Grados: Farmacia y Biotecnología
Fecha: 24 de Enero de 2013

Ejercicio 1

La presión en la posición $(x,y,z)$ de un espacio es \[ f(x,y,z)= x^2+y^2-z^3 \] y la trayectoria de un observador $A$ es

Se pide:

  1. Calcular la ecuación de la recta tangente a la trayectoria de $A$ en el punto $(1,1,1)$.
  2. ¿Es la dirección de esta trayectoria al pasar por el punto $(1,1,1)$ aquella en la que el crecimiento de $g$ es máximo? Justificar la respuesta.

Ejercicio 2

La ecuación \[ x\log y+\frac{2e^{y^2+z}}{x} - \frac{x}{z^2} = -1 \] define a $z$ como función de $x$ e $y$ alrededor del punto $(2,1,-1)$. Calcular el vector gradiente de $z$ en ese punto e interpretarlo.

Ejercicio 3

  1. En una reacción química, una sustancia $A$ se transforma en otra $B$ con una velocidad del doble de la cantidad de sustancia $A$. Si en el instante inicial la cantidad de $A$ es de $5$ gr/dl, ¿qué cantidad de sustancia $A$ habrá a los 2 segundos?

  2. Si en esa misma reacción, la sustancia $B$, a su vez, se transforma en otra $C$ a una velocidad del triple de la cantidad de $B$, sabiendo que al comienzo de la reacción la cantidad de sustancia $B$ era nula, ¿qué cantidad de $B$ habrá a los 2 segundos?

Ejercicio 4

Dado el campo escalar \[ h(x,y) = xy+\frac{xy^2}{2}-2x^2, \] se pide:

  1. Determinar sus extremos relativos y sus puntos de silla.
  2. Obtener el polinomio de Taylor de segundo grado en el punto $(1,2)$ y utilizarlo para dar una aproximación de $h(1.04,\,1.98)$.