Grados: Farmacia y Biotecnología
Fecha: 28 de Octubre de 2013

Ejercicio 1

Una mosca se mueve por una habitación siguiendo la trayectoria $C: (\log t, t, t^2)$. ¿Cón qué velocidad se mueve la mosca en el instante en que pasa por el punto $(0,1,1)$? Si en ese instante decide cambiar de trayectoria y sigue la trayectoria de la recta tangente a la trayectoria $C$ en ese punto, manteniendo uniforme su velocidad, ¿en qué posición estará en el instante $t=2$?

Ejercicio 2

La función \[ s(x,y,z)=\dfrac{\log(xy)}{z} \] expresa la concentración de una sustancia $s$ en función de las concentraciones de otras tres sustancias $x$, $y$, $z$ en una reacción química. Si en un determinado instante las concentraciones $x$, $y$ y $z$ valen 1, se pide:

  1. ¿En qué dirección aumentará lo más rápidamente posible la concentración de $s$?
  2. Si empezamos a cambiar las concentraciones de $x$, $y$ y $z$ en la dirección del vector $(2,1,0)$, es decir, $x$ crece el doble de $y$, y $z$ se mantiene constante, ¿cuánto cambiará la concentración de $s$?

Ejercicio 3

La ecuación $e^{xyz}+z=1+e$ define implícitamente a $z$ como función de $x$ e $y$, $z=g(x,y)$ alrededor del punto $(1,1,1)$. Usar el polinomio de Taylor de primer grado, centrado en el punto $(1,1)$, para estimar el valor del número $g(1.01,\,0.99)$.

Ejercicio 4

Una droga se introduce en la sangre por vía intravenosa a un ritmo de 2mg/minuto. La droga se mezcla de manera uniforme con la sangre y el cuerpo absorbe de forma contínua un 5% de la cantidad de la droga presente en el torrente sanguíneo. Suponiendo que en el instante en que se comienza a administrar la droga, la concentración de dicha sustancia era nula en la sangre, ¿qué cantidad de droga habrá en sangre a los 2 minutos?

Si una concentración en sangre de más de 5 mg/litro puede ocasionar un infarto, ¿a partir de qué instante hay riesgo de infarto? Suponer un volumen sanguíneo de 5 litros.

Ejercicio 5

Estudiar los extremos y los puntos de silla de la función $f(x,y)=x^3+y^3-3x-12y+20$.