

Calcular la ecuación del plano tangente a la superficie $xy+8z=0$ paralelo al plano tangente al elipsoide $x^2+2y^2+4z^2=7$ en el punto $P=(1, 1, 1)$.

Ejercicio 2

Dada la función \[ f(x,y) = \dfrac{ax^3}{3} + \dfrac{by^3}{3}-4ax-4by \] con $a,b>0$ dos parámetros, estudiar la existencia de extremos relativos y puntos de silla de $f$.

Ejercicio 3

En una reacción química, la concentración de una sustancia $c$ depende de la concentración de otras dos sustancias $a$ y $b$ según la ecuación $c=\sqrt[3]{ab^2}$. Si en un determinado instante en el que la concentración de $a=b=2$ mg/mm$^3$ se empieza a aumentar la concentración de $a$ a razón de $0.2$ mg$\cdot$ mm$^{-3}$/s y la de $b$ a razón de $0.4$ mg$\cdot$ mm$^{-3}$/s, ¿con qué velocidad cambia la concentración de $c$? ¿Cuál será la concentración aproximada de $c$ a los 2 segundos?

Ejercicio 4

La ecuación $x^2+5y=ye^{y(x-2)}$ representa a una curva en el plano $XY$. Hallar la ecuación de la recta normal a dicha curva en el punto de abscisa $x=2$.

Ejercicio 5

El PB-209, isótopo radioactivo del plomo, se desintegra con una velocidad proporcional a la cantidad presente en cualquier momento, y tiene un periodo medio de vida de $3.3$ horas. Si al principio había un gramo de plomo, ¿cuánto tiempo debe transcurrir para que se desintegre el 90%$?
Nota: El perido medio de vida es el tiempo que tarda en desintegrarse la mitad de la masa inicial.